兰州高三数学试题及答案详解

兰州高三数学试题及答案详解

一、单选题

1.若函数fx=logₐx²-2x+3在1,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是（）（2分）A.0a1B.1a3C.a3D.a∈0,1∪1,3【答案】C【解析】函数fx在1,+∞上单调递增，则其导数fx0fx=2x-2/ax²-2x+3^a-1令gx=x²-2x+3，其导数gx=2x-2在1,+∞上gx0，gx单调递增当a1时，fx0，故a

32.在等差数列{aₙ}中，若a₄+a₈=24，a₅+a₇=22，则该数列的前10项和为（）（2分）A.100B.110C.120D.130【答案】B【解析】由等差数列性质，a₄+a₈=2a₆=24，a₅+a₇=2a₆=22，解得a₆=11又a₅+a₇=2a₆，故d=a₇-a₅=2前10项和S₁₀=10a₁+45d=10a₆-5d=

1103.若复数z=1+i²/1-i，则|z|等于（）（1分）A.2B.√2C.1D.1/2【答案】B【解析】z=1+i²/1-i=2i/1-i·1+i=2i·1+i/2=1+i故|z|=√1²+1²=√

24.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+c²-2bccosA，则△ABC是（）（2分）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【答案】B【解析】由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，故cosA=0，即A=90°故△ABC是直角三角形

5.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.3B.8C.15D.20【答案】C【解析】当i=1时，s=s+i=0+1=1；i=3时，s=s+i=1+3=4；i=5时，s=s+i=4+5=9；i=7时，退出循环故s=

156.直线y=kx-1与圆x-1²+y+2²=4相交于两点，则k的取值范围是（）（2分）A.k-1B.k-1C.k≠0D.k∈-∞,-1∪1,+∞【答案】D【解析】圆心1,-2，半径r=2直线与圆相交，则圆心到直线的距离d=|k-1-1-2-1|/√k²+12解得k∈-∞,-1∪1,+∞

7.函数fx=sin2x+π/3-cos2x的图像关于原点对称，则下列结论正确的是（）（2分）A.最小正周期为πB.在0,π/2上单调递增C.图象可由y=sin2x向左平移π/6得到D.对称轴方程为x=π/4【答案】C【解析】fx=sin2x+π/3-cos2x=√3/2sin2x+1/2sin2x-1/2cos2x=√3/2sin2x-1/2cos2x=sin2x-π/6故图象可由y=sin2x向左平移π/6得到

8.执行以下程序段后，变量p的值为（）（2分）p=1;fori=1to4dop=pi;endforA.4B.24C.40D.120【答案】B【解析】p=pi=p1p2p3p4=

249.若函数fx=x³-3x²+2在[0,3]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m等于（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】fx=3x²-6x令fx=0，得x=0或x=2f0=2，f2=-4，f3=-1故M=2，m=-4，M+m=-

210.在极坐标系中，方程ρ=4cosθ过定点（）（1分）A.2,π/2B.4,0C.2,πD.0,0【答案】B【解析】当θ=0时，ρ=4cos0=4，故过定点4,0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）A.若ab，则a²b²B.若fx在x₀处可导，则fx在x₀处连续C.若fx为奇函数，则f-x=-fxD.若|z|=1，则z²=1E.若△ABC为锐角三角形，则a²+b²c²【答案】B、C、E【解析】A错，如a=1b=-2；D错，如z=√3/2+i/2；E对，由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab

02.以下函数中，在0,1上单调递减的是（）A.y=1/xB.y=-lnxC.y=cosxD.y=x²-2x+1E.y=tanx【答案】A、B【解析】y=1/x在0,1上单调递减；y=-lnx在0,1上单调递减；y=cosx在0,1上先减后增；y=x²-2x+1在0,1上单调递减；y=tanx在0,1上单调递增

3.以下不等式成立的是（）A.1/2ln2B.2³3²C.√

21.4D.e²2eE.

0.5π/4【答案】C、E【解析】ln21，故1/2ln2；2³=89=3²；√2≈

1.

4141.4；e²≈

7.

3896.283=2e；π/4≈

0.

7850.

54.以下图形中，是轴对称图形的有（）A.等腰梯形B.平行四边形C.矩形D.正五边形E.圆【答案】A、C、D、E【解析】等腰梯形、矩形、正五边形、圆都是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形

5.以下说法正确的是（）A.等差数列{aₙ}中，若aₙ=aₘ，则n=mB.等比数列{bₙ}中，若bₙ=bₘ，则n=mC.函数y=cosx在[0,2π]上有4个零点D.直线y=kx+b过原点，则k=0E.圆x-a²+y-b²=r²的圆心在原点，则a²+b²=r²【答案】C、E【解析】A错，如aₙ=aₘ=a，则n=m或n=m±2d；B错，如bₙ=bₘ=1；D错，k可不为0；C对；E对

三、填空题

1.在△ABC中，若sinA/2=sinB/2，则△ABC的形状是______【答案】等腰三角形（4分）【解析】sinA/2=sinB/2，故A=B故△ABC是等腰三角形

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______【答案】3（4分）【解析】fx=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3当x∈[-2,1]时，等号成立故最小值是

33.过点1,2且与直线y=3x-1平行的直线方程是______【答案】y=3x-1（4分）【解析】所求直线斜率k=3，故方程为y-2=3x-1，即y=3x-

14.在等比数列{bₙ}中，若b₁+b₂=3，b₂+b₃=6，则公比q等于______【答案】2（4分）【解析】b₂=b₁q，b₃=b₂q=b₁q²b₁+b₂=b₁1+q=3，b₂+b₃=b₁q1+q=6解得q=

