双曲线试题及详细答案

双曲线经典试题及详细答案

一、单选题

1.下列哪个方程表示一条双曲线？（）（2分）A.x^2+y^2=1B.y=x^2C.x^2-y^2=1D.2x+3y=6【答案】C【解析】双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1，故选项C表示一条双曲线

2.双曲线的渐近线方程为y=±b/ax，则该双曲线的方程为（）（2分）A.x^2-y^2=1B.x^2+y^2=1C.a^2x^2-b^2y^2=1D.b^2x^2-a^2y^2=1【答案】C【解析】根据渐近线方程y=±b/ax，可知该双曲线的标准方程为a^2x^2-b^2y^2=

13.双曲线x^2-4y^2=1的焦点坐标为（）（2分）A.±2,0B.0,±2C.±√5,0D.0,±√5【答案】C【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点坐标为±c,0，其中c=√a^2+b^2对于方程x^2-4y^2=1，有a^2=1,b^2=4，因此c=√1+4=√

54.双曲线的离心率e满足（）（2分）A.e1B.e=1C.e1D.e=0【答案】C【解析】双曲线的离心率e=c/a，其中ca，因此e

15.双曲线x^2/9-y^2/16=1的实轴长为（）（2分）A.6B.8C.9D.16【答案】A【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的实轴长为2a，对于方程x^2/9-y^2/16=1，有a^2=9，因此实轴长为2a=2×3=

66.双曲线y^2/25-x^2/9=1的焦点坐标为（）（2分）A.±5,0B.0,±5C.±√34,0D.0,±√34【答案】D【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的焦点坐标为0,±c，其中c=√a^2+b^2对于方程y^2/25-x^2/9=1，有a^2=25,b^2=9，因此c=√25+9=√

347.双曲线x^2/16-y^2/9=1的离心率为（）（2分）A.5/4B.4/5C.5/3D.3/5【答案】A【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，对于方程x^2/16-y^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此c=√16+9=5，e=c/a=5/

48.双曲线x^2/25-y^2/16=1的渐近线方程为（）（2分）A.y=±4/5xB.y=±5/4xC.y=±3/4xD.y=±4/3x【答案】B【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax，对于方程x^2/25-y^2/16=1，有a^2=25,b^2=16，因此b/a=4/5，渐近线方程为y=±4/5x

9.双曲线y^2/9-x^2/16=1的实轴长为（）（2分）A.6B.8C.9D.16【答案】B【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的实轴长为2a，对于方程y^2/9-x^2/16=1，有a^2=9，因此实轴长为2a=2×3=

610.双曲线x^2/9-y^2/4=1的离心率为（）（2分）A.√13/3B.3/√13C.√13/2D.2/√13【答案】C【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，对于方程x^2/9-y^2/4=1，有a^2=9,b^2=4，因此c=√9+4=√13，e=c/a=√13/3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些性质属于双曲线的特征？（）A.有两个焦点B.离心率大于1C.有渐近线D.实轴和虚轴互相垂直E.对称于原点【答案】A、B、C、E【解析】双曲线有两个焦点，离心率大于1，有渐近线，对称于原点，实轴和虚轴互相垂直

2.双曲线y^2/16-x^2/9=1的渐近线方程为（）A.y=±3/4xB.y=±4/3xC.y=±4/4xD.y=±3/3x【答案】A【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax，对于方程y^2/16-x^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此b/a=3/4，渐近线方程为y=±3/4x

3.双曲线x^2/25-y^2/16=1的离心率为（）A.5/4B.4/5C.5/3D.3/5【答案】A【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，对于方程x^2/25-y^2/16=1，有a^2=25,b^2=16，因此c=√25+16=√41，e=c/a=√41/

54.双曲线y^2/9-x^2/16=1的实轴长为（）A.6B.8C.9D.16【答案】B【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的实轴长为2a，对于方程y^2/9-x^2/16=1，有a^2=9，因此实轴长为2a=2×3=

65.双曲线x^2/16-y^2/9=1的渐近线方程为（）A.y=±3/4xB.y=±4/3xC.y=±4/4xD.y=±3/3x【答案】A【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax，对于方程x^2/16-y^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此b/a=3/4，渐近线方程为y=±3/4x

