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高考全国试题及答案
一、单选题
1.下列物质中，属于纯净物的是（）（2分）A.食盐水B.空气C.冰水混合物D.不锈钢【答案】C【解析】纯净物是由一种物质组成的，冰水混合物中只含有水一种物质，故选C
2.函数fx=log₃x-1的定义域是（）（2分）A.1,+∞B.-∞,1C.[1,+∞D.-∞,1]【答案】A【解析】对于对数函数fx=log₃x-1，其定义域为x-10，即x1，故定义域为1,+∞
3.在等差数列{aₙ}中，若a₅=10，a₁₀=31，则公差d等于（）（2分）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】由等差数列性质得，a₁₀-a₅=5d，即31-10=5d，解得d=
44.若向量a=1,2，b=3,-1，则向量a·b等于（）（2分）A.1B.5C.7D.8【答案】C【解析】向量a·b=1×3+2×-1=3-2=
15.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C等于（）（2分）A.75°B.105°C.120°D.135°【答案】A【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-60°-45°=75°
6.若复数z=1+i，则z²等于（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z²=1+i²=1²+2×1×i+i²=1+2i-1=2i
7.曲线y=xe^-x的拐点是（）（2分）A.0,0B.1,eC.2,e²D.3,e³【答案】B【解析】y=e^-x-xe^-x，y=-2e^-x+xe^-x，令y=0得x=1，代入原函数得y=e
8.若函数fx在区间[0,1]上单调递增，且f0=0，f1=1，则对于任意x₁∈0,1，必有（）（2分）A.fx₁x₁B.fx₁x₁C.fx₁=x₁D.fx₁≥x₁【答案】D【解析】由f0=0，f1=1，且fx在[0,1]上单调递增，得对于任意x₁∈0,1，fx₁≥x₁
9.若某工厂生产某种产品的固定成本为1000元，每生产一件产品，可变成本增加50元，则生产x件产品的总成本函数为（）（2分）A.Cx=1000+50xB.Cx=1000x+50C.Cx=50xD.Cx=1000x【答案】A【解析】总成本Cx=固定成本+可变成本=1000+50x
10.若事件A和事件B互斥，且PA=
0.3，PB=
0.4，则PA∪B等于（）（2分）A.
0.3B.
0.4C.
0.7D.
0.1【答案】C【解析】由互斥事件概率公式得，PA∪B=PA+PB=
0.3+
0.4=
0.7
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下哪些函数在其定义域内是单调函数？（）A.y=x²B.y=2x+1C.y=1/xD.y=e^x【答案】B、D【解析】y=2x+1和y=e^x在其定义域内分别是单调递增函数，y=x²和y=1/x在其定义域内不是单调函数
2.以下哪些数列是等比数列？（）A.{2,4,8,16,...}B.{1,-1,1,-1,...}C.{3,6,9,12,...}D.{1,1/2,1/4,1/8,...}【答案】A、B、D【解析】{2,4,8,16,...}、{1,-1,1,-1,...}和{1,1/2,1/4,1/8,...}都是等比数列，{3,6,9,12,...}是等差数列
3.以下哪些向量是线性无关的？（）A.1,0B.0,1C.1,1D.2,2【答案】A、B【解析】1,0和0,1是线性无关的，1,1和2,2是线性相关的
4.以下哪些不等式成立？（）A.3^22^3B.2^33^2C.log₂3log₃2D.log₃2log₂3【答案】B、C【解析】2^3=8，3^2=9，故A不成立；2^33^2，故B成立；log₂31，log₃21，故C成立；log₃21，log₂31，故D不成立
5.以下哪些是概率分布的性质？（）A.PX=x=1B.PX=x≥0C.PX=x≤1D.PX=x是连续函数【答案】B、C【解析】概率分布的性质包括PX=x≥0和PX=x≤1，PX=x=1不是概率分布的性质，PX=x不一定是连续函数
三、填空题
1.若函数fx=ax²+bx+c的图像经过点1,2和2,3，且对称轴为x=
1.5，则a=______，b=______，c=______【答案】-
1、
4、-1（4分）【解析】由对称轴公式x=-b/2a得，-b/2a=
1.5，即b=-3a，又f1=2，f2=3，得a=-1，b=4，c=-
12.若等差数列{aₙ}的前n项和为Sn，且S₁=5，S₃=15，则公差d=______【答案】5（4分）【解析】由等差数列前n项和公式得，S₁=a₁，S₃=3a₁+3d，即5=5，15=3×5+3d，解得d=
53.若复数z=2+3i，则|z|=______，argz=______【答案】√
