圆幂定理典型试题及完整答案

圆幂定理典型试题及完整答案

一、单选题

1.若PA=8cm，PB=4cm，CD为圆的弦，且PC=PC，则CD=（）（2分）A.4cmB.6cmC.8cmD.9cm【答案】B【解析】根据圆幂定理，PAPB=PCPD，设PD=x，则84=PC+xPC，解得PC=4cm或PC=-2cm（舍去），所以PD=4-4=0，CD=2PD=6cm

2.若PA=6cm，PB=3cm，CD为圆的切线，切点为E，则DE=（）（2分）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】A【解析】根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则63=y^2，解得y=3√2，DE=PE-PEcos45°=3√2-3√2/√2=3cm

3.若PA=5cm，PB=2cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=3cm，则EF=（）（2分）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【答案】C【解析】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则52=3z，解得z=10/3，EF=PF-PE=10/3-3=4/3cm

4.若PA=7cm，PB=3cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=2cm，则EF=（）（2分）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】B【解析】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则73=2z，解得z=21/2，EF=PF-PE=21/2-2=4cm

5.若PA=9cm，PB=4cm，CD为圆的切线，切点为E，则DE=（）（2分）A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm【答案】B【解析】根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则94=y^2，解得y=6，DE=PE-PEcos60°=6-61/2=5cm

6.若PA=8cm，PB=2cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=4cm，则EF=（）（2分）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【答案】A【解析】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则82=4z，解得z=4，EF=PF-PE=4-4=2cm

7.若PA=6cm，PB=3cm，CD为圆的切线，切点为E，则DE=（）（2分）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】A【解析】根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则63=y^2，解得y=3√2，DE=PE-PEcos45°=3√2-3√2/√2=3cm

8.若PA=5cm，PB=2cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=1cm，则EF=（）（2分）A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm【答案】B【解析】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则52=1z，解得z=10，EF=PF-PE=10-1=2cm

9.若PA=7cm，PB=4cm，CD为圆的切线，切点为E，则DE=（）（2分）A.4cmB.5cmC.6cmD.7cm【答案】B【解析】根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则74=y^2，解得y=2√7，DE=PE-PEcos60°=2√7-2√71/2=5cm

10.若PA=9cm，PB=5cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=3cm，则EF=（）（2分）A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm【答案】C【解析】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则95=3z，解得z=15，EF=PF-PE=15-3=4cm

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些符合圆幂定理的应用条件？（）A.圆的割线定理B.圆的切线定理C.相交弦定理D.圆的外切线定理E.圆的内接四边形定理【答案】A、B、C【解析】圆幂定理包括割线定理、切线定理和相交弦定理，内接四边形定理和外切线定理不属于圆幂定理的范畴

2.圆幂定理在以下哪些情况下可直接应用？（）A.已知割线与圆的交点距离B.已知切线与圆的切点距离C.已知两割线交点与圆心距离D.已知圆的半径E.已知割线与切线的夹角【答案】A、B、D【解析】圆幂定理可直接应用于已知割线与圆的交点距离、切线与圆的切点距离以及圆的半径的情况，而其他条件需要进一步转化或与其他定理结合使用

3.圆幂定理的应用可以解决以下哪些问题？（）A.求割线与圆的交点距离B.求切线与圆的切点距离C.求圆的半径D.求圆心到割线的距离E.求圆的面积【答案】A、B、C【解析】圆幂定理主要解决割线与圆的交点距离、切线与圆的切点距离以及圆的半径的计算问题，而圆心到割线的距离和圆的面积需要其他几何方法或定理来解决

4.圆幂定理的推导过程中涉及以下哪些元素？（）A.圆心B.割线C.切线D.弦E.角【答案】A、B、C、D【解析】圆幂定理的推导过程中涉及圆心、割线、切线、弦等元素，而角在圆幂定理中不是直接推导的元素，但可以作为辅助元素使用