三、填空题

1.双曲线x^2/9-y^2/16=1的焦点坐标为______（4分）【答案】±√25,0【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点坐标为±c,0，其中c=√a^2+b^2对于方程x^2/9-y^2/16=1，有a^2=9,b^2=16，因此c=√9+16=√

252.双曲线y^2/25-x^2/16=1的实轴长为______（4分）【答案】10【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的实轴长为2a，对于方程y^2/25-x^2/16=1，有a^2=25，因此实轴长为2a=2×5=

103.双曲线x^2/16-y^2/9=1的离心率为______（4分）【答案】5/4【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，对于方程x^2/16-y^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此c=√16+9=√25，e=c/a=5/

44.双曲线y^2/9-x^2/16=1的渐近线方程为______（4分）【答案】y=±4/3x【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax，对于方程y^2/9-x^2/16=1，有a^2=9,b^2=16，因此b/a=4/3，渐近线方程为y=±4/3x

5.双曲线x^2/25-y^2/16=1的离心率为______（4分）【答案】5/4【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，对于方程x^2/25-y^2/16=1，有a^2=25,b^2=16，因此c=√25+16=√41，e=c/a=5/4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.双曲线的离心率e满足e1（）（2分）【答案】（√）【解析】双曲线的离心率e=c/a，其中ca，因此e

12.双曲线x^2/9-y^2/16=1的渐近线方程为y=±4/3x（）（2分）【答案】（√）【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax，对于方程x^2/9-y^2/16=1，有a^2=9,b^2=16，因此b/a=4/3，渐近线方程为y=±4/3x

3.双曲线y^2/25-x^2/16=1的实轴长为10（）（2分）【答案】（√）【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的实轴长为2a，对于方程y^2/25-x^2/16=1，有a^2=25，因此实轴长为2a=2×5=

104.双曲线x^2/16-y^2/9=1的离心率为5/4（）（2分）【答案】（√）【解析】双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率e=c/a，对于方程x^2/16-y^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此c=√16+9=√25，e=c/a=5/

45.双曲线y^2/9-x^2/16=1的渐近线方程为y=±3/4x（）（2分）【答案】（×）【解析】双曲线y^2/a^2-x^2/b^2=1的渐近线方程为y=±b/ax，对于方程y^2/9-x^2/16=1，有a^2=9,b^2=16，因此b/a=4/3，渐近线方程为y=±4/3x

五、简答题（每题2-5分，共10分）

1.简述双曲线的定义及其标准方程（4分）【答案】双曲线是平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=

12.简述双曲线的离心率及其物理意义（3分）【答案】双曲线的离心率e=c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是实轴的一半离心率e表示双曲线的开口程度，e越大，双曲线开口越宽

3.简述双曲线的渐近线及其物理意义（3分）【答案】双曲线的渐近线是两条相交于中心的直线，渐近线方程为y=±b/ax渐近线表示双曲线的延伸方向，双曲线的分支无限接近渐近线但永不相交

六、分析题（每题10-15分，共20分）

1.分析双曲线x^2/16-y^2/9=1的几何性质，包括焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程（10分）【答案】双曲线x^2/16-y^2/9=1的几何性质如下-焦点坐标焦点坐标为±c,0，其中c=√a^2+b^2对于方程x^2/16-y^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此c=√16+9=√25=5焦点坐标为±5,0-实轴长实轴长为2a=2×4=8-虚轴长虚轴长为2b=2×3=6-离心率离心率e=c/a=5/4-渐近线方程渐近线方程为y=±b/ax，对于方程x^2/16-y^2/9=1，有a^2=16,b^2=9，因此b/a=3/4，渐近线方程为y=±3/4x

2.分析双曲线y^2/25-x^2/16=1的几何性质，包括焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程（10分）【答案】双曲线y^2/25-x^2/16=1的几何性质如下-焦点坐标焦点坐标为0,±c，其中c=√a^2+b^2对于方程y^2/25-x^2/16=1，有a^2=25,b^2=16，因此c=√25+16=√41焦点坐标为0,±√41-实轴长实轴长为2a=2×5=10-虚轴长虚轴长为2b=2×4=8-离心率离心率e=c/a=√41/5-渐近线方程渐近线方程为y=±b/ax，对于方程y^2/25-x^2/16=1，有a^2=25,b^2=16，因此b/a=4/5，渐近线方程为y=±4/5x

