中学竞赛基础试题及答案汇总

中学竞赛基础试题及答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点在x轴上，则f1的值一定（）（2分）A.大于0B.小于0C.等于0D.无法确定【答案】A【解析】函数开口向上且顶点在x轴上，说明a0且判别式Δ=b^2-4ac=0，f1=a+b+c，由于Δ=0，b^2=4ac，代入f1得f1=a+2√acc+c=a+2√ac^2+c≥a+0+c0，故A正确

2.某几何体的三视图如右图所示，该几何体是（）（2分）A.圆锥B.三棱锥C.圆柱D.球体【答案】C【解析】俯视图为圆形，主视图和左视图均为矩形，符合圆柱的三视图特征，故C正确

3.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，则角C的余弦值为（）（2分）A.√3/2B.√2/2C.1/2D.-1/2【答案】B【解析】由三角形内角和定理，角C=180°-30°-45°=105°，cos105°=cos90°+15°=-sin15°=-sin45°-30°=-（√2/2×√3/2-√2/2×1/2）=-（√6-√2）/4≈-√2/2，故B正确

4.方程x^2-3x+2=0的解集是（）（2分）A.{1,2}B.{-1,-2}C.{0,3}D.{-1,2}【答案】A【解析】因式分解得x-1x-2=0，解集为{1,2}，故A正确

5.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πcm^2B.20πcm^2C.25πcm^2D.30πcm^2【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15πcm^2，故A正确

6.在实数范围内，下列不等式成立的是（）（2分）A.|x-1|0B.x^2+x+10C.√x0D.1/x0【答案】A【解析】|x-1|表示x与1的距离，距离不可能为0，故A恒成立B的判别式Δ0恒成立，C中√x≥0，D中x≠0时成立，故A正确

7.若向量a=1,2，b=-2,1，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√10B.3C.√5D.√2【答案】C【解析】a+b=1-2,2+1=-1,3，模长√-1^2+3^2=√10，故C正确

8.某校学生身高数据近似服从正态分布，平均身高为160cm，标准差为10cm，则身高超过180cm的学生大约占总人数的（）（2分）A.2%B.

15.87%C.

68.27%D.

95.45%【答案】A【解析】根据3σ原则，身高超过180cm（平均值+2σ）的学生约占总人数的

2.28%，近似为2%，故A正确

9.若fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）（2分）A.1B.-2C.0D.±2【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，故f-1=-f1=-2，故B正确

10.在直角坐标系中，点Pa,b关于y=x对称的点的坐标是（）（2分）A.a,bB.b,aC.-a,-bD.-b,-a【答案】B【解析】点a,b关于y=x对称的点的坐标为b,a，故B正确

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若|a|=|b|，则a=bC.若△ABC∽△DEF，则对应边成比例D.若sinα=1/2，则α=30°【答案】C、D【解析】A中ab且ab时a^2b^2不成立，如a=2,b=-3；B中a=1,b=-1时成立；C正确，相似三角形对应边成比例；D正确，α=30°时sinα=1/2，故C、D正确

2.关于圆锥的叙述，正确的是（）（4分）A.圆锥的侧面展开图是扇形B.圆锥的母线相等C.圆锥的轴截面是等腰三角形D.圆锥的体积V=1/3πr^2h【答案】A、B、C、D【解析】A正确，圆锥侧面展开图是扇形；B正确，所有母线长度相等；C正确，轴截面过圆锥顶点与底面圆心连线，为等腰三角形；D正确，圆锥体积公式V=1/3πr^2h，故全选

3.下列函数中，在定义域内单调递增的是（）（4分）A.y=2x+1B.y=-x^2C.y=1/xD.y=√x【答案】A、D【解析】A为一次函数，k=20，单调递增；B为开口向下的抛物线，非单调；C为反比例函数，在0,+∞上递减；D为幂函数，指数1/20，单调递增，故A、D正确

4.关于样本统计，下列说法正确的是（）（4分）A.样本容量是指样本中包含的个体数量B.样本频率分布直方图中，各矩形面积之和为1C.样本方差反映了数据的波动程度D.抽样调查必须具有随机性【答案】A、B、C、D【解析】A正确，样本容量是样本个数；B正确，直方图总面积=1；C正确，方差衡量数据离散程度；D正确，抽样必须随机，故全选

5.下列命题中，为真命题的是（）（4分）A.若x^2=1，则x=1B.若a0，则a^30C.空集是任何集合的子集D.两个无理数的和一定是无理数【答案】B、C【解析】A中x=-1也成立；B正确，正数的立方仍为正；C正确，空集是任何集合的子集；D中如√2+-√2=0，和为有理数，故B、C正确

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是______（4分）【答案】3【解析】分段函数y=|x-1|+|x+2|，当x∈[-2,1]时，y=1-x+x+2=3取得最小值，故答案为

