北京卷题目与答案解析

北京卷题目与答案解析

一、单选题

1.下列物质中，不属于纯净物的是（）（2分）A.氧气B.水C.空气D.二氧化碳【答案】C【解析】空气是由多种气体组成的混合物，而氧气、水和二氧化碳都是纯净物

2.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.a0,b=0B.a0,b=0C.a0,b≠0D.a0,b≠0【答案】A【解析】函数图像开口向上说明a0，顶点在x轴上说明判别式Δ=b^2-4ac=0，结合b=0可得正确选项

3.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，则角C的大小为（）（2分）A.75°B.105°C.135°D.150°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，所以角C=180°-45°-60°=75°

4.下列几何体中，三视图都是矩形的是（）（2分）A.圆锥B.球体C.正方体D.圆柱【答案】C【解析】正方体的三视图都是矩形，其他选项至少有一个视图不是矩形

5.若实数x满足x^2-3x+2=0，则x的取值范围是（）（2分）A.x=1B.x=2C.x=1或x=2D.x≠1且x≠2【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0可得x=1或x=

26.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现随机抽取3名学生，则抽到3名男生的概率为（）（2分）A.3/50B.3/10C.1/125D.27/125【答案】D【解析】P3名男生=30/50×29/49×28/48=27/

1257.下列不等式解集为x2的是（）（2分）A.x^2-4x+40B.x^2-4x+40C.x^2-3x+20D.x^2-3x+20【答案】C【解析】解不等式x^2-3x+20可得x2或x

18.函数y=|x-1|在区间[0,3]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数在x=1处取得最小值0，但区间[0,3]上最小值为

19.某几何体的主视图和左视图都是等边三角形，俯视图是圆形，则该几何体是（）（2分）A.圆锥B.球体C.正三棱柱D.正方体【答案】A【解析】主视图和左视图为等边三角形，俯视图为圆形的几何体是圆锥

10.下列命题中，为真命题的是（）（2分）A.所有奇数都是质数B.所有质数都是奇数C.存在偶数不是质数D.存在质数不是奇数【答案】C【解析】2是偶数但不是质数，所以存在偶数不是质数

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域上单调递增的是（）A.y=xB.y=2x+1C.y=x^2D.y=1/xE.y=√x【答案】A、B、E【解析】y=x、y=2x+1和y=√x在定义域上单调递增，y=x^2在0,+∞递增，y=1/x在-∞,0递增

2.下列方程中，有实数解的是（）A.x^2+x+1=0B.x^2-4x+4=0C.x^2+x-1=0D.x^2-6x+9=0E.x^2+2x+3=0【答案】B、C、D【解析】B、C、D的判别式Δ≥0，有实数解

3.下列几何体中，表面积公式为S=4πr^2的是（）A.正方体B.长方体C.圆柱D.圆锥E.球体【答案】E【解析】只有球体的表面积公式为S=4πr^

24.下列命题中，为真命题的是（）A.对任意实数x，x^2≥0B.若ab，则a^2b^2C.若|a|=|b|，则a=bD.若ab，则1/a1/bE.若a^2=b^2，则a=b【答案】A、D【解析】A显然为真，D中若ab0或a-b0，则1/a1/bB、C、E都有反例

5.下列不等式组解集为空集的是（）A.{x|x^2-10}∩{x|x^2+10}B.{x|x^2-40}∩{x|x^2-90}C.{x|x^2+10}∩{x|x^2-40}D.{x|x^2-90}∩{x|x^2-40}E.{x|x^2-10}∩{x|x^2+10}【答案】A、E【解析】A中x^2+1永远大于0，交集为空；E中x^2-1小于0且x^2+1大于0不可能同时成立

三、填空题

1.已知函数fx=2x^3-3x^2+1，则fx在x=1处的导数为______（4分）【答案】1【解析】fx=6x^2-6x，f1=6-6=0，但题目要求f1=1有误，正确答案应为

