函数方程高考试题及详细评注

函数方程高考试题及详细评注

一、单选题

1.若函数fx满足fx+1=fx+2，且f0=1，则f2023的值为（）（2分）A.4046B.4045C.2024D.2023【答案】A【解析】由fx+1=fx+2可知，fx是等差数列，公差为2，首项为1因此f2023=1+2023×2=4047考查等差数列性质

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx表示数轴上点x到1和-2的距离之和，最小值为1--2=3考查绝对值函数性质

3.函数fx=lnx+1-x的单调递减区间为（）（2分）A.-1,0B.0,1C.-1,+∞D.1,+∞【答案】B【解析】fx=1/x+1-1，令fx0得x0考查导数与单调性关系

4.若函数fx=x^3+px+q在x=1处取得极值，则p+q的值为（）（2分）A.2B.-2C.3D.-3【答案】B【解析】fx=3x^2+p，f1=3+p=0得p=-3，又f1=1-3+q=0得q=2，故p+q=-1考查极值点条件

5.函数fx=sinx+π/6-cosx/2的最小正周期为（）（1分）A.2πB.4πC.πD.π/2【答案】A【解析】T=max{T1,T2}，其中T1=2π，T2=4π考查三角函数周期性

6.定义在R上的奇函数fx满足fx+2=fx，则fπ的值为（）（2分）A.f1B.-f1C.f-1D.-f-1【答案】A【解析】fx是周期为2的奇函数，fπ=fπ-2n，取n=1得fπ=fπ-2=f1考查函数性质

7.若函数fx=e^x+ax在x=0处取得极值，则a的值为（）（1分）A.-1B.1C.2D.-2【答案】A【解析】fx=e^x+a，f0=1+a=0得a=-1考查极值点条件

8.函数fx=√x^2+2x+3在[-3,2]上的最小值为（）（2分）A.√2B.√3C.2D.3【答案】B【解析】fx=√[x+1^2+2]，当x=-1时取得最小值√2考查基本不等式

9.函数fx=xlnx-2x在0,+∞上的零点个数为（）（2分）A.0B.1C.2D.不确定【答案】B【解析】fx=lnx-1，令fx=0得x=e，fx在0,e减，e,+∞增，fe0且f1=-10，fx有唯一零点考查零点存在性

10.函数fx=x^2-x+1在区间[-1,1]上的最大值为（）（1分）A.1B.1/2C.3D.2【答案】C【解析】fx=x-1/2^2+3/4，当x=-1时取得最大值3考查二次函数性质【答案】

1.A

2.C

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.B

10.C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数fx=1/x的说法正确的是？（）A.fx在-∞,0单调递减B.fx是奇函数C.fx在0,+∞单调递减D.fx在定义域内连续E.fx有垂直渐近线x=0【答案】A、B、C、D、E【解析】fx=-1/x^20，故在定义域内单调递减；f-x=-fx，是奇函数；在定义域内连续；x=0是垂直渐近线考查基本初等函数性质

2.函数fx=ax^3+bx^2+cx+d的图象可能有几个拐点？（）A.0B.1C.2D.3E.4【答案】A、B、C【解析】拐点为二阶导数零点且三阶导数非零，最多两个考查拐点判定

3.下列函数中，在定义域内无界的是？（）A.fx=1/xB.fx=e^xC.fx=lnxD.fx=sinxE.fx=cosx【答案】A、B、C【解析】1/x当x→0时无界，e^x当x→+∞时无界，lnx当x→+∞时无界考查函数无界性

4.若函数fx=x^2+px+q在x=1处取得极值，则下列说法正确的是？（）A.p=2B.p=-2C.q=0D.q=2E.p^2-4q=0【答案】B、D、E【解析】fx=2x+p，f1=2+p=0得p=-2，f1=1+p+q=0得q=1，故p^2-4q=4-4=0考查极值点条件

5.函数fx=sinx+π/4的图象经过怎样的变换可得到gx=sin2x+π/4的图象？（）A.横坐标缩短为原来的一半B.纵坐标伸长为原来的2倍C.向左平移π/8个单位D.向右平移π/8个单位E.向左平移π/4个单位【答案】A、C【解析】gx=2fx+π/8，故横坐标缩短为原来一半，向左平移π/8考查函数图象变换【答案】

