圆幂定理竞赛试题及权威答案

圆幂定理竞赛试题及权威答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知圆O的半径为5，弦AB的长为6，则弦AB的中点到圆心O的距离为（）（2分）A.3B.4C.5D.7【答案】B【解析】根据垂径定理，弦的中垂线必过圆心，因此弦AB的中点到圆心O的距离为√5²-3²=

42.若圆内接四边形的对角线互相垂直，则对角线所分的四个三角形中，相似三角形的对数是（）（2分）A.1对B.2对C.3对D.4对【答案】C【解析】圆内接四边形的对角线互相垂直时，形成的四个三角形中有三对相似三角形，分别是∆AOB与∆COD、∆BOC与∆DOA、∆AOD与∆BOC

3.圆的切线长定理中，已知点P到圆O的距离为10，圆的半径为8，则点P到圆的切线长为（）（2分）A.2B.6C.8D.10【答案】B【解析】根据切线长定理，切线长为√10²-8²=

64.圆幂定理中，若割线PAB与圆交于A、B两点，割线PQC与圆交于Q、C两点，且PA=2，AB=6，PC=3，则QC的长度为（）（2分）A.4B.5C.6D.9【答案】A【解析】根据割线定理，PA×AB=PC×QC，即2×6=3×QC，解得QC=

45.已知圆的半径为4，圆心到直线的距离为2，则该直线与圆的位置关系是（）（2分）A.相交B.相切C.相离D.重合【答案】A【解析】直线到圆心的距离小于半径，故直线与圆相交

6.圆的切线定理中，若切线长为6，圆的半径为8，则切点到圆心的距离为（）（2分）A.2B.4C.6D.10【答案】D【解析】根据切线定理，切点到圆心的距离为√8²+6²=

107.圆内接四边形ABCD中，若∠A=60°，∠B=90°，∠C=120°，则∠D的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆内接四边形的对角互补，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，所以∠D=180°-90°=90°

8.圆幂定理中，若割线PAB与圆交于A、B两点，割线PQC与圆交于Q、C两点，且PA=3，AB=4，PC=2，则QC的长度为（）（2分）A.

2.4B.

3.2C.4D.5【答案】B【解析】根据割线定理，PA×AB=PC×QC，即3×4=2×QC，解得QC=

69.圆的切线长定理中，已知点P到圆O的距离为13，圆的半径为12，则点P到圆的切线长为（）（2分）A.1B.5C.12D.13【答案】B【解析】根据切线长定理，切线长为√13²-12²=

510.圆内接四边形ABCD中，若AB=5，BC=6，CD=7，DA=8，则对角线AC的长度为（）（2分）A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，代入数据解得AC=6

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是圆幂定理的应用？（）（4分）A.切线长定理B.割线定理C.托勒密定理D.垂径定理E.相似三角形定理【答案】A、B、C【解析】圆幂定理包括切线长定理、割线定理和托勒密定理

2.圆内接四边形的性质包括哪些？（）（4分）A.对角互补B.对角相等C.四个角相等D.周长等于直径的π倍E.对角线互相垂直【答案】A、E【解析】圆内接四边形的对角互补，对角线互相垂直时，四个角不一定相等

3.以下哪些情况下，直线与圆相切？（）（4分）A.直线到圆心的距离等于半径B.直线到圆心的距离小于半径C.直线与圆有且只有一个交点D.直线与圆有两个交点E.直线经过圆心【答案】A、C【解析】直线到圆心的距离等于半径或直线与圆有且只有一个交点时，直线与圆相切

4.圆幂定理中，割线定理和切线长定理的关系是？（）（4分）A.割线定理是切线长定理的特例B.切线长定理是割线定理的特例C.两者互为逆定理D.两者无直接关系E.两者都是圆幂定理的组成部分【答案】B、E【解析】切线长定理是割线定理的特例，两者都是圆幂定理的组成部分

5.圆内接四边形ABCD中，若AB=5，BC=6，CD=7，DA=8，则对角线BD的长度可能是？（）（4分）A.6B.7C.8D.9E.10【答案】A、D【解析】根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，代入数据解得BD=6或BD=9

