函数导数重点试题及对应答案

函数导数重点试题及对应答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx在点x₀处可导，且fx₀=2，则下列说法正确的是（）（2分）A.函数fx在x₀处必连续B.函数fx在x₀处必单调递增C.函数fx在x₀处必取得极值D.函数fx在x₀处必可微【答案】A【解析】函数可导必连续，但单调性、极值和可微性无必然联系

2.函数fx=x³-3x+1的导数为（）（2分）A.3x²-3B.3x²+3C.x²-3D.2x³-3x²【答案】A【解析】fx=x³-3x+1=3x²-

33.函数fx=ln|x|的导数为（）（2分）A.1/xB.1/x|x|C.-1/xD.-1/x|x|【答案】B【解析】fx=（ln|x|=1/x|x|

4.函数fx=e^-x²的导数为（）（2分）A.-2xe^-x²B.2xe^-x²C.-e^-x²D.e^-x²【答案】A【解析】fx=-x²e^-x²=-2xe^-x²

5.函数fx=sin2x的导数为（）（2分）A.cos2xB.2cos2xC.-sin2xD.-2sin2x【答案】B【解析】fx=sin2x=sinu|_u=2x·2x=cos2x·2=2cos2x

6.函数fx=cosx²的导数为（）（2分）A.-sinx²B.-2xsinx²C.2xcosx²D.-2xcosx²【答案】B【解析】fx=cosx²=cosu|_u=x²·x²=-sinx²·2x=-2xsinx²

7.函数fx=tanx的导数为（）（2分）A.sec²xB.-sec²xC.cotxD.-cotx【答案】A【解析】fx=tanx=sinx/cosx=sinu/cosu|_u=x·x=cos²x+sin²x/cos²x·1=sec²x

8.函数fx=arctanx的导数为（）（2分）A.1/1+x²B.-1/1+x²C.x/1+x²D.-x/1+x²【答案】A【解析】fx=arctanx=θ|_tanθ=x·tanθ=1/1+tan²θ·1=1/1+x²

9.函数fx=√x的导数为（）（2分）A.1/√xB.1/2√xC.√xD.2√x【答案】B【解析】fx=√x=x^1/2=1/2x^-1/2=1/2√x

10.函数fx=log₃x的导数为（）（2分）A.1/xln3B.1/xln3·log₃eC.1/xln3·log₃3D.ln3/x【答案】A【解析】fx=log₃x=log₃x/ln3·x=1/xln3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=|x|B.fx=x²C.fx=x³D.fx=e^x【答案】B、C、D【解析】fx=|x|在x=0处不可导，fx=x²、fx=x³和fx=e^x在x=0处可导

2.函数fx在点x₀处取得极值，且fx₀存在，则必有（）（4分）A.fx₀=0B.fx₀≠0C.fx₀=0且fx₀≠0D.fx₀=0或fx₀=0【答案】A、C【解析】极值点处导数为0，且二阶导数不为

03.函数fx=x³-3x²+2x+1的极值点为（）（4分）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=-1【答案】B、C【解析】fx=3x²-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3，取整数解x=1和x=

24.函数fx=x²e^-x的导数为（）（4分）A.2xe^-xB.2xe^-x-x²e^-xC.-x²e^-xD.e^-x【答案】B【解析】fx=x²e^-x+x²e^-x=2xe^-x+x²-e^-x=2xe^-x-x²e^-x

5.函数fx=sinx+cosx的导数为（）（4分）A.sinx-cosxB.cosx-sinxC.cosx+sinxD.-sinx-cosx【答案】A【解析】fx=sinx+cosx=cosx-sinx

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=3x²-5x+2的导数为______（4分）【答案】6x-5【解析】fx=3x²-5x+2=6x-

52.函数fx=e^2x的导数为______（4分）【答案】2e^2x【解析】fx=e^2x=e^u|_u=2x·2x=e^2x·2=2e^2x

3.函数fx=ln3x的导数为______（4分）【答案】1/x【解析】fx=ln3x=lnu|_u=3x·3x=1/u·3=1/x

4.函数fx=sinπx的导数为______（4分）【答案】πcosπx【解析】fx=sinπx=sinu|_u=πx·πx=cosπx·π=πcosπx

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx在点x₀处可导，则fx在x₀处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.函数fx=x³的导数为fx=3x²（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=x³=3x²

3.函数fx=sinx在x=π/2处取得极大值，且fπ/2=0（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=sinx=cosx，fπ/2=cosπ/2=0，且fπ/2=1为极大值

4.函数fx=e^x的导数为fx=e^x（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=e^x=e^x

5.函数fx=lnx的导数为fx=1/x（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=lnx=lnu|_u=x·x=1/x·1=1/x

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数在某点处可导的必要条件（5分）【答案】函数在某点处可导的必要条件是该函数在该点处必连续即若fx在x₀处可导，则必有limx→x₀fx-fx₀/x-x₀存在，从而必有limx→x₀fx=fx₀，即fx在x₀处连续

2.简述函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件（5分）【答案】必要条件若函数fx在x₀处取得极值，且fx₀存在，则必有fx₀=0充分条件若函数fx在x₀处可导，且fx₀=0，fx₀≠0，则当fx₀0时，fx在x₀处取得极小值；当fx₀0时，fx在x₀处取得极大值

3.简述链式法则的适用范围及其公式（5分）【答案】链式法则适用于复合函数的求导，即若函数y=fu，u=gx，则复合函数y=fgx的导数为fgx=fu|_u=gx·gx=fu·gx具体公式为若y=fu，u=gx，则dy/dx=dy/du·du/dx

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x³-3x²+2x+1的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导fx=3x²-6x+2；

（2）令fx=0，解得x=1±√3/3，取整数解x=1和x=2；

（3）分析单调性当x1时，fx0，函数单调递增；当1x2时，fx0，函数单调递减；当x2时，fx0，函数单调递增；

（4）求极值f1=1³-3×1²+2×1+1=1，为极大值；f2=2³-3×2²+2×2+1=1，为极小值

2.分析函数fx=e^-x²在区间[-1,1]上的单调性和最值（10分）【答案】

（1）求导fx=-x²e^-x²=-2xe^-x²；

（2）分析单调性当x0时，fx0，函数单调递增；当x0时，fx0，函数单调递减；

（3）求最值fx=0时，x=0，f0=e^0=1；区间端点处f-1=e^-1≈

0.3679，f1=e^-1≈

0.3679；综上，fx在x=0处取得最大值1，在x=-1和x=1处取得最小值e^-1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品的成本函数为Cx=x²-4x+5，其中x为产量求该工厂的边际成本函数，并分析产量为多少时边际成本最小（25分）【答案】

（1）边际成本函数边际成本是成本函数的导数，即Cx=x²-4x+5=2x-4；

（2）分析边际成本最小边际成本函数Cx=2x-4是关于x的一次函数，其导数为2，即单调递增；当x=2时，Cx=0，边际成本最小；综上，当产量为2时，边际成本最小，为C2=

02.某商品的需求函数为p=100-

0.01q，其中p为价格，q为需求量求该商品的总收益函数Rq，并求需求量为多少时总收益最大（25分）【答案】

（1）总收益函数总收益Rq=p×q=100-

0.01qq=100q-

0.01q²；

（2）求总收益最大总收益函数Rq=100q-

0.01q²是关于q的二次函数，开口向下；其导数为Rq=100-

0.02q，令Rq=0，解得q=5000；当q=5000时，总收益最大，为R5000=100×5000-

0.01×5000²=500000-250000=250000；综上，当需求量为5000时，总收益最大，为250000元。