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全省数学竞赛试题与答案大公开
一、单选题（每题2分，共20分）
1.若集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-a+1x+a=0}，且A∪B=A，则实数a的取值范围是（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由A={1,2}，B⊆A，得B={1}或{2}或{1,2}，对应a=1或a=2或a=1且a=2，即a∈{1,2}
2.函数fx=|x+1|+|x-1|的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=|x+1|+|x-1|表示数轴上点x到-1和1的距离之和，最小值为
23.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，c=4，则cosA的值为（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理，cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=9+16-4/2×3×4=1/
24.下列函数中，在区间0,1上单调递减的是（）（2分）A.y=x^2B.y=2xC.y=1/xD.y=e^x【答案】C【解析】y=1/x在0,1上单调递减
5.若复数z满足z^2=1，则z的实部可能是（）（2分）A.0B.1C.-1D.任意实数【答案】A【解析】z=±1，实部为
06.执行以下程序段后，变量s的值是（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（2分）A.9B.15C.21D.27【答案】B【解析】i=1,3,5，s=1+3+5=
97.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.24πD.30π【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15π
8.若直线l过点1,2，且与直线y=3x-1垂直，则l的方程是（）（2分）A.y=-1/3x+1B.y=1/3x+1C.y=-3x+1D.y=3x-1【答案】A【解析】斜率k=-1/3，方程y-2=-1/3x-
19.执行以下程序段后，变量m的值是（）（2分）m=5;fori=1to4dom=mi;endfor（2分）A.20B.60C.120D.240【答案】D【解析】m=5×1×2×3×4=
12010.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=10，则a_10的值为（）（2分）A.18B.20C.22D.24【答案】B【解析】d=10-2/5-1=8/3，a_10=a_5+5d=10+5×8/3=20
二、多选题（每题4分，共20分）
1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.一个非空集合有且只有一个最小元素C.若ab，则a^2b^2D.若sinα=sinβ，则α=β【答案】A、B【解析】空集是任何集合的子集；非空集合有最小元素；ab不一定a^2b^2；sinα=sinβ不一定α=β
2.关于函数fx=x^3+x，下列说法正确的是（）（4分）A.fx是奇函数B.fx在R上单调递增C.fx有且仅有一个零点D.fx在R上恒大于0【答案】A、B、C【解析】f-x=-fx是奇函数；fx=3x^2+10在R上单调递增；f0=0唯一零点；fx恒大于
03.若向量a=1,2，b=3,-1，则下列运算正确的是（）（4分）A.a+b=4,1B.a·b=-1C.|a|=√5D.a×b=7【答案】A、C【解析】a+b=1+3,2-1=4,1；a·b=1×3+2×-1=1；|a|=√1^2+2^2=√5；a×b=1×-1-2×3=-
74.在△ABC中，下列条件能确定△ABC的形状的是（）（4分）A.c^2=a^2+b^2B.a/c=b/cC.sinA/sinB=a/bD.cosA=a^2+b^2-c^2/2ab【答案】A、C【解析】c^2=a^2+b^2是勾股定理；a/c=b/c是相似；sinA/sinB=a/b是正弦定理；cosA=a^2+b^2-c^2/2ab是余弦定理
5.关于数列{a_n}，下列说法正确的是（）（4分）A.等差数列的通项公式是a_n=a_1+n-1dB.等比数列的前n项和S_n=na_1C.若{a_n}是递增数列，则d0D.若{a_n}是递减数列，则a_na_n+1【答案】A、D【解析】等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d；等比数列S_n=a_11-q^n/1-q（q≠1）；递增数列d≥0；递减数列a_na_n+1
三、填空题（每题4分，共16分）
1.已知函数fx=x^2+px+q，若f1=0且f-1=6，则p+q=______（4分）【答案】-3【解析】f1=1+p+q=0；f-1=1-p+q=6；解得p=-3，q=2；p+q=-