25.若函数fx=x²+px+q在x=-1处取得极值，则p+q等于______【答案】-1（4分）【解析】fx=2x+p令f-1=0，得-2+p=0，即p=2fx在x=-1处取得极值，故f-1=1-p+q=0，解得q=1故p+q=

36.在直角坐标系中，点A1,2关于直线y=x的对称点是______【答案】2,1（4分）【解析】点Bx,y是A1,2关于y=x的对称点，则x=2，y=1故B2,

17.若复数z=1+i，则z³等于______【答案】-2i（4分）【解析】z³=1+i³=1+3i+3i²+i³=1+3i-3-i=-2i

8.某校高三年级有500名学生，其中男生占60%，女生占40%，若随机抽取3名学生，则至少有一名女生的人数是______【答案】336（4分）【解析】至少有一名女生的人数=500-3×60%=

3369.若函数fx=sinωx+φ的图像向左平移π/3个单位后与自身关于y轴对称，则ω=______，φ=______【答案】2，-π/6（4分）【解析】平移后fx=sinωx+π/3+φ关于y轴对称，则ωx+π/3+φ=-ωx-φ+π解得ω=2，φ=-π/

610.在△ABC中，若A=45°，B=60°，c=2，则a+b等于______【答案】2√3（4分）【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinCsinC=sin180°-A-B=sin75°=√6+√2/4a=2sin45°/√6+√2/4=√2；b=2sin60°/√6+√2/4=√3故a+b=√2+√3=2√3

四、判断题

1.若fx是奇函数，则fx的图像关于原点对称（）（2分）【答案】（√）【解析】由奇函数定义f-x=-fx，故fx的图像关于原点对称

2.若直线l₁与直线l₂平行，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】（×）【解析】当直线l₁或l₂垂直于x轴时，斜率不存在，但l₁//l₂

3.若数列{aₙ}是等差数列，则数列{aₙ²}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如aₙ=n，则{aₙ}是等差数列，但{aₙ²}不是等差数列

4.若复数z满足|z|=1，则z²=1（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=√3/2+i/2，则|z|=1，但z²≠

15.若函数fx在[0,1]上单调递增，且f0=0，f1=1，则对任意x∈[0,1]，有fx=x（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x²，则满足条件，但fx≠x

五、简答题

1.已知函数fx=2cos²x+sinx-1，求fx的最小值及取得最小值时x的取值集合（4分）【答案】-3/2，{x|x=2kπ+7π/6或x=2kπ-π/6，k∈Z}【解析】fx=cos2x+sinx=1-2sin²x+sinx=-2sinx-1/4²+3/8当sinx=1/4时，fx取得最小值-3/2sinx=1/4时，x=2kπ+π/6或x=2kπ+5π/6故x=2kπ+7π/6或x=2kπ-π/

62.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a²=b²+c²-2bccosA，求证△ABC是直角三角形（5分）【证明】由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，故cosA=0即A=90°故△ABC是直角三角形

3.已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ=3n²-2n，求通项公式aₙ（2分）【答案】aₙ=6n-5（n≥2）【解析】当n=1时，a₁=S₁=1当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=3n²-2n-[3n-1²-2n-1]=6n-5故aₙ=6n-5（n≥2）

六、分析题

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，（10分）

（1）作出函数fx的图像；

（2）求fx的最小值及取得最小值时x的取值集合；

（3）解不等式fx3【答案】

（1）图像略，由分段函数fx={3,x-2{x+3,-2≤x≤1{-x,x1}

（2）最小值是3，x∈[-2,1]

（3）x∈-5,-2∪1,4【解析】

（1）当x-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当-2≤x≤1时，fx=-x-1+x+2=3；当x1时，fx=x-1+x+2=2x+1故图像如上

（2）由图像可知，最小值是3，x∈[-2,1]

（3）fx3，即{-2x-13,x-2{x+33,-2≤x≤1{-x3,x1解得x∈-5,-2∪1,4

七、综合应用题已知数列{aₙ}是等差数列，其前n项和为Sₙ，且a₃+a₅=10，S₆=21（20分）

（1）求数列{aₙ}的通项公式；

（2）若数列{bₙ}满足bₙ=aₙsinx，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ；

（3）若数列{cₙ}满足cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Hₙ【答案】

（1）aₙ=2n-3

（2）Tₙ=nn-1/2sinx

（3）Hₙ=3n²-5n-sinxnn-1/2【解析】

（1）设公差为d，由a₃+a₅=10，得2a₁+6d=10，即a₁+3d=5由S₆=21，得6a₁+15d=21，即2a₁+5d=7解得a₁=3，d=1故aₙ=3+n-11=2n-3

（2）bₙ=2n-3sinxTₙ=3sinx+5sinx+7sinx+...+2n-3sinx=sinx3+5+7+...+2n-3=sinxnn-1/2

（3）cₙ=2n-3+nn-1/2sinxHₙ=3+5+7+...+2n-3+nn-1/2sinx=3n²-5n+sinxnn-1/2---完整标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.D

7.C

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.B、C、E

2.A、B

3.C、E

4.A、C、D、E

5.C、E

三、填空题

1.等腰三角形

2.

33.y=3x-

14.

25.-

16.2,

17.-2i

8.

3369.2，-π/

610.2√3

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析

3.见解析。