1.A、B、C、D、E

2.A、B、C

3.A、B、C

4.B、D、E

5.A、C

三、填空题

1.函数fx=x^2-2x+3在区间[-1,3]上的最大值为______，最小值为______（4分）【答案】7；2【解析】fx=x-1^2+2，当x=1时最小值2，当x=3时最大值

72.若函数fx=x^3+px+q在x=1处取得极值，则p-q=______（4分）【答案】-4【解析】fx=3x^2+p，f1=3+p=0得p=-3，f1=1-3+q=0得q=2，故p-q=-

53.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期为______（4分）【答案】π【解析】T=2π/|ω|=π

4.若函数fx=lnx+a在x=1处可导，则a=______（4分）【答案】2【解析】fx=1/x+a，f1=1/1+a=1得a=

05.函数fx=x^3-3x+2的极值点为______和______（4分）【答案】1；-1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在I上无界（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x在-1,1单调递增但无界，如fx=x在[-1,1]单调递增但有界

2.函数fx=1/x在-∞,0和0,+∞上单调递减（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=-1/x^20，故在定义域内单调递减

3.若函数fx在x=c处取得极大值，则必有fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=|x|在x=0处取得极大值但f0不存在

4.函数fx=ax^2+bx+c的图象是一条抛物线（）（2分）【答案】（√）【解析】只要a≠0，图象是抛物线

5.函数fx=sinx+π/2的图象与函数gx=cosx的图象相同（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=sinx+π/2=cosx

五、简答题（每题5分，共15分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的单调区间【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0得x=1±√1/3，当x∈-∞,1-√1/3时fx0，当x∈1-√1/3,1+√1/3时fx0，当x∈1+√1/3,+∞时fx0故单调增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞，单调减区间为1-√1/3,1+√1/

32.已知函数fx=ln1+x-x，证明fx0对x∈0,+∞成立【解析】fx=1/1+x-1=1-x/1+x，当x∈0,1时fx0，当x∈1,+∞时fx0，故fx在0,1单调增，在1,+∞单调减f0=0，故fx0对x∈0,1，fx≤0对x∈1,+∞，综上fx0对x∈0,+∞

3.设函数fx=x^2+px+q，若fx在x=1处取得极值，且f1+f2=3，求p、q的值【解析】fx=2x+p，f1=2+p=0得p=-2，f1=1+p+q=0得q=1，又f1+f2=1-2+q+4-2q=3得q=1，故p=-2，q=1

六、分析题（每题12分，共24分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在[-2,3]上的最大值和最小值【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0得x=1±√1/3，f-2=-10，f1-√1/3≈

1.09，f1+√1/3≈

0.91，f3=3，故最大值为3，最小值为-

102.设函数fx=x^3-px^2+q，若fx在x=1和x=-1处取得极值，且f1+f-1=0，求p、q的值【解析】fx=3x^2-2px，令f1=3-2p=0得p=3/2，令f-1=3+2p=0得p=-3/2，矛盾重新分析fx=3xx-p，x=±1为极值点，故p=±3，又f1+f-1=0得1-p^2+q-1+p^2+q=0得2q=0得q=0，故p=±3，q=0

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2x，若存在实数a使得方程fx=a在[-2,3]上有三个不同的实根，求a的取值范围【解析】fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-1，令fx=0得x=1±√1/3，f-2=-10，f1-√1/3≈

1.09，f1+√1/3≈

0.91，f3=3，故fx在[-2,3]上的值域为[-10,3]若方程fx=a有三个不同实根，则a必须在fx的极大值和极小值之间，即

0.91a

1.

092.设函数fx=x^3-px^2+q，若fx在x=1和x=-1处取得极值，且f1+f-1=0，求p、q的值，并证明fx在[-2,2]上无零点【解析】fx=3x^2-2px，令f1=3-2p=0得p=3/2，令f-1=3+2p=0得p=-3/2，矛盾重新分析fx=3xx-p，x=±1为极值点，故p=±3，又f1+f-1=0得1-p^2+q-1+p^2+q=0得2q=0得q=0，故p=±3，q=0若p=3，q=0，fx=x^3-3x^2，f-2=-8，f2=0，有零点矛盾；若p=-3，q=0，fx=x^3+3x^2，f-2=-4，f2=20，无零点故p=-3，q=0。