上海超难题目及其答案呈现

上海超难题目及其答案呈现

一、单选题

1.若函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1处取得极值，且曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=3x-2，则b+c的值为（）（2分）A.-1B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=3ax^2+2bx+c，由f1=0得3a+2b+c=0又f1=a+b+c+d，切线斜率为f1=3，即3a+2b+c=3联立方程组3a+2b+c=3，a+b+c+d=1，解得b+c=

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=120°，则cosB的值为（）（2分）A.-1/2B.1/2C.√3/2D.√3/3【答案】D【解析】由余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC，得4+9-12cos120°=c^2，解得c=√13再由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+13-9/2×2×√13=√13/

133.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n+a_n，则a_5的值为（）（2分）A.32B.34C.66D.68【答案】B【解析】由S_n=2^n+a_n，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n+a_n-2^{n-1}+a_{n-1}，化简得a_n-a_{n-1}=2^{n-1}累加可得a_n=a_1+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_{n-1}=1+2+4+...+2^{n-1}=2^n-1，故a_5=

344.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z+1|的值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】C【解析】由z^2+2z+4=0得z+1^2=3，即z+1=√3i或z+1=-√3i则|z+1|=√3，故选C

5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，AB=2，则二面角A-PB-C的余弦值为（）（2分）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.√5/3【答案】A【解析】取PB中点E，连接AE，CE由对称性可知∠AEC为二面角A-PB-C的平面角在△ABE中，AE=√5/2，BE=√2/2在△AEC中，AC=√3，cos∠AEC=AE^2+CE^2-AC^2/2AE×CE=5/4+1/2-3/2×√5/2×√2/2=1/

26.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为（）（2分）A.0B.1C.4D.6【答案】C【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2计算f-1=-4，f0=2，f2=-2，f3=2故M=2，m=-4，M-m=

67.在直角坐标系xOy中，点A1,2，B3,0，C0,3，则△ABC的重心坐标为（）（2分）A.1,1B.2,1C.2,2D.1,2【答案】B【解析】重心坐标为各顶点坐标的平均值，即1+3+0/3,2+0+3/3=2,

18.若直线l ax+3y-5=0与圆C x-1^2+y+2^2=4相交于A、B两点，且|AB|=2√3，则a的值为（）（2分）A.-3B.3C.±3D.±√3【答案】C【解析】圆心1,-2到直线ax+3y-5=0的距离d=√r^2-|AB|/2^2=√4-3=1由d=|ax-3×-2-5|/√a^2+9=1，解得a=±

39.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5=25，S_10=70，则a_15的值为（）（2分）A.15B.20C.25D.30【答案】D【解析】由S_n=n/22a_1+n-1d，得S_5=5/22a_1+4d=25，S_10=10/22a_1+9d=70联立解得a_1=5，d=3故a_15=a_1+14d=

4710.若函数fx=|x-a|+|x-1|的最小值为2，则实数a的取值范围是（）（2分）A.-∞,-1]∪[3,+∞B.-∞,-3]∪[1,+∞C.-∞,-1]∪[1,+∞D.-∞,-3]∪[3,+∞【答案】A【解析】fx=|x-a|+|x-1|的最小值为|a-1|，由|a-1|=2得a=3或a=-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）A.若ab，则a^2b^2B.若fx是奇函数，则f-x=-fxC.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，有a_n+1a_nD.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的所有直线都平行【答案】B、C【解析】A选项反例a=2b=-3，但a^2=4b^2=9D选项反例直线l与平面α平行，直线l与平面α内的一条直线可能相交或异面

2.以下函数中，在区间0,+∞上单调递增的是（）A.fx=x^2-4x+4B.gx=e^xC.hx=log_2x+1D.kx=sinx+π/2【答案】B、C【解析】A选项fx=2x-4，在2,+∞上递增B选项gx=e^x0恒成立C选项hx=1/x+1ln20恒成立D选项kx=cosx，在0,π上递减

3.以下不等式成立的是（）A.1/31/2B.√

31.7C.log_35log_34D.2^-1/22^-1【答案】B、C【解析】A选项1/3=

0.

333...1/2=

0.5B选项√3≈

1.

7321.7C选项log_35log_34等价于54D选项2^-1/2=1/√2≈

0.7072^-1=

0.

54.以下命题中，真命题是（）A.若三角形三边长为

5、

6、7，则该三角形为钝角三角形B.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0C.若四边形ABCD是平行四边形，则AC与BD互相平分D.若直线l ax+by+c=0经过原点，则a=b=0【答案】A、C【解析】B选项反例fx=x^3在x=0处取得极值但f0=0D选项直线l经过原点时c=0，但a、b可不为

05.以下数列中，是等差数列的是（）A.{a_n}a_n=2n+1B.{b_n}b_n=n^2C.{c_n}c_n=3nD.{d_n}d_n=n/n+1【答案】A、C【解析】A选项a_{n+1}-a_n=2n+1+1-2n+1=2为等差数列B选项b_{n+1}-b_n=n+1^2-n^2=2n+1不为常数C选项c_{n+1}-c_n=3n+1-3n=3为等差数列D选项d_{n+1}-d_n=[n+1/n+2]-[n/n+1]≠常数

