2025年中国数学奥林匹克竞赛真题与答案

2016年中国数学奥林匹克竞赛真题与答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x是A的子集且|B|=2}，则B的元素个数为（）（2分）A.5B.10C.15D.20【答案】C【解析】A的子集共有2^5=32个，其中|B|=2的子集有C5,2=10个，但每个元素都是子集，所以B的元素个数为

152.若方程x^2+px+q=0的两根之差的绝对值为4，则p^2+q的最大值为（）（2分）A.16B.20C.24D.28【答案】B【解析】设方程的两根为x1和x2，则|x1-x2|=4，根据韦达定理，x1+x2=-p，x1x2=q，所以p^2=q+16，要使p^2+q最大，需使q最大，即x1和x2均为正数且差为4，此时q最大为4^2=16，p^2+q=

203.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则sinA的值为（）（2分）A.3/5B.4/5C.12/25D.24/25【答案】B【解析】由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/245=24/40=3/5，所以sinA=√1-cos^2A=√1-3/5^2=4/

54.已知函数fx=2sinx+π/6，则fx的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】B【解析】正弦函数sinx的最小正周期为2π，因此fx的最小正周期也为2π

5.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_3=8，则a_5的值为（）（2分）A.16B.24C.32D.64【答案】C【解析】由等比数列的性质，a_3=a_1q^2，所以q^2=8，q=√8=2√2，因此a_5=a_1q^4=12√2^4=

326.设函数gx=|x-1|+|x+2|，则gx的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】gx在x=-2和x=1处取得拐点，分别计算这两个点的函数值，g-2=3，g1=2，因此最小值为

37.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x-y+1=0的距离为√2，则a^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】点到直线的距离公式为d=|ax1+by1+c|/√a^2+b^2，代入点P和直线方程得√2=|a-b+1|/√2，解得a-b=1或a-b=-3，考虑a^2+b^2的最小值，当a=b时取得最小值，即a-b=0，不符合条件，所以a^2+b^2的最小值为

18.在四边形ABCD中，若∠A=60°，∠B=∠C=∠D=120°，则该四边形是（）（2分）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】C【解析】内角和为360°，每个角都是120°，四边形ABCD的对角线互相垂直且平分，所以是菱形

9.设函数hx=x^3-3x^2+2，则hx的极值点为（）（2分）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=0和x=2【答案】D【解析】hx=3x^2-6x，令hx=0得x=0或x=2，hx=6x-6，h0=-60，h2=60，所以x=0为极大值点，x=2为极小值点

10.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则cosA的值为（）（2分）A.1/4B.1/3C.1/2D.3/4【答案】C【解析】由正弦定理得a:b:c=3:4:5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16k^2+25k^2-9k^2/24k5k=1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CC.若A∩B=A，则A⊆BD.若A∪B=A，则B⊆AE.若A⊆B，则B的补集⊆A的补集【答案】A、B、C、D【解析】空集是任何集合的子集，A⊆B，B⊆C，则A⊆C，若A∩B=A，则A中的每个元素都在B中，即A⊆B，若A∪B=A，则B中的每个元素都在A中，即B⊆A，若A⊆B，则B的补集包含A的补集

2.以下函数中，在区间0,1上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=1/xD.y=lnxE.y=√x【答案】B、D、E【解析】y=x^2在0,1上单调递增，y=2x+1是线性函数，在0,1上单调递增，y=1/x在0,1上单调递减，y=lnx在0,1上单调递增，y=√x在0,1上单调递增

3.以下不等式正确的有（）（4分）A.a^2+b^2≥2abB.a^3+b^3≥2aba+bC.a^2+b^2≥a+bD.a^2+b^2≥|a|+|b|E.a^3+b^3≥a^2b+ab^2【答案】A、B、E【解析】a^2+b^2-2ab=a-b^2≥0，所以a^2+b^2≥2ab，a^3+b^3-2aba+b=a+ba^2-2ab+b^2=a+ba-b^2≥0，所以a^3+b^3≥2aba+b，a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2a-b+b^2b-a=a-b^2a+b≥0，所以a^3+b^3≥a^2b+ab^

