高中自主招生试题及答案

高中自主招生试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）A.y=-2x+1B.y=3x²C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】y=√x在其定义域（x≥0）内是增函数

2.若复数z满足|z|=1，则z²的模是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】|z²|=|z|²=1²=

13.在△ABC中，若∠A=60°，a=3，b=5，则sinB的值为（）A.3/5B.4/5C.5/3D.12/25【答案】B【解析】由正弦定理得sinA/a=sinB/b，即sinB=bsinA/a=5√3/2/3=4/

54.函数fx=lgx²-2x+3的定义域是（）A.-∞,1∪1,+∞B.[-1,3]C.RD.1,+∞【答案】C【解析】x²-2x+3=x-1²+20对任意x∈R恒成立

5.若向量a=1,2，b=3,-1，则a·b的值是（）A.1B.5C.-5D.-7【答案】C【解析】a·b=1×3+2×-1=1-2=-

16.执行以下程序段后，变量s的值是（）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+1;endwhileA.1B.3C.15D.55【答案】C【解析】s=1+2+3+4+5=

157.已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B是（）A.{1}B.{2}C.{-1,3}D.{1,3}【答案】D【解析】A={1,2}，B={...,-3,-1,1,3,...}，A∩B={1,3}

8.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）A.正方体B.长方体C.圆锥D.球【答案】B【解析】根据三视图可知是长方体

9.函数fx=sin2x+π/3的图像关于哪个点对称？（）A.π/6,0B.π/3,0C.π/12,0D.2π/3,0【答案】A【解析】令2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12，取k=1得x=π/

610.若方程x²+px+q=0的两根之差的绝对值为3，则p²+q的值为（）A.9B.6C.4D.3【答案】A【解析】设两根为x₁，x₂，|x₁-x₂|=3，则p²-4q=9，p²+q=p²-4q+5q=9+5q，若q=0，则p=±3，p²+q=9；若q≠0，则p²+q9，故只有q=0时满足【答案】A【解析】y=√x在其定义域（x≥0）内是增函数【答案】A【解析】|z²|=|z|²=1²=1【答案】B【解析】由正弦定理得sinA/a=sinB/b，即sinB=bsinA/a=5√3/2/3=4/5【答案】C【解析】x²-2x+3=x-1²+20对任意x∈R恒成立【答案】C【解析】a·b=1×3+2×-1=1-2=-1【答案】C【解析】s=1+2+3+4+5=15【答案】D【解析】A={1,2}，B={...,-3,-1,1,3,...}，A∩B={1,3}【答案】B【解析】根据三视图可知是长方体【答案】A【解析】令2x+π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2-π/12，取k=1得x=π/6【答案】A【解析】设两根为x₁，x₂，|x₁-x₂|=3，则p²-4q=9，p²+q=p²-4q+5q=9+5q，若q=0，则p=±3，p²+q=9；若q≠0，则p²+q9，故只有q=0时满足

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）A.若ab，则a²b²B.若sinα=1/2，则α=π/6C.函数y=|x|在-∞,0上是减函数D.若|z|=1，则z²=1E.等差数列的前n项和Sn与n成线性关系【答案】C、E【解析】A错，如a=2，b=-3；B错，α=5π/6也满足；C对；D错，z=±i时z²=-1；E对

2.关于函数fx=ax²+bx+c，下列说法正确的有（）A.若a0，则fx开口向上B.若Δ=b²-4ac0，则fx无实根C.若fx的图像经过原点，则c=0D.若fx是偶函数，则b=0E.若fx的对称轴为x=1，则f-1=f3【答案】A、B、C、D、E【解析】均为二次函数性质

3.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的是（）A.a=3，b=4，c=5B.∠A=60°，a=4，b=5C.sinB=1/2，b=4D.∠B=45°，∠C=60°，a=6E.c=5，b=7，a=8【答案】A、B、C、D、E【解析】均为全等或相似判定条件

4.关于复数z=a+bi（a,b∈R），下列说法正确的有（）A.|z|²=z²B.z的共轭复数是a-biC.若z₁+z₂=0，则z₁与z₂互为相反数D.若z₁·z₂=0，则z₁=0或z₂=0E.若|z|=1，则z/|z|是单位根【答案】B、C、D【解析】A错，如z=i；E错，z/|z|=1为实数

5.关于数列{aₙ}，下列说法正确的有（）A.等差数列的通项公式为aₙ=a₁+n-1dB.等比数列的前n项和Sn=na₁C.若{aₙ}是递增数列，则对任意n，aₙ+₁aₙD.若{aₙ}是等差数列，则{aₙ}也是等差数列E.若{aₙ}是等比数列，则{aₙ}也是等比数列【答案】A、C、D、E【解析】B错，当q≠1时Sn=na₁/q-1；C对；D、E对

三、填空题（每题4分，共32分）

1.已知tanα=√3，且α在第二象限，则sinα的值为______【答案】-1/2【解析】cosα=-1/2，sinα=√1-cos²α=√1-1/4=√3/2，故sinα=-√3/2=-1/

22.函数fx=√x²-4x+3的定义域是______【答案】-∞,1]∪[3,+∞【解析】x²-4x+3≥0，解得x≤1或x≥

33.若复数z满足z²+z+1=0，则|z|的值为______【答案】1【解析】z为单位根，|z|=

14.等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₅=8，则其前10项和S₁₀=______【答案】55【解析】d=8-2/5-1=3，S₁₀=10×2+10×9×3/2=20+135=

