2025中国数学奥林匹克试题及参考答案

2018中国数学奥林匹克试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若实数x满足x^2+4x+4=0，则x等于（）（2分）A.2B.-2C.2或-2D.无解【答案】A【解析】方程x^2+4x+4=0可化简为x+2^2=0，解得x=-

22.集合A={x|x^2-3x+2=0}与集合B={x|x^2-ax+1=0}的元素个数相同，则实数a的取值范围是（）（2分）A.-1,2B.[-1,2]C.-∞,-1]∪[2,+∞D.-∞,-1]∪1,2【答案】C【解析】A={1,2}，B的元素个数为2⇔△=a^2-4≥0⇔a≤-2或a≥

23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=1，b=√3，c=2，则角B等于（）（2分）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=1+4-3/2×1×√3=1/√3⇒B=60°

4.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

35.若复数z满足z^2+z+1=0，则z^3等于（）（2分）A.1B.-1C.1或-1D.0【答案】A【解析】z为单位根，z^3=

16.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_5+a_9=15，则a_6+a_7+a_8等于（）（2分）A.15B.20C.25D.30【答案】C【解析】由等差数列性质a_5+a_7=a_1+a_9=15⇒a_6+a_7+a_8=3a_7=

257.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）i=1;s=0;whilei=10dos=s+i;i=i+2;endwhileA.10B.25C.30D.55【答案】C【解析】s=1+3+5+7+9=

258.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y-1=0的距离等于（）（2分）A.|a+b-1|/√2B.|a-b-1|/√2C.|a+b+1|/√2D.|a-b+1|/√2【答案】A【解析】距离公式d=|ax_0+by_0+c|/√a^2+b^2，此处为|a+b-1|/√

29.若函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）（2分）A.10B.8C.6D.4【答案】A【解析】f-1=-3-3=-6，f-1=3-3=0⇒最大值=f-1=3，最小值=f-2=-8⇒

1010.在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，则四边形ABCD一定是（）（2分）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】C【解析】两组对边分别相等的四边形为菱形

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的真子集B.若ab，则√a√bC.若fx为奇函数，则fx^2也为奇函数D.若△ABC为钝角三角形，则sinAcosB【答案】C、D【解析】A错空集是任何非空集合的真子集；B错√4√1但√-1无意义；C对f-x^2=-fx^2；D对A+B=90°⇒sinA=cos90°-BcosB

2.若函数fx=x^2+2ax+1在区间-∞,-1]上单调递增，则实数a的取值范围是（）（4分）A.a≥-1B.a≤-1C.a≥0D.a≤0【答案】A、D【解析】对称轴x=-a⇒-a≤-1⇒a≥1，又fx在-∞,-1]上单调递增⇒a≤0⇒a=0或a=-

13.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则△ABC一定是（）（4分）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】A、C【解析】由正弦定理a:b:c=3:4:5⇒a^2+b^2≠c^2⇒不是直角三角形，a^2+b^2c^2⇒锐角三角形

4.下列函数中，在区间0,1上为增函数的是（）（4分）A.y=x^2B.y=2-xC.y=1/xD.y=x^3【答案】A、D【解析】y=2x0⇒增；y=-10⇒减；y=-1/x^20⇒减；y=3x^20⇒增

5.若复数z满足|z|=1，则z^2+z+1的模一定是（）（4分）A.0B.1C.√2D.√3【答案】B、D【解析】设z=cosθ+isinθ⇒z^2+z+1=2cosθ/2×e^iθ/2⇒|z^2+z+1|=2cosθ/2⇒最大值√3，最小值0

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=|x+1|的图像关于______对称（4分）【答案】y轴【解析】f-x=|-x+1|=|x-1|≠|x+1|⇒不对称；f-x=|-x+1|=|x-1|=fx⇒关于x=-1对称

2.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2-c^2=ab，则cosC=______（4分）【答案】1/2【解析】由余弦定理cosC=a^2+b^2-c^2/2ab=ab/2ab=1/

23.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则a_5=______（4分）【答案】25【解析】a_5=S_5-S_4=50-15-18-6=

254.若方程x^2+px+q=0的两根之差的平方为5，则p^2+q^2=______（4分）【答案】13【解析】x_1-x_2^2=p^2-4q=5⇒p^2-4q=5⇒p^2+q^2=p^2-2q+2q+q=5+3q⇒q=2⇒p=±3⇒13

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1b=-2⇒1^2=1-2^2=

42.若函数fx为奇函数，则fx的图像一定过原点（）（2分）【答案】（√）【解析】f-0=-f0⇒f0=0⇒过原点

3.在等比数列{a_n}中，若a_1=a，公比为q，则a_n=aq^n-1（）（2分）【答案】（√）【解析】等比数列通项公式

4.若直线l过点1,2且与直线x-y-1=0垂直，则直线l的方程是x+y-3=0（）（2分）【答案】（√）【解析】垂直⇒斜率乘积为-1⇒斜率为1⇒y-2=x-1⇒x-y+1=

05.若集合A={x|1x2}，B={x|x≤a}，则A∩B={x|1xmin2,a}（）（2分）【答案】（√）【解析】交集为两个区间的重叠部分

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^2-4x+3在区间[-1,3]上的最大值与最小值（4分）【答案】最大值=8，最小值=0【解析】fx=2x-4⇒x=2⇒f2=-1⇒最小值；f-1=8，f3=0⇒最大值

82.解不等式|x-1|+|x+2|4（4分）【答案】x-3或x1【解析】分段讨论

①x-2⇒-x-1-x+24⇒x-3；

②-2≤x≤1⇒-x-1+x+2≤4⇒无解；

③x1⇒x-1+x+24⇒x

13.证明若a,b,c为正数，且a+b+c=1，则1-a^2+1-b^2+1-c^2≥1/3（4分）【证明】1-a^2+1-b^2+1-c^2=3-2a+b+c+a^2+b^2+c^2=3-2+a^2+b^2+c^2≥3-2+3√[a^2b^2c^2]⇒3√[a^2b^2c^2]≤a+b+c^2/9=1/9⇒原式≥1/3

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的单调区间（10分）【解】fx=3x^2-6x=3xx-2⇒x=0,2⇒区间[-2,00,22,3]fx+-+fx↗↘↗【答】增区间[-2,0,2,3]；减区间0,

22.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_n（10分）【解】a_{n+1}+1=2a_n+1⇒{a_n+1}为等比数列⇒a_n+1=2^n⇒a_n=2^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=√3，b=2，c=√7，求△ABC的面积（25分）【解】cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=3+7-4/2√3×√7=3/2√21⇒sinB=√1-cos^2B=2√7/7⇒面积S=1/2acsinB=1/2×√3×√7×2√7/7=√21/

22.已知函数fx=x^2+px+q，若fx在x=1处取得极值，且f0=3，求fx的解析式，并判断其单调性（25分）【解】fx=2x+p⇒x=1⇒p=-2⇒f0=q=3⇒fx=x^2-2x+3⇒fx=2x-2⇒x1时fx0⇒减；x1时fx0⇒增⇒减区间-∞,1；增区间1,+∞

八、答案与解析（略）。