函数性质基础试题及完整答案

函数性质基础试题及完整答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x²C.y=1/xD.y=√x【答案】D【解析】函数y=√x在其定义域（x≥0）内单调递增

2.函数fx=|x-1|在x=2处的导数为（）（2分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】A【解析】fx=sgnx-1，x=2时f2=

13.函数y=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.√2B.2C.1D.π【答案】A【解析】y=√2sinx+π/4，最大值为√

24.函数fx=x³-3x在x=1处的极值是（）（2分）A.极大值2B.极小值2C.极大值-2D.极小值-2【答案】C【解析】f1=0，f1=-60，为极大值点，f1=-

25.函数y=e^x在区间0,1上的平均值是（）（2分）A.eB.e-1C.1D.lne【答案】B【解析】e^1-e^0/1-0=e-

16.函数fx=x²lnx在x=1处的导数为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】fx=2xlnx+x，f1=

17.函数y=arcsinx的导数是（）（2分）A.1/√1-x²B.-1/√1-x²C.1/xD.-1/x【答案】A【解析】d/dxarcsinx=1/√1-x²

8.函数fx=sin²x在x=π/4处的二阶导数为（）（2分）A.0B.-2C.2D.-4【答案】C【解析】fx=-4sin2x，fπ/4=-4sinπ/2=-

49.函数y=log₃x在x=3处的切线斜率是（）（2分）A.1/3B.1C.3D.9【答案】B【解析】y=1/xln3，y|_{x=3}=1/3ln3=

110.函数fx=x³-3x+1的拐点是（）（2分）A.0,1B.1,1C.-1,3D.2,3【答案】B【解析】fx=6x，f1=6≠0，拐点为1,1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内连续的有（）（4分）A.y=1/xB.y=√xC.y=tanxD.y=sinxE.y=lnx【答案】B、D【解析】y=1/x在x≠0连续，y=√x在x≥0连续，y=tanx在kπ-π/2处间断，y=sinx处处连续，y=lnx在x0连续

2.函数fx=x³-ax在x=1处取得极值，则a的值可能是（）（4分）A.3B.-3C.2D.-2E.1【答案】A、D【解析】f1=3-2a=0，解得a=3/2，选项中无该值，重新分析fx=3x²-a，f1=3-a=0，a=

33.下列函数中，在其定义域内单调递减的有（）（4分）A.y=-xB.y=x²C.y=1/xD.y=-2xE.y=e^x【答案】A、D【解析】y=-x和y=-2x在各自定义域内单调递减

4.函数fx=sinxcosx的周期是（）（4分）A.πB.2πC.π/2D.4πE.π/4【答案】B、C【解析】fx=1/2sin2x，周期为2π/2=π

5.函数y=x²lnx在其定义域内（）（4分）A.有最小值B.有最大值C.单调递增D.单调递减E.没有极值点【答案】A【解析】定义域x0，fx=2xlnx+x0，严格单调递增，无极值，最小值在x→0+时趋于0

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数y=2x³-3x²-12x+5的极大值点是______（4分）【答案】1,3【解析】fx=6x²-6x-12=6x-2x+1，极大值点x=2，f2=

32.函数y=sinx在区间[0,π]上的平均值是______（4分）【答案】1【解析】sinπ-sin0/π-0=

03.函数fx=e^x的n阶导数f^nx=______（4分）【答案】e^x【解析】e^x的各阶导数仍为e^x

4.函数y=|x|在x=0处的导数是______（4分）【答案】不存在【解析】左导数-1，右导数1，导数不存在

四、判断题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x³在x=0处取得极值（）（2分）【答案】（×）【解析】f0=0，但f0=0，需用高阶导数判断，此处非极值点

2.函数y=cosx在区间[0,2π]上单调递减（）（2分）【答案】（×）【解析】cosx在[0,π]单调递减，在[π,2π]单调递增

3.函数fx=x²lnx在x=1处取得极小值（）（2分）【答案】（×）【解析】f1=0，f1=2ln1+1=10，为极小值点

4.函数y=tanx在x=π/2处连续（）（2分）【答案】（×）【解析】tanx在x=π/2处无定义，不连续

5.函数fx=sinx+cosx在任意区间[a,b]上的平均值是√2/2（）（2分）【答案】（×）【解析】平均值=sinb-sina+cosb-cosa/b-a≠√2/2

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述函数单调性的判定方法（5分）【答案】

（1）利用导数若fx0，则fx单调递增；若fx0，则fx单调递减

（2）利用定义若对任意x₁x₂，有fx₁fx₂，则fx单调递增

（3）结合图像分析观察函数图像的上升或下降趋势

2.解释函数极值与最值的区别（5分）【答案】

（1）极值是局部性概念fx₀是极大值，只需x₀附近有fx₀fx

（2）最值是全局性概念fx的最大值是M，需对所有x∈D有fx≤M

（3）关系最值点必是极值点（若存在），但极值点未必是最值点

3.函数fx=x³-3x在[-2,2]上的最大值和最小值分别是多少？（5分）【答案】

（1）求导fx=3x²-3=3x+1x-1

（2）驻点x=-1,1

（3）端点f-2=-2，f2=2

（4）比较最大值2（x=2），最小值-2（x=-2）

六、分析题（每题12分，共24分）

1.分析函数y=x³-6x²+9x+1的单调区间、极值和凹凸性（12分）【答案】

（1）单调性fx=3x²-12x+9=3x-1²0，x≠1，函数在-∞,1和1,+∞单调递增

（2）极值x=1处fx=0且变化不变号，无极值

（3）凹凸性fx=6x-12，x2凹向下，x2凹向上拐点2,

82.证明函数fx=xlnx在x0时单调递增（12分）【答案】

（1）求导fx=lnx+1

（2）分析导数当x1时lnx0，fx0；当0x1时lnx0但lnx+10；综上fx≥0，函数单调递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=ax³+bx²+cx+d在x=1处有极大值8，在x=-1处有极小值-4，且f0=1

（1）求fx的表达式（12分）

（2）求fx的单调区间和拐点（8分）

（3）求fx在[-2,2]上的最值（5分）【答案】

（1）求系数fx=3ax²+2bx+c，f1=0，f1=-3a+2b+c=0f-1=0，f-1=3a-2b+c=0联立得a=1，b=0，c=-3f1=a+b+c+d=8，d=10f0=d=1矛盾，需修正条件若f0=0，则d=0，矛盾重新分析f1=a+b+c+d=8，f-1=a-b+c+d=-4，f0=d=1解得a=3，b=-3，c=-3，d=1fx=3x³-3x²-3x+1

（2）单调区间fx=9x²-6x-3=33x+1x-1，x=-1/3和x=1处变化区间-∞,-1/3递增，-1/3,1递减，1,+∞递增

（3）最值f-2=19，f-1/3=11/9，f1=1，f2=11最大值19，最小值-

42.设函数fx=x³-px²+qx在x=1和x=2处有水平切线

（1）求p、q的值（10分）

（2）求fx的极值点（8分）

（3）证明fx在1,2上单调递增（7分）【答案】

（1）求参数fx=3x²-2px+q，x=1处f1=0，3-2p+q=0x=2处f2=0，12-4p+q=0联立得p=3，q=-3

（2）极值点fx=3x²-6x-3=3x²-2x-1=3x-1-√2x-1+√2零点x=1+√2和x=1-√2x=1+√2处fx0，极小值；x=1-√2处fx0，极大值

（3）单调性fx=3x-1-√2x-1+√2，在1,2区间内x-1-√20，x-1+√20，故fx0，函数单调递增。