13、arctan3/2（4分）【解析】|z|=√2²+3²=√13，argz=arctan3/
24.若函数fx=sinx+π/4，则fπ/4=______【答案】√2/2（4分）【解析】fπ/4=sinπ/4+π/4=sinπ/2=
15.若事件A和事件B相互独立，且PA=
0.6，PB=
0.7，则PA∩B=______【答案】
0.42（4分）【解析】由相互独立事件概率公式得，PA∩B=PAPB=
0.6×
0.7=
0.42
四、判断题
1.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必单调（）（2分）【答案】（×）【解析】函数在区间上连续不一定单调，如fx=x³在R上连续但不单调
2.若向量a=1,2，b=3,4，则向量a和向量b共线（）（2分）【答案】（×）【解析】向量a和向量b不共线，因为不存在实数k使得a=k×b
3.若函数fx在点x₀处可导，则fx在点x₀处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】函数在某点可导必在该点连续
4.若事件A和事件B互斥，则PA+PB=1（）（2分）【答案】（×）【解析】事件A和事件B互斥不一定对立，故PA+PB不一定等于
15.若随机变量X服从二项分布Bn,p，则EX=np，DX=np1-p（）（2分）【答案】（√）【解析】二项分布的期望和方差分别为EX=np，DX=np1-p
五、简答题
1.求函数fx=x³-3x²+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x²-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，故最大值为2，最小值为-
22.求等差数列{aₙ}的前n项和公式，已知a₁=2，d=3（5分）【答案】Sn=nn+1【解析】Sn=n/2[2a₁+n-1d]=n/2[2×2+n-1×3]=n/24+3n-3=n/23n+1=nn+
13.求复数z=1+i的平方根（5分）【答案】√2/2+i√2/2，-√2/2-i√2/2【解析】设z=√2/2cosθ+isinθ，则1+i=√2/2cosθ+isinθ，即cosθ+isinθ=√2/2cosπ/4+isinπ/4，θ=π/4+2kπ或θ=5π/4+2kπ，故z=√2/2cosπ/4+isinπ/4或z=√2/2cos5π/4+isin5π/4
六、分析题
1.证明在△ABC中，若a²=b²+c²-2bccosA，则△ABC是直角三角形（10分）【解析】由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，即a²=b²+c²-2bccosπ/2-A，又cosπ/2-A=sinA，故a²=b²+c²-2bcsinA，即a²=b²+c²-2bcsinπ-B，又sinπ-B=sinB，故a²=b²+c²-2bcsinB，即a²=b²+c²-2bcsinπ-C，又sinπ-C=sinC，故a²=b²+c²-2bcsinC，即a²=b²+c²-2bcsinπ/2，又sinπ/2=1，故a²=b²+c²-2bc，即a²=b²+c²-2bccosπ/2，即a²=b²+c²-2bccosA，故△ABC是直角三角形
2.证明等差数列{aₙ}的前n项和Sn与Sn²成线性关系（10分）【解析】设等差数列{aₙ}的首项为a₁，公差为d，则Sn=n/2[2a₁+n-1d]，Sn²=n/2[2a₁+n-1d]²，即Sn²=n/2[2a₁+n-1d]²，令x=n，y=Sn，z=Sn²，则z=ax+b²，即z=ax²+2abx+b²，故Sn²与Sn成线性关系
七、综合应用题
1.某工厂生产某种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品，可变成本增加50元，若每件产品的售价为100元，求该工厂的盈亏平衡点（20分）【解析】设生产x件产品的总成本为Cx，总收入为Rx，则Cx=10000+50x，Rx=100x，盈亏平衡点即为Cx=Rx，即10000+50x=100x，解得x=200，故盈亏平衡点为200件---完整标准答案
一、单选题
1.C
2.A
3.B
4.C
5.A
6.A
7.B
8.D
9.A
10.C
二、多选题
1.B、D
2.A、B、D
3.A、B
4.B、C
5.B、C
三、填空题
1.-
1、
4、-
12.
53.√
13、arctan3/
24.√2/
25.
0.42
四、判断题
1.（×）
2.（×）
3.（√）
4.（×）
5.（√）
五、简答题
1.最大值为2，最小值为-
22.Sn=nn+
13.√2/2+i√2/2，-√2/2-i√2/2
六、分析题
1.在△ABC中，若a²=b²+c²-2bccosA，则△ABC是直角三角形
2.等差数列{aₙ}的前n项和Sn与Sn²成线性关系
七、综合应用题
1.盈亏平衡点为200件。
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