取导数模拟试题及标准解答

取导数模拟试题及标准解答

一、单选题

1.函数fx=3x^2-5x+2在x=1处的导数为（）（2分）A.1B.4C.7D.8【答案】B【解析】fx=6x-5，f1=6-5=

12.曲线y=lnx+1在点0,0处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=-xC.y=2xD.y=-2x【答案】A【解析】y=x+1^-1，y0=1，切线方程为y=x

3.函数fx=sinx+cosx的导数fx是（）（2分）A.sinx-cosxB.cosx-sinxC.sinx+cosxD.-sinx-cosx【答案】A【解析】fx=cosx-sinx

4.函数y=e^-2x的导数是（）（2分）A.-2e^-2xB.2e^-2xC.-e^-2xD.e^-2x【答案】A【解析】y=-2e^-2x

5.函数fx=sqrtx在x=4处的导数是（）（2分）A.1/4B.1/2C.1/8D.1/16【答案】B【解析】fx=1/2x^-1/2，f4=1/22=1/

46.函数y=x^3-x在x=0处的导数是（）（2分）A.0B.1C.-1D.3【答案】A【解析】y=3x^2-1，y0=-

17.函数fx=ln2x的导数是（）（2分）A.1/xB.1/2xC.2/xD.2lnx【答案】C【解析】fx=1/2x2=2/x

8.函数y=2x^2-3x+1的导数是（）（2分）A.4x-3B.4x+3C.2x-3D.2x+3【答案】A【解析】y=4x-

39.函数fx=tanx的导数是（）（2分）A.sinx/cosxB.cosx/sinxCsec^2xD.csc^2x【答案】C【解析】fx=sec^2x

10.函数y=3^x的导数是（）（2分）A.3^xln3B.3^x/ln3C.3^xln2D.3^x/ln2【答案】A【解析】y=3^xln3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处导数为0的有（）A.y=x^2B.y=2xC.y=x^3D.y=3【答案】A、C【解析】y=2x，y0=0；y=3x^2，y0=0y=2x在x=0处导数为2，y=3为常数函数，导数为

02.下列函数中，导数恒为正的有（）A.y=x^2+1B.y=e^xC.y=2^xD.y=cosx【答案】A、B、C【解析】y=2x，x0时导数为正；y=e^x永远为正；y=2^xln2永远为正；y=-sinx，导数符号变化

3.下列函数中，导数等于原函数的有（）A.y=e^xB.y=lnxC.y=xD.y=2^x【答案】A、C【解析】y=e^x=y；y=1/x不等于y=lnx；y=1=y；y=2^xln2不等于y=2^x

4.下列说法正确的有（）A.函数在某点可导，则在该点一定连续B.函数在某点连续，则在该点一定可导C.函数的导数为0的点，一定是极值点D.函数的极值点处，导数一定为0【答案】A、D【解析】可导必连续，连续不一定可导；导数为0不一定是极值点，极值点处导数可能为0或不存在

5.下列函数中，二阶导数大于0的有（）A.y=x^2B.y=-x^2C.y=3x+2D.y=2x^3【答案】A、D【解析】y=2，y=-2，y=0，y=6x

三、填空题

1.函数fx=x^3-3x^2+2在x=2处的导数为______（4分）【答案】-2【解析】fx=3x^2-6x，f2=12-12=

02.曲线y=2x^3-3x^2+1在点1,0处的切线方程是______（4分）【答案】y=-x+1【解析】y=6x^2-6x，y1=0，切线方程为y=-x+

13.函数fx=e^xsinx的导数是______（4分）【答案】e^xsinx+e^xcosx【解析】fx=e^xsinx+e^xcosx

4.函数y=lnx^2+1的导数是______（4分）【答案】2x/x^2+1【解析】y=x^2+1^-12x=2x/x^2+

15.函数fx=sqrt1-x^2的导数是______（4分）【答案】-x/sqrt1-x^2【解析】y=1-x^2^-1/2-2x=-x/sqrt1-x^2

四、判断题

1.函数在某点不可导，则在该点一定不连续（）（2分）【答案】（×）【解析】如y=|x|在x=0处不连续，但可导

2.函数的导数为0的点，一定是极值点（）（2分）【答案】（×）【解析】如y=x^3在x=0处导数为0，但不是极值点

3.函数的极值点处，导数一定为0（）（2分）【答案】（×）【解析】如y=|x|在x=0处导数不存在，但为极值点

4.函数的导数恒为正，则函数单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】导数恒为正，函数单调递增

5.函数在某点可导，则在该点一定连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

五、简答题

1.求函数fx=x^2-4x+5的导数，并说明其几何意义（5分）【答案】fx=2x-4，几何意义为曲线y=x^2-4x+5在点x,y处的切线斜率

2.解释什么是函数的导数，并举例说明（5分）【答案】导数表示函数在某点处的变化率如y=x^2，y=x+Δx^2-x^2/Δx=x，当Δx→0时，导数为2x

3.函数fx=e^x的导数是什么？并解释其物理意义（5分）【答案】fx=e^x，表示指数函数的瞬时增长速率等于其当前值，如人口增长模型

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2的单调性和极值（10分）【答案】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2当x0时fx0，x2时fx0，0x2时fx0故fx在-∞,0,2,+∞单调递增，在0,2单调递减f0=2为极大值，f2=-2为极小值

2.分析函数fx=2x^3-3x^2-12x+5的单调性和极值（10分）【答案】fx=6x^2-6x-12=6x+1x-2，令fx=0得x=-1,2当x-1时fx0，-1x2时fx0，x2时fx0故fx在-∞,-1,2,+∞单调递增，在-1,2单调递减f-1=8为极大值，f2=-15为极小值

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的拐点，并分析其凹凸性（25分）【答案】fx=6x-6=6x-1，令fx=0得x=1当x1时fx0，x1时fx0故fx在-∞,1凹，在1,+∞凸拐点为1,

02.已知函数fx=e^-x^2，求函数的极值和单调性（25分）【答案】fx=-2xe^-x^2，令fx=0得x=0当x0时fx0，x0时fx0故fx在-∞,0单调递增，在0,+∞单调递减f0=1为极大值。