全省数学竞赛试题全解及答案

全省数学竞赛试题全解及答案

一、单选题

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.函数fx=x^2-2x+3的顶点坐标是（）（2分）A.1,2B.1,3C.2,1D.2,3【答案】B【解析】函数fx=x^2-2x+3可化为fx=x-1^2+2，顶点坐标为1,

23.若sinα=1/2，且α为锐角，则cosα的值为（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√3/2D.-√3/2【答案】A【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cosα=√1-sin^2α=√1-1/2^2=√3/

24.直线y=2x+1与直线y=-x+4的交点坐标是（）（2分）A.1,3B.3,1C.2,5D.5,2【答案】A【解析】联立方程组，得2x+1=-x+4，解得x=1，代入得y=

35.一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则它的侧面积为（）（2分）A.15πcm^2B.30πcm^2C.15cm^2D.30cm^2【答案】A【解析】侧面积=πrl=π×3×5=15πcm^

26.若方程x^2-px+q=0的两个根为α和β，则α+β的值为（）（2分）A.pB.qC.p+qD.p-q【答案】A【解析】由韦达定理，α+β=p

7.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.1B.3C.2D.0【答案】B【解析】分段函数fx在x=-2时取最小值

38.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C的度数是（）（2分）A.75°B.105°C.65°D.135°【答案】A【解析】角C=180°-角A+角B=180°-60°+45°=75°

9.若复数z=1+i，则z^2的值是（）（2分）A.2B.0C.2iD.-2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

10.一个四棱锥的底面是边长为4的正方形，侧面都是等边三角形，则它的体积约为（）（2分）A.8√3B.16√3C.32√3D.64√3【答案】A【解析】高≈2√3，体积≈1/3×16×2√3=8√3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些数是无理数？（）A.√4B.πC.

0.

1010010001...D.

3.14159E.-√16【答案】B、C【解析】无理数是无限不循环小数，π和

0.

1010010001...是无理数

2.以下命题中，正确的有？（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C.四边形的两条对角线相等，则它是矩形D.四边形的两条对角线互相垂直平分，则它是菱形E.四边形的四个角都相等，则它是正方形【答案】A、D【解析】A正确；B不一定；C不一定；D正确；E不一定

3.关于函数fx=ax^2+bx+c，以下说法正确的有？（）A.若a0，则函数有最小值B.若Δ=b^2-4ac0，则函数与x轴有两个交点C.若f00，则函数图像在x轴上方D.若a=b=0，则函数是常数函数E.若f10且f-10，则函数与x轴有两个交点【答案】A、B、E【解析】A正确；B正确；C不一定；D错误；E正确

4.以下不等式成立的有？（）A.|x-1|2B.x^2-3x+20C.3x-12x+1D.√x^2+1x+1E.2x-3x+5【答案】A、B、E【解析】A解得-1x3；B解得x1或x2；C解得x2；D不成立；E解得x

45.以下图形中，一定是轴对称图形的有？（）A.等腰三角形B.平行四边形C.矩形D.正方形E.梯形【答案】A、C、D【解析】等腰三角形、矩形、正方形是轴对称图形

三、填空题

1.若x=2是方程3x^2-5x+k=0的一个根，则k的值是______（4分）【答案】6【解析】3×2^2-5×2+k=0，解得k=

62.函数fx=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，解得x≥

13.在△ABC中，若AB=5，AC=7，角B=60°，则BC的长度是______（4分）【答案】√39【解析】由余弦定理，BC^2=AB^2+AC^2-2AB·ACcosB=25+49-2×5×7×1/2=39，BC=√

394.若向量a=1,2，向量b=3,-1，则向量a+b的坐标是______（4分）【答案】4,1【解析】a+b=1+3,2-1=4,

15.一个圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，则它的侧面积是______cm^2（4分）【答案】60π【解析】侧面积=πrl=π×6×10=60πcm^

26.若方程x^2-5x+m=0有两个相等的实根，则m的值是______（4分）【答案】25/4【解析】Δ=-5^2-4×1×m=0，解得m=25/

47.在直角坐标系中，点P2,-3关于原点对称的点的坐标是______（4分）【答案】-2,3【解析】关于原点对称，坐标均变号

8.若fx=2x+1，则ff2的值是______（4分）【答案】9【解析】f2=2×2+1=5，ff2=2×5+1=

99.一个圆柱的底面半径为4cm，高为5cm，则它的体积是______cm^3（4分）【答案】80π【解析】体积=πr^2h=π×4^2×5=80πcm^

310.若sinα=3/5，且α为锐角，则cosα的值是______（4分）【答案】4/5【解析】由sin^2α+cos^2α=1，得cosα=√1-sin^2α=√1-3/5^2=4/5

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则1^24^2不成立

2.所有等腰三角形都是相似图形（）（2分）【答案】（×）【解析】等腰三角形不一定相似，如等腰直角三角形与等腰锐角三角形

3.若函数fx是奇函数，则其图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】这是奇函数的定义性质

4.两个相似三角形的周长比等于它们的面积比（）（2分）【答案】（√）【解析】这是相似三角形的基本性质

5.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=4，b=-1，则√4√-1无意义

五、简答题

1.求函数fx=x^2-4x+3的顶点坐标和对称轴方程（5分）【答案】顶点坐标2,1，对称轴方程x=2【解析】fx=x-2^2-1，顶点坐标为2,-1，对称轴为x=

22.解不等式组{x^2-3x+20;x+10}（5分）【答案】x-1【解析】x^2-3x+20解得x1或x2，x+10解得x-1，取交集得x-

13.已知向量a=3,1，向量b=-1,2，求向量3a-2b的坐标（5分）【答案】8,-1【解析】3a=9,3，2b=-2,4，3a-2b=9--2,3-4=8,-1

六、分析题

1.证明等腰三角形的底角相等（10分）【证明】设△ABC中AB=AC，作底边BC的中垂线DE，交BC于D由DE垂直平分BC，得BD=DC，AD=AD在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=DC，AD=AD由SSS，△ABD≌△ACD由全等三角形对应角相等，得∠B=∠C证毕

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，

（1）画出函数的图像；

（2）求函数的最小值及取得最小值时的x值（10分）【解】

（1）分段函数fx={x+3,x-2;3,-2≤x≤1;-x+1,x1}图像是三条射线组成的V形

（2）当x在-2,1区间时，fx=3当x-2时，fx3；当x1时，fx3故最小值为3，取得最小值时x∈[-2,1]

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元，售价为80元若每月至少生产x件产品，才能不亏本

（1）求每月不亏本的最低产量x；

（2）若每月生产1000件产品，工厂的利润是多少？（20分）【解】

（1）设每月生产x件产品，总收入为80x元，总成本为10000+50x元不亏本条件80x≥10000+50x，解得x≥200故最低产量为200件

（2）当x=1000时，总收入=80×1000=80000元，总成本=10000+50×1000=60000元利润=80000-60000=20000元---完整标准答案---

一、单选题

1.A

2.B

3.A

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.A

10.A

二、多选题

1.B、C

2.A、D

3.A、B、E

4.A、B、E

5.A、C、D

三、填空题

1.

62.[1,+∞

3.√

394.4,

15.60π

6.25/

47.-2,

38.

99.80π

10.4/5

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.顶点坐标2,1，对称轴方程x=

22.x-

13.8,-1

六、分析题

1.证明见上

2.

（1）图像见上；

（2）最小值为3，x∈[-2,1]

七、综合应用题

1.

（1）200件；

（2）20000元。