七、综合应用题（每题20-25分，共25分）

1.已知双曲线的离心率为2，实轴长为8，求双曲线的标准方程及其几何性质（25分）【答案】双曲线的离心率为2，实轴长为8，求双曲线的标准方程及其几何性质-实轴长为8，即2a=8，因此a=4-离心率e=2，即e=c/a=2，因此c=2a=2×4=8-双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1由于a=4，c=8，有b^2=c^2-a^2=8^2-4^2=64-16=48-双曲线的标准方程为x^2/16-y^2/48=1或y^2/16-x^2/48=1-双曲线的几何性质-焦点坐标焦点坐标为±c,0，即±8,0-实轴长实轴长为2a=8-虚轴长虚轴长为2b=2√48=8√3-离心率离心率e=2-渐近线方程渐近线方程为y=±b/ax，即y=±√48/4x=±2√3x

2.已知双曲线的渐近线方程为y=±3/4x，离心率为2，求双曲线的标准方程及其几何性质（25分）【答案】双曲线的渐近线方程为y=±3/4x，离心率为2，求双曲线的标准方程及其几何性质-渐近线方程为y=±3/4x，即b/a=3/4-离心率e=2，即e=c/a=2-设a=4k，b=3k，则c=2a=8k-双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=1由于a=4k，b=3k，有c^2=a^2+b^2，即8k^2=4k^2+3k^2，64k^2=16k^2+9k^2，64k^2=25k^2，k^2=64/25，k=8/5-双曲线的标准方程为x^2/16/25-y^2/12/25=1或y^2/16/25-x^2/12/25=1，即25x^2/16-25y^2/12=1或25y^2/16-25x^2/12=1-双曲线的几何性质-焦点坐标焦点坐标为±c,0，即±16/5,0-实轴长实轴长为2a=16/5-虚轴长虚轴长为2b=2×12/5=24/5-离心率离心率e=2-渐近线方程渐近线方程为y=±3/4x

八、标准答案及解析（最后一页）

一、单选题

1.C

2.C

3.C

4.C

5.A

6.D

7.A

8.A

9.B

10.C

二、多选题（每题4分，共20分）

1.A、B、C、E

2.A

3.A

4.B

5.A

三、填空题

1.±√25,

02.

103.5/

44.y=±4/3x

5.5/4

四、判断题（每题2分，共10分）

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题（每题2-5分，共10分）

1.双曲线是平面内到两个定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹双曲线的标准方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1或y^2/a^2-x^2/b^2=

12.双曲线的离心率e=c/a，其中c是焦点到中心的距离，a是实轴的一半离心率e表示双曲线的开口程度，e越大，双曲线开口越宽

3.双曲线的渐近线是两条相交于中心的直线，渐近线方程为y=±b/ax渐近线表示双曲线的延伸方向，双曲线的分支无限接近渐近线但永不相交

六、分析题（每题10-15分，共20分）

1.双曲线x^2/16-y^2/9=1的几何性质-焦点坐标±5,0-实轴长8-虚轴长6-离心率5/4-渐近线方程y=±3/4x

2.双曲线y^2/25-x^2/16=1的几何性质-焦点坐标0,±√41-实轴长10-虚轴长8-离心率√41/5-渐近线方程y=±4/5x

七、综合应用题（每题20-25分，共25分）

1.双曲线的标准方程为x^2/16-y^2/48=1或y^2/16-x^2/48=1，几何性质-焦点坐标±8,0-实轴长8-虚轴长8√3-离心率2-渐近线方程y=±2√3x

2.双曲线的标准方程为25x^2/16-25y^2/12=1或25y^2/16-25x^2/12=1，几何性质-焦点坐标±16/5,0-实轴长16/5-虚轴长24/5-离心率2-渐近线方程y=±3/4x。