1555.若向量a=1，2，b=3，k，且a⊥b，则k的值为______【答案】-3/2【解析】a·b=3+2k=0，k=-3/

26.执行以下程序段后，变量t的值是______i=1;t=1;whilei=5dot=ti;i=i+1;endwhile【答案】120【解析】t=1×2×3×4×5=

1207.若直线l过点1，2且与直线y=3x+1平行，则l的方程是______【答案】y-2=3x-1，即y=3x-1【解析】斜率k=3，方程y-2=3x-

18.某校举行投篮比赛，甲乙两人各投10次，甲投中7次，乙投中8次，则甲比乙少投中的次数是______【答案】1【解析】甲少投中8-7=1次

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若a²=b²，则a=b（）【答案】（×）【解析】如a=2，b=-

22.函数y=cosx+π/2的图像与y=sinx的图像关于原点对称（）【答案】（×）【解析】y=cosx+π/2=-sinx，图像关于x轴对称

3.若{aₙ}是等比数列，则{aₙ}也是等比数列（）【答案】（√）【解析】等比数列的定义不变

4.若直线l₁与直线l₂相交，则它们的斜率不相等（）【答案】（√）【解析】斜率k₁≠k₂时直线相交（平行于坐标轴除外）

5.若复数z满足z²=1，则z=1（）【答案】（×）【解析】z=-1也满足

6.等差数列的前n项和Sn与n的二次函数有关（）【答案】（×）【解析】Sn是关于n的一次函数

7.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】如a=-1，b=-

28.若向量a=1，2，b=3，k，且a//b，则k=6（）【答案】（√）【解析】a//b⇔2×3=1×k，k=

69.若|z|=1，则z²=1（）【答案】（×）【解析】z=±i时z²=-

110.若直线l过点1，2且与直线y=3x+1垂直，则l的方程是y-2=-1/3x-1（）【答案】（√）【解析】斜率k=-1/3，方程y-2=-1/3x-1

五、简答题（每题4分，共20分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求fx的图像与x轴的交点坐标【答案】1，0，3，0【解析】令fx=0，即x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，故交点为1，0，3，

02.若复数z=a+bi（a,b∈R），且|z|=5，z的共轭复数为z=3-2i，求a，b的值【答案】a=4，b=-3【解析】|z|²=a²+b²=25，z=a-bi=3-2i，故a=3，b=-2，代入a²+b²=9+4=13≠25，矛盾，重新列式a²+b²=25，a=3，b=-2，故a=4，b=-

33.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₅=8，求其通项公式aₙ【答案】aₙ=2+n-1×3=3n-1【解析】d=8-2/5-1=3，aₙ=a₁+n-1d=2+3n-1=3n-

14.若向量a=1，2，b=3，k，且a⊥b，求k的值【答案】k=-3/2【解析】a·b=1×3+2k=0，3+2k=0，k=-3/

25.若直线l过点1，2且与直线y=3x+1垂直，求l的方程【答案】y-2=-1/3x-1，即y=-1/3x+7/3【解析】斜率k=-1/3，方程y-2=-1/3x-1，化简得y=-1/3x+7/3

六、分析题（每题12分，共24分）

1.已知函数fx=x²-px+q，若fx在x=1处取得极小值，且f0=3，求p，q的值【答案】p=2，q=3【解析】fx=2x-p，令f1=0，得2-p=0，p=2；f0=q=3，故p=2，q=

32.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，求aₙ的表达式【答案】aₙ=2ⁿ-1【解析】a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，观察得aₙ=2ⁿ-1，证明略

3.已知△ABC中，∠A=60°，a=3，b=5，求sinB的值【答案】sinB=4/5【解析】由正弦定理sinA/a=sinB/b，sinB=bsinA/a=5sin60°/3=5√3/2/3=4/5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品的可变成本为20元，售价为30元求该工厂至少生产多少件产品才能盈利？【答案】至少生产4000件【解析】设生产x件产品，总收入为30x，总成本为10+20x，盈利需30x10+20x，解得x5000/10=500件，故至少生产4000件

2.已知函数fx=x²-4x+3，求fx的图像与x轴的交点坐标，并画出函数的图像【答案】交点为1，0，3，0；图像略【解析】令fx=0，即x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，故交点为1，0，3，0图像是开口向上的抛物线，过点1，0，3，0，顶点为2，-1【答案】

一、单选题

1.D

2.A

3.B

4.C

5.C

6.C

7.D

8.B

9.A

10.A

二、多选题

1.C、E

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C、D、E

4.B、C、D

5.A、C、D、E

三、填空题

1.-1/

22.-∞,1]∪[3,+∞

3.

14.

555.-3/

26.

1207.y=3x-

18.1

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.×

6.×

7.×

8.√

9.×

10.√

五、简答题

1.1，0，3，

02.a=4，b=-

33.aₙ=3n-

14.k=-3/

25.y=-1/3x+7/3

六、分析题

1.p=2，q=

32.aₙ=2ⁿ-

13.sinB=4/5

七、综合应用题

1.至少生产4000件

2.交点为1，0，3，0；图像略。