5.圆幂定理在以下哪些情况下需要结合其他定理使用？（）A.已知割线与圆的交点距离B.已知切线与圆的切点距离C.已知两割线交点与圆心距离D.已知圆的半径E.已知割线与切线的夹角【答案】C、E【解析】圆幂定理在已知两割线交点与圆心距离以及已知割线与切线的夹角的情况下需要结合其他定理使用，而其他条件可以直接应用圆幂定理

三、填空题

1.圆幂定理包括割线定理、______和______【答案】切线定理；相交弦定理（4分）

2.若PA=6cm，PB=3cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=2cm，则EF=______cm【答案】4cm（4分）

3.若PA=8cm，PB=2cm，CD为圆的切线，切点为E，则DE=______cm【答案】4cm（4分）

4.圆幂定理的推导过程中涉及______、______、______和______等元素【答案】圆心；割线；切线；弦（4分）

5.圆幂定理在已知______与圆的交点距离的情况下可直接应用【答案】割线（4分）

四、判断题

1.圆幂定理适用于所有圆的几何问题（）（2分）【答案】（×）【解析】圆幂定理适用于割线定理、切线定理和相交弦定理的情况，但不适用于所有圆的几何问题，如圆的面积计算等

2.圆幂定理的推导过程中需要用到勾股定理（）（2分）【答案】（×）【解析】圆幂定理的推导过程中不需要用到勾股定理，主要涉及圆心、割线、切线、弦等元素的计算

3.圆幂定理可以用来计算圆的半径（）（2分）【答案】（√）【解析】圆幂定理可以用来计算圆的半径，特别是在已知割线与圆的交点距离或切线与圆的切点距离的情况下

4.圆幂定理适用于所有平面几何问题（）（2分）【答案】（×）【解析】圆幂定理适用于圆的几何问题，但不适用于所有平面几何问题，如三角形、四边形的性质等

5.圆幂定理的推导过程中涉及角的概念（）（2分）【答案】（×）【解析】圆幂定理的推导过程中主要涉及圆心、割线、切线、弦等元素的计算，不直接涉及角的概念，但角可以作为辅助元素使用

五、简答题

1.简述圆幂定理的内容及其应用条件【答案】圆幂定理包括割线定理、切线定理和相交弦定理割线定理指出，若一条直线割圆于两点，则割线上这两点与圆心连线长的乘积相等；切线定理指出，若一条直线切圆于一点，则切点到圆心的距离的平方等于切线段长的平方；相交弦定理指出，若两条直线相交于圆内一点，则这两条直线上各点到交点的距离的乘积相等应用条件包括已知割线与圆的交点距离、切线与圆的切点距离以及圆的半径

2.举例说明圆幂定理在实际问题中的应用【答案】圆幂定理在实际问题中可以用于计算桥梁的支撑结构、建筑物的地基设计、机械零件的尺寸设计等例如，在桥梁支撑结构设计中，可以通过圆幂定理计算支撑结构的受力情况，确保桥梁的稳定性；在建筑物地基设计中，可以通过圆幂定理计算地基的承载能力，确保建筑物的安全性；在机械零件尺寸设计中，可以通过圆幂定理计算零件的尺寸和形状，确保机械设备的正常运行

3.分析圆幂定理与其他几何定理的关系【答案】圆幂定理与其他几何定理如勾股定理、相似三角形定理、圆的性质定理等有密切关系勾股定理在圆幂定理的推导过程中可以用来计算圆心到割线或切线的距离；相似三角形定理可以用来推导割线定理和切线定理；圆的性质定理如圆心角、圆周角、圆的切线性质等可以用来解释圆幂定理的应用条件和结论这些定理相互补充，共同构成了圆的几何理论体系

六、分析题

1.在一个圆中，PA=6cm，PB=3cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=2cm求EF的长度，并说明解题思路【答案】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则63=2z，解得z=9cm，EF=PF-PE=9-2=7cm解题思路是利用圆幂定理建立割线与圆的交点距离之间的关系，通过代数运算求解未知距离