02.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，且BC=6，则AB的长度为______（4分）【答案】3√2【解析】由正弦定理sinC=√2/2，得AC=6sin45°/sin30°=6√2/2=3√

23.某工厂生产某种产品，固定成本为1000元，每件产品可变成本为50元，售价为80元，则该工厂至少生产______件产品才能盈利（4分）【答案】40【解析】设生产x件产品，盈利条件为80x-50x-10000，解得x25，至少生产40件

4.函数y=2sin3x+π/6的最小正周期为______（4分）【答案】2π/3【解析】周期T=2π/|ω|=2π/

35.若复数z=1+i，则z^2的实部为______（4分）【答案】0【解析】z^2=1+i^2=1+2i-1=2i，实部为0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间[a,b]上单调递增，则其反函数也在区间[a,b]上单调递增（）【答案】（√）【解析】单调递增函数的反函数仍单调递增

2.若向量a=1,2，向量b=3,4，则向量a+b=4,6（）【答案】（×）【解析】a+b=1+3,2+4=4,6，判断正确，但参考答案标注错误

3.若三角形的三条高交于一点，则该三角形为等边三角形（）【答案】（×）【解析】三条高交于一点的三角形为垂心三角形，可以是任意三角形

4.若样本数据为x1,x2,x3,...,xn，则样本方差s^2=Σxi-x^2/n，其中x为样本均值（）【答案】（√）【解析】这是样本方差的定义公式

5.若实数a0，b0，则a+b√ab（）【答案】（√）【解析】由算术平均数大于几何平均数可得

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（4分）【答案】最大值f-1=5，最小值f2=-2【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=5，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值为5，最小值为-

22.已知向量a=3,1，向量b=1,-2，求向量a+2b的坐标（4分）【答案】5,-3【解析】a+2b=3,1+2,-4=5,-

33.证明若a,b,c为正数，且a+b+c=1，则1-a1-b1-c≤1/8（4分）【解析】令x=1-a，y=1-b，z=1-c，则x+y+z=2，xyz^1/3≤x+y+z/3=2/3，xyz≤2/3^3=8/27，故1-a1-b1-c≤1/8

六、分析题（每题10分，共20分）

1.某班级有60名学生，其中男生40人，女生20人，现随机抽取3名学生，求至少抽到1名男生的概率（10分）【答案】P至少1名男生=1-P0名男生=1-20/60×19/59×18/58=1-

0.094=

0.906【解析】抽到0名男生的概率为20/60×19/59×18/58=

0.094，故至少抽到1名男生的概率为

0.

9062.已知函数fx=x^3-3x^2+2x+1，求fx的极值点（10分）【答案】极值点为x=1和x=2/3，其中x=1为极大值点，x=2/3为极小值点【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3，即x=1和x=2/3，f1=-20为极大值点，f2/3=20为极小值点

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某商场销售某种商品，进价为每件50元，售价为每件80元，若销售量为x件时，商场每天获得的总利润为y元，且已知每天至少销售20件，最多销售100件（10分）

（1）求y与x的函数关系式；（5分）

（2）若商场每天要获得至少200元利润，至少应销售多少件商品？（10分）【答案】

（1）y=80-50x=30x

（2）30x≥200，x≥20/3，至少销售21件【解析】

（1）每件商品利润为80-50=30元，总利润y=30x

（2）30x≥200，x≥200/30=20/3，由于x为整数，至少销售21件

2.某几何体的三视图如下主视图正方形左视图矩形俯视图矩形且已知该几何体的表面积为72cm^2，体积为48cm^3，求该几何体的尺寸（15分）【答案】长宽高分别为6cm、4cm、2cm【解析】设长方体长宽高分别为a、b、c，主视图为正方形说明a=b，左视图为矩形说明ac，表面积S=2ab+bc+ac=72，体积V=abc=48，解得a=b=6，c=2。