24.以下数列中，收敛的有（）（4分）A.{a_n}，其中a_n=1/nB.{b_n}，其中b_n=2^nC.{c_n}，其中c_n=-1^nD.{d_n}，其中d_n=√nE.{e_n}，其中e_n=1/n+1【答案】A、E【解析】{a_n}是调和级数，收敛于lnn，所以收敛，{b_n}发散，{c_n}在-1和1之间振荡，不收敛，{d_n}发散，{e_n}收敛于

05.以下命题中，正确的有（）（4分）A.若fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称B.若fx是偶函数，则fx的图像关于y轴对称C.若fx是周期函数，则存在一个正数T，使得fx+T=fxD.若fx是单调递增函数，则fx的导数大于0E.若fx是单调递减函数，则fx的导数小于0【答案】A、B、C【解析】奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，周期函数定义中包含fx+T=fx，单调递增函数的导数大于等于0，单调递减函数的导数小于等于0

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，则a_10的值为______（4分）【答案】30【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，由a_5=a_1+4d得14=2+4d，解得d=3，所以a_10=2+93=

302.在△ABC中，若a=5，b=7，c=8，则cosB的值为______（4分）【答案】11/14【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=5^2+8^2-7^2/258=11/

143.设函数fx=sinx+cosx，则fx的最大值为______（4分）【答案】√2【解析】fx的最大值为√sin^2x+cos^2x+2sinxcosx=√1+sin2x，当sin2x=1时取得最大值√

24.在直角坐标系中，点Pa,b到直线3x+4y-5=0的距离为1，则a^2+b^2的取值范围是______（4分）【答案】[1,25]【解析】点P到直线的距离公式为d=|3a+4b-5|/√3^2+4^2=1，即|3a+4b-5|=5，解得3a+4b=10或3a+4b=0，所以a^2+b^2的最小值为1，最大值为

255.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_7的值为______（4分）【答案】64【解析】由等比数列的性质，a_4=a_1q^3，所以q^3=16，q=2，因此a_7=a_1q^6=12^6=64

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例取a=1，b=-2，则ab，但a^2=1，b^2=4，所以a^2b^2不成立

2.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=x^3/x=x^2，fx是奇函数，但f0未定义

3.若fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=x^2在-1,1上单调递增，但在x=0处不连续

4.若fx是周期函数，则fx的图像是封闭曲线（）（2分）【答案】（×）【解析】反例fx=sinx是周期函数，但图像不是封闭曲线

5.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】反例取a=-1，b=-2，则ab，但√a未定义，√b也未定义

五、简答题（每题4分，共20分）

1.证明在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则△ABC是直角三角形（4分）【解析】由勾股定理得a^2=b^2+c^2，所以∠A=90°，因此△ABC是直角三角形

2.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，计算f-1=4，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为4，最小值为-

23.求过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程（4分）【解析】所求直线的斜率为3，所以方程为y-2=3x-1，即y=3x-

14.证明等差数列的前n项和S_n=na_1+a_n/2（4分）【解析】S_n=a_1+a_2+...+a_n，由等差数列的性质，a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=...=a_{n}+a_{n-1}，所以S_n=na_1+a_n/

25.证明若fx是奇函数，则fx的导数是偶函数（4分）【解析】f-x=-fx，两边求导得f-x=-fx，即f-x=fx，所以fx是偶函数

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并证明fx在-∞,1上单调递增，在1,2上单调递减（10分）【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，f2=60，所以x=0为极大值点，x=2为极小值点当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减

2.设数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求a_n的通项公式，并证明{a_n}是等比数列（10分）【解析】由递推关系得a_2=3，a_3=7，a_4=15，观察发现a_n=2^n-1，证明a_{n+1}=2a_n+1=22^n-1+1=2^{n+1}-1，所以{a_n}是等比数列，公比为2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，求△ABC的面积，并证明△ABC是直角三角形（25分）【解析】由海伦公式得s=3+4+5/2=6，面积S=√[ss-as-bs-c]=√[66-36-46-5]=√

[6321]=6，由勾股定理得a^2+b^2=c^2，所以△ABC是直角三角形

2.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点，并证明fx在-∞,1上单调递增，在1,2上单调递减，最后求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值（25分）【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f0=-60，f2=60，所以x=0为极大值点，x=2为极小值点当x∈-∞,0时，fx0，fx单调递增；当x∈0,2时，fx0，fx单调递减计算f-2=-16，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为2，最小值为-16。