2.在一个圆中，PA=8cm，PB=2cm，CD为圆的切线，切点为E，求DE的长度，并说明解题思路【答案】根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则82=y^2，解得y=4cm，DE=PE-PEcos60°=4-41/2=2cm解题思路是利用圆幂定理建立切线与圆的切点距离之间的关系，通过代数运算求解未知距离

七、综合应用题

1.在一个圆中，PA=5cm，PB=4cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=3cm求EF的长度，并说明解题思路同时，若CD为圆的切线，求DE的长度【答案】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则54=3z，解得z=20/3cm，EF=PF-PE=20/3-3=11/3cm解题思路是利用圆幂定理建立割线与圆的交点距离之间的关系，通过代数运算求解未知距离若CD为圆的切线，根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则54=y^2，解得y=2√5cm，DE=PE-PEcos60°=2√5-2√51/2=√5cm

八、完整标准答案

一、单选题

1.B

2.A

3.C

4.B

5.B

6.A

7.A

8.B

9.B

10.C

二、多选题

1.A、B、C

2.A、B、D

3.A、B、C

4.A、B、C、D

5.C、E

三、填空题

1.切线定理；相交弦定理

2.4cm

3.4cm

4.圆心；割线；切线；弦

5.割线

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（×）

五、简答题

1.圆幂定理包括割线定理、切线定理和相交弦定理割线定理指出，若一条直线割圆于两点，则割线上这两点与圆心连线长的乘积相等；切线定理指出，若一条直线切圆于一点，则切点到圆心的距离的平方等于切线段长的平方；相交弦定理指出，若两条直线相交于圆内一点，则这两条直线上各点到交点的距离的乘积相等应用条件包括已知割线与圆的交点距离、切线与圆的切点距离以及圆的半径

2.圆幂定理在实际问题中可以用于计算桥梁的支撑结构、建筑物的地基设计、机械零件的尺寸设计等例如，在桥梁支撑结构设计中，可以通过圆幂定理计算支撑结构的受力情况，确保桥梁的稳定性；在建筑物地基设计中，可以通过圆幂定理计算地基的承载能力，确保建筑物的安全性；在机械零件尺寸设计中，可以通过圆幂定理计算零件的尺寸和形状，确保机械设备的正常运行

3.圆幂定理与其他几何定理如勾股定理、相似三角形定理、圆的性质定理等有密切关系勾股定理在圆幂定理的推导过程中可以用来计算圆心到割线或切线的距离；相似三角形定理可以用来推导割线定理和切线定理；圆的性质定理如圆心角、圆周角、圆的切线性质等可以用来解释圆幂定理的应用条件和结论这些定理相互补充，共同构成了圆的几何理论体系

六、分析题

1.在一个圆中，PA=6cm，PB=3cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=2cm求EF的长度，并说明解题思路【答案】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则63=2z，解得z=9cm，EF=PF-PE=9-2=7cm解题思路是利用圆幂定理建立割线与圆的交点距离之间的关系，通过代数运算求解未知距离

2.在一个圆中，PA=8cm，PB=2cm，CD为圆的切线，切点为E，求DE的长度，并说明解题思路【答案】根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则82=y^2，解得y=4cm，DE=PE-PEcos60°=4-41/2=2cm解题思路是利用圆幂定理建立切线与圆的切点距离之间的关系，通过代数运算求解未知距离

七、综合应用题

1.在一个圆中，PA=5cm，PB=4cm，CD为圆的割线，交圆于E、F两点，且PE=3cm求EF的长度，并说明解题思路同时，若CD为圆的切线，求DE的长度【答案】根据圆幂定理，PAPB=PEPF，设PF=z，则54=3z，解得z=20/3cm，EF=PF-PE=20/3-3=11/3cm解题思路是利用圆幂定理建立割线与圆的交点距离之间的关系，通过代数运算求解未知距离若CD为圆的切线，根据圆幂定理，PAPB=PE^2，设PE=y，则54=y^2，解得y=2√5cm，DE=PE-PEcos60°=2√5-2√51/2=√5cm。