函数与极限考试题目及答案

函数与极限考试题目及答案

一、单选题

1.下列函数中，在x=0处连续的是（）（2分）A.fx={1/x,x≠0,0,x=0}B.fx={x^2,x≠0,1,x=0}C.fx={sinx,x≠0,0,x=0}D.fx={x,x≠0,2,x=0}【答案】B【解析】函数在x=0处连续需满足极限值等于函数值选项B中，limx→0fx=0=f0，故连续

2.函数fx=x^2-1/x-1在x=1处的极限是（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】A【解析】因x=1使分母为0，但分子也为0，可约分得fx=x+1，故limx→1fx=

23.下列说法正确的是（）（2分）A.若limx→afx存在，则fx在x=a处必连续B.若fx在x=a处连续，则limx→afx存在C.若limx→afx不存在，则fx在x=a处必不连续D.若fx在x=a处不连续，则limx→afx不存在【答案】B【解析】连续的定义要求极限值等于函数值，故连续必极限存在

4.函数fx=|x|在x=0处的导数是（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】D【解析】因左导数limh→0^-|0+h|/h=-1≠右导数limh→0^+|0+h|/h=1，故不可导

5.函数fx=e^x的麦克劳林展开式中x^3项的系数是（）（2分）A.1B.eC.1/eD.3!【答案】A【解析】fx的泰勒系数为f^n0/n!，e^x各阶导数均为e^0=1，故x^3项系数为1/3!

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列极限计算正确的是？（）A.limx→∞3x^2+2x/5x^2-1=3/5B.limx→0sin2x/x=1C.limx→1x^2-1/x-1=2D.limx→0e^x-1/x=1E.limx→∞lnx/x=0【答案】A、B、C、D【解析】考查基本极限计算A.用最高次项系数比；B.标准极限sinx/x→1；C.约分得x+1→2；D.标准极限e^x-1/x→1；E.用洛必达法则得1/x→

02.关于函数fx=1/x-2，下列说法正确的有？（）A.定义域为-∞,2∪2,+∞B.x=2处是可去间断点C.水平渐近线为y=0D.垂直渐近线为x=2E.在-∞,2和2,+∞上单调递减【答案】A、C、D【解析】A.分母不为0；B.第二类间断点；C.当x→±∞时函数值趋近0；D.分母为0处垂直渐近；E.在两区间分别单调

三、填空题

1.若limx→afx=3且limx→agx=5，则limx→a3fx+2gx=______（4分）【答案】21【解析】利用极限线性运算性质，原式=3×3+2×5=

212.函数fx=sinx在x=π处的泰勒展开式的第三项（含x^3）为______（4分）【答案】-π^3/6【解析】sinx的泰勒展开为x-x^3/3!+x^5/5!+...，第三项为-x^3/6=-π^3/6

四、判断题

1.若函数fx在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值（）（2分）【答案】（√）【解析】根据闭区间连续函数性质，必有最大值和最小值

2.若limx→a^nfx=L且n为偶数，则limx→afx=L（）（2分）【答案】（×）【解析】例如fx=-2在x=0处，-2^n=2^n，极限为+∞≠-

23.若fx在x=a处可导，则fx在x=a处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续，根据导数定义limh→0[fa+h-fa]/h存在，推出fa+h→fa

4.函数fx=xsin1/x在x=0处连续（）（2分）【答案】（×）【解析】因limx→0xsin1/x=0≠f0（未定义），故不连续

5.若fx在x=a处右连续但左不连续，则limx→afx不存在（）（2分）【答案】（√）【解析】右连续表示limx→a^+fx=fa，左不连续表示limx→a^-fx≠fa，故整体极限不存在

五、简答题

1.简述洛必达法则的适用条件（5分）【解析】洛必达法则适用于

（1）极限形式为0/0或∞/∞；

（2）分子分母在极限点附近均可导；

（3）导数比的极限存在或趋于无穷；

（4）需反复使用直至非未定式形式

2.解释函数连续性的三个要素（5分）【解析】函数fx在x=a处连续需满足

（1）fa有定义；

（2）极限limx→afx存在；

（3）极限值等于函数值，即limx→afx=fa

3.写出e^x的麦克劳林展开式并说明其收敛域（5分）【解析】e^x的麦克劳林展开为e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...收敛域为-∞,+∞，因幂级数收敛半径为∞

六、分析题

1.设fx={x^2sin1/x,x≠0,0,x=0}，讨论fx在x=0处的连续性和可导性（10分）【解析】

（1）连续性limx→0fx=limx→0x^2sin1/x=0=f0，故连续

（2）可导性f0=limh→0[fh-f0]/h=limh→0[h^2sin1/h]/h=limh→0hsin1/h=0，故可导且f0=0

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-2x+1/x^2-1，求

（1）函数的间断点及类型；

（2）水平渐近线；

（3）求f0使得fx在x=0处连续（20分）【解析】

（1）间断点分母x^2-1=0得x=±1为间断点x=1处limx→1fx=-∞→+∞，第二类间断；x=-1处limx→-1fx=-4/-2=2，可去间断

（2）水平渐近线因deg分子-deg分母=1，无水平渐近线；斜渐近线y=x，因limx→∞[fx-x]=0

（3）连续化令x=0代入原式得f0=1，此时函数在x=0处连续---标准答案（最后一页）

一、单选题

1.B

2.A

3.B

4.D

5.A

二、多选题

1.A、B、C、D

2.A、C、D

三、填空题

1.

212.-π^3/6

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.×

5.√

五、简答题略（按解析内容填写）

六、分析题略（按解析内容填写）

七、综合应用题略（按解析内容填写）。