三、填空题（每空2分，共16分）

1.已知函数fx=x^2-2x+1，则f1+f2+...+f10的值为______【答案】110【解析】fx=x^2-2x+1=x-1^2，f1+f2+...+f10=0^2+1^2+...+9^2=

3302.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，C=120°，则cosA的值为______【答案】√3/2【解析】由余弦定理cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=9+13-4/2×3×√13=√13/

133.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n+a_n，则a_5的值为______【答案】34【解析】见单选题第3题解析

4.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z-1|的值为______【答案】√3【解析】由z^2+2z+4=0得z=-1±√3i，则|z-1|=|-2±√3i|=√4+3=√

35.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，AB=2，则△PAC的面积为______【答案】√3/2【解析】取AC中点E，连接PE由对称性可知PE⊥AC在△PAC中，AC=√2，PE=√2/2，则面积=1/2×√2×√2/2=√3/

26.若函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为______【答案】0【解析】见单选题第6题解析，M=2，m=-4，M+m=-

27.在直角坐标系xOy中，点A1,2，B3,0，C0,3，则△ABC的面积为______【答案】6【解析】面积=1/2|x₁y₂-y₃+x₂y₃-y₁+x₃y₁-y₂|=1/2|10-3+33-2+02-0|=1/2|-3+3|=

68.若直线l2x+ay-4=0与圆C x-1^2+y+2^2=9相交于A、B两点，且|AB|=3√2，则a的值为______【答案】±2√2【解析】圆心1,-2到直线2x+ay-4=0的距离d=√9-3√2/2^2=√9-9/2=3√2/2由d=|2×1+a-2-4|/√4+a^2=3√2/2，解得a=±2√2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】反例a=-1b=-2，但√a不存在，√b=-√2，不能比较大小

2.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（×）【解析】反例fx=x^3在x=0处取得极值但f0=

03.若四边形ABCD是平行四边形，则AC与BD互相平分（）【答案】（√）【解析】平行四边形对角线互相平分是性质定理

4.若直线l ax+by+c=0经过原点，则a=b=0（）【答案】（×）【解析】直线l经过原点时c=0，但a、b可不为0，如y=2x

5.若数列{a_n}单调递增，则对任意n，有a_n+1a_n（）【答案】（√）【解析】单调递增数列定义即a_{n+1}a_n

五、简答题（每题4分，共12分）

1.证明若函数fx在区间I上单调递增，且c∈I，则对任意x₁、x₂∈I，若x₁x₂，则fc≤fx₂【证明】由fx在区间I上单调递增，得对任意x₁、x₂∈I，若x₁x₂，则fx₁fx₂取x₁=c，x₂任意，若cx₂，则fcfx₂若x₂c，则取x₁=x₂，得fx₂fc综上fc≤fx₂

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n+a_n，求证{a_n}是等差数列【证明】由S_n=2^n+a_n，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n+a_n-2^{n-1}+a_{n-1}，化简得a_n-a_{n-1}=2^{n-1}故{a_n}是首项a_1=1，公差为2的等差数列

3.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的单调区间【解】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2当x∈[-2,0时fx0，fx递增；当x∈0,2时fx0，fx递减；当x∈2,3]时fx0，fx递增故单调增区间为[-2,0∪2,3]，单调减区间为0,2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-a|+|x-1|，若fx的最小值为2，求实数a的取值范围【解】fx=|x-a|+|x-1|的最小值为|a-1|，由|a-1|=2得a=3或a=-1当a=3时，fx=|x-3|+|x-1|，最小值为|3-1|=2当a=-1时，fx=|x+1|+|x-1|，最小值为|-1-1|=2故a的取值范围是{-1,3}

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n+a_n，求通项公式a_n【解】由S_n=2^n+a_n，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n+a_n-2^{n-1}+a_{n-1}，化简得a_n-a_{n-1}=2^{n-1}累加可得a_n=a_1+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_{n-1}=1+2+4+...+2^{n-1}=2^n-1故a_n=2^n-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的最大值和最小值【解】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2计算f-2=-10，f0=2，f2=-2，f3=2故最大值为2，最小值为-

102.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2^n+a_n，求证{a_n}是等差数列，并求通项公式a_n【证明】由S_n=2^n+a_n，得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n+a_n-2^{n-1}+a_{n-1}，化简得a_n-a_{n-1}=2^{n-1}故{a_n}是首项a_1=1，公差为2的等差数列累加可得a_n=a_1+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_{n-1}=1+2+4+...+2^{n-1}=2^n-1故a_n=2^n-1---标准答案

一、单选题

1.C

2.D

3.B

4.C

5.A

6.C

7.B

8.C

9.D

10.A

二、多选题

1.B、C

2.B、C

3.B、C

4.A、C

5.A、C

三、填空题

1.

1102.√13/

133.

344.√

35.√3/

26.

07.

68.±2√2

四、判断题

1.×

2.×

3.√

4.×

5.√

五、简答题

1.证明见解析

2.证明见解析

3.解见解析

六、分析题

1.解见解析

2.解见解析

七、综合应用题

1.解见解析

2.证明见解析，a_n=2^n-1。