32.若方程x^2+px+q=0的两根之比为1:2，则p/q=______（4分）【答案】-3/4【解析】设两根为x,2x，则x+2x=-p,x·2x=q，解得p=-3x,q=2x^2，p/q=-3x/2x^2=-3/2x，由判别式Δ≥0，4x^2-8x^2≥0，得x=0（舍）或x^2≤0，故p/q=-3/

43.在直角坐标系中，点A1,2关于原点对称的点的坐标是______（4分）【答案】-1,-2【解析】点x,y关于原点对称的点的坐标为-x,-y，故-1,-

24.若一组数据5,x,7,9的平均数为7，则x=______（4分）【答案】7【解析】平均数=5+x+7+9/4=7，解得x=

75.函数y=2sinπx+1的周期T=______（4分）【答案】2【解析】周期T=2/|ω|=2/π，故T=

26.若向量a=3,-2，b=1,k，且a⊥b，则k=______（4分）【答案】-3/2【解析】a⊥b⇔a·b=0，即3×1+-2k=0，解得k=-3/

27.抛物线y=x^2-4x+3的顶点坐标是______（4分）【答案】2,-1【解析】顶点坐标为-b/2a,4ac-b^2/4a，即2,-

18.样本容量为50，样本频数分布表中某组的频率为

0.2，则该组的频数为______（4分）【答案】10【解析】频数=样本容量×频率=50×

0.2=10

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4,b=1，√4=2√1=1；但若a=-1,b=-2，则-1-2，但√-1无意义，故不成立

2.等腰三角形的底角一定相等（）（2分）【答案】（√）【解析】等腰三角形定义中包含两腰相等，由等边对等角定理，底角相等，故正确

3.若fx是偶函数，则fx的图象关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，其图象关于y轴对称，故正确

4.三个连续正整数之和能被3整除（）（2分）【答案】（√）【解析】设三个连续正整数为n,n+1,n+2，其和为3n+3=3n+1，能被3整除，故正确

5.若一组数据的中位数是5，则这组数据一定有5个（）（2分）【答案】（×）【解析】中位数是将数据排序后位于中间的数，数据个数可以是奇数也可以是偶数，故不成立

五、简答题（每题4分，共12分）

1.已知函数fx=x^2-4x+3，求f2的值（4分）【答案】f2=2^2-4×2+3=4-8+3=-

12.解方程|x|=3（4分）【答案】x=3或x=-

33.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b的长度（4分）【答案】由正弦定理，a/sinA=b/sinB，√3/sin60°=b/sin45°，b=√3×sin45°/sin60°=√3×√2/2÷√3/2=√2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知抛物线y=x^2-2x+c经过点1,3，求抛物线的解析式及顶点坐标（10分）【答案】将1,3代入y=x^2-2x+c，3=1-2+c，得c=4，故解析式为y=x^2-2x+4，顶点坐标为-b/2a,4ac-b^2/4a=--2/2,4×1×4--2^2/4=1,

32.某班级有50名学生，要抽取10名学生参加活动，如果采用简单随机抽样，写出具体抽样步骤（10分）【答案】

（1）给50名学生编号1到50；

（2）将编号写在形状大小相同的纸条上，揉成团制成抽签箱；

（3）搅拌均匀后，随机抽取10个纸条，抽取的编号对应的学生即为被抽中的样本

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）的关系为C=50x+1000，售价P（元）与产量x（件）的关系为P=150-

0.02x求

（1）产量为200件时的成本和收入；

（2）当产量多少件时，工厂开始盈利？（25分）【答案】

（1）成本C=50×200+1000=11000元，收入R=150×200-

0.02×200^2=30000-800=29200元；

（2）当RC时盈利，即150x-

0.02x^250x+1000，解得x^2-5000x+500000，即x-100x-40000，得100x4000，故产量在100件到4000件之间时盈利

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=5，求

（1）边b的长度；

（2）面积S△ABC（25分）【答案】

（1）由正弦定理，a/sinA=b/sinB，5/sin60°=b/sin45°，b=5×sin45°/sin60°=5×√2/2÷√3/2=5√6/3；

（2）由A=60°，B=45°，得C=180°-60°-45°=75°，S△ABC=1/2ab×sinC=1/2×5×5√6/3×sin75°=25√6/6×√6+√2/4=25√2+√6/24---标准答案（最后一页附）

一、单选题

1.A

2.C

3.B

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A

9.B

10.B

二、多选题

1.C、D

2.A、B、C、D

3.A、D

4.A、B、C、D

5.B、C

三、填空题

1.

32.-3/

43.-1,-

24.

75.

26.-3/

27.2,-

18.10

四、判断题

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

五、简答题

1.-

12.x=3或x=-

33.b=√2

六、分析题

1.y=x^2-2x+4，顶点1,

32.步骤见解答

七、综合应用题

1.

（1）成本11000元，收入29200元；

（2）100x4000件

2.

（1）b=5√6/3；

（2）S△ABC=25√2+√6/24。