12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=3，sinA=√3/2，则c=______（4分）【答案】√7【解析】由sinA=√3/2，得A=60°；由正弦定理，b/sinB=a/sinA，sinB=bsinA/a=3√3/4=3√3/4；B=120°；C=180°-60°-120°=0°；由余弦定理，c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+9-2×2×3×0=13；c=√
133.若复数z满足z+1/z-1是纯虚数，且|z|=√2，则z=______（4分）【答案】-1+i【解析】设z=a+bi，a+1+bi/a-1+bi=k·ik为实数；分子分母同乘共轭，a+1+bia-1-bi=ka-1+bia-1-bi；展开得a^2+1+abi=ka^2+1-b^2；实部为a^2+1-b^2=0；虚部aa-1/a-1^2+b^2=k；由|z|=√2，a^2+b^2=2；解得a=-1，b=1；z=-1+i
4.执行以下程序段后，变量t的值是（4分）t=0;fori=1to3doforj=1toidot=t+1;endfor;endfor；（4分）【答案】6【解析】i=1,j=1→t=1；i=2,j=1,2→t=3；i=3,j=1,2,3→t=6
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在a,b上无最值（）（2分）【答案】（×）【解析】若fx在a,b上单调递增，则fa是最小值，fb是最大值
2.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0是理数
3.若|z|=1，则z^2一定是1（）（2分）【答案】（×）【解析】z=±1时z^2=1；z=i时z^2=-
14.等比数列的前n项和S_n一定小于其通项a_n（）（2分）【答案】（×）【解析】如q=1时S_n=a_n
5.一个命题的否命题为真，则原命题一定为真（）（2分）【答案】（√）【解析】原命题与否命题等价
五、简答题（每题5分，共15分）
1.已知函数fx=x^2-4x+3，求fx在区间[1,5]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值=12，最小值=0【解析】fx=x-2^2-1；对称轴x=2∈[1,5]；f2=-1最小值；f1=0；f5=12；最大值
122.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=5，c=7，求cosB的值（5分）【答案】cosB=-11/35【解析】由余弦定理，cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+49-25/2×3×7=33/42=-11/
353.已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求a_1和a_n的表达式（5分）【答案】a_1=5，a_n=4n+1【解析】a_1=S_1=5；a_n=S_n-S_n-1=2n^2+3n-[2n-1^2+3n-1]=4n+1
六、分析题（每题10分，共20分）
1.已知函数fx=|x-a|+|x-1|，讨论fx在R上的最小值（10分）【答案】当a≥1时，最小值=a-1；当a1时，最小值=1-a【解析】fx表示数轴上点x到a和1的距离之和；当a≥1时，最小值=a-1；当a1时，最小值=1-a
2.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=a_n+2√a_n+1，求证{a_n}是单调递增数列（10分）【证明】a_n+1-a_n=2√a_n+10（n≥1）；√a_n0；2√a_n+10；故a_n+1a_n；{a_n}单调递增
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=5，c=7，求△ABC的面积（25分）【答案】S=12√3/7【解析】由余弦定理，cosB=-11/35；sinB=√1-cos^2B=√1-121/1225=12√3/35；S=1/2×3×5×12√3/35=12√3/
72.某工程队计划在10天内完成一项工程，若单独完成需要30天，现增加一名工人，则完成工程所需时间减少了多少天？（25分）【答案】减少了5天【解析】设原效率为1/30，增加后效率为1/10；原总量1=30×1/30；新总量1=1/30+1/10×t；1=4/30×t；t=
7.5天；减少了10-
7.5=
2.5天---标准答案---
一、单选题
1.C
2.C
3.A
4.C
5.A
6.B
7.A
8.A
9.D
10.B
二、多选题
1.A、B
2.A、B、C
3.A、C
4.A、C
5.A、D
三、填空题
1.-
32.√
73.-1+i
4.6
四、判断题
1.（×）
2.（×）
3.（×）
4.（×）
5.（√）
五、简答题
1.最大值=12，最小值=
02.cosB=-11/
353.a_1=5，a_n=4n+1
六、分析题
1.当a≥1时，最小值=a-1；当a1时，最小值=1-a
2.{a_n}单调递增
七、综合应用题
1.S=12√3/
72.减少了
2.5天。
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