三、填空题（每题4分，共16分）

1.圆的切线长定理中，若切线长为6，圆的半径为8，则切点到圆心的距离为______（4分）【答案】10【解析】根据切线长定理，切点到圆心的距离为√8²+6²=

102.圆幂定理中，若割线PAB与圆交于A、B两点，割线PQC与圆交于Q、C两点，且PA=3，AB=4，PC=2，则QC的长度为______（4分）【答案】6【解析】根据割线定理，PA×AB=PC×QC，即3×4=2×QC，解得QC=

63.圆内接四边形ABCD中，若AB=5，BC=6，CD=7，DA=8，则对角线AC的长度为______（4分）【答案】6【解析】根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，代入数据解得AC=

64.圆的切线长定理中，已知点P到圆O的距离为13，圆的半径为12，则点P到圆的切线长为______（4分）【答案】5【解析】根据切线长定理，切线长为√13²-12²=5

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.圆内接四边形的对角线一定互相垂直（）（2分）【答案】（×）【解析】圆内接四边形的对角线不一定互相垂直，只有特定条件下才垂直

3.圆的切线长定理和割线定理是圆幂定理的组成部分（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的切线长定理和割线定理确实是圆幂定理的重要组成部分

4.若直线与圆有两个交点，则直线与圆相交（）（2分）【答案】（√）【解析】直线与圆有两个交点时，直线与圆相交

5.圆内接四边形的四个角一定相等（）（2分）【答案】（×）【解析】圆内接四边形的对角互补，但不一定四个角相等

五、简答题（每题4分，共8分）

1.简述圆幂定理的内容及其应用（4分）【答案】圆幂定理包括切线长定理、割线定理和托勒密定理切线长定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线的平方等于割线与其外段乘积；割线定理从圆外一点引圆的两条割线，每条割线与其外段和内段乘积相等；托勒密定理圆内接四边形的对角线乘积等于两对对边乘积之和应用广泛，如解决圆的切线、割线长度问题，以及圆内接四边形的性质问题

2.解释圆内接四边形的性质及其几何意义（4分）【答案】圆内接四边形的性质包括对角互补和圆心角与圆周角的关系对角互补指任意两个对角的和为180°，这是圆内接四边形的基本性质几何意义在于，圆内接四边形可以通过圆的对称性和角度关系来研究，广泛应用于几何证明和计算中

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为8，求点P到圆的切线长（10分）【答案】根据切线长定理，切线长为√8²-5²=√64-25=√39≈

6.

242.已知圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，求对角线AC的长度（10分）【答案】根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，即3×5+6×4=AC×BD，解得AC=7

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆的半径为5，点P到圆心的距离为8，求点P到圆的切线长，并证明你的结论（25分）【答案】根据切线长定理，切线长为√8²-5²=√64-25=√39≈

6.24证明设切线长为L，根据勾股定理，L²+5²=8²，解得L²=39，故L=√

392.已知圆内接四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，求对角线AC和BD的长度，并证明你的结论（25分）【答案】根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，即3×5+6×4=AC×BD，解得AC=7同理，BD=9证明根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，代入数据验证，AC×BD=7×9=63，满足条件---标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.B

4.A

5.A

6.D

7.C

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、E

3.A、C

4.B、E

5.A、D

三、填空题

1.

102.

63.

64.5

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.圆幂定理包括切线长定理、割线定理和托勒密定理切线长定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线的平方等于割线与其外段乘积；割线定理从圆外一点引圆的两条割线，每条割线与其外段和内段乘积相等；托勒密定理圆内接四边形的对角线乘积等于两对对边乘积之和应用广泛，如解决圆的切线、割线长度问题，以及圆内接四边形的性质问题

2.圆内接四边形的性质包括对角互补和圆心角与圆周角的关系对角互补指任意两个对角的和为180°，这是圆内接四边形的基本性质几何意义在于，圆内接四边形可以通过圆的对称性和角度关系来研究，广泛应用于几何证明和计算中

六、分析题

1.根据切线长定理，切线长为√8²-5²=√39≈

6.

242.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，即3×5+6×4=AC×BD，解得AC=7

七、综合应用题

1.根据切线长定理，切线长为√8²-5²=√39≈

6.24证明设切线长为L，根据勾股定理，L²+5²=8²，解得L²=39，故L=√

392.根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，解得AC=7同理，BD=9证明根据托勒密定理，AB×CD+AD×BC=AC×BD，代入数据验证，AC×BD=7×9=63，满足条件。