堪称难题：高难度试题及答案

堪称难题高难度试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A.y=2^xB.y=3-xC.y=x^2D.y=lnx【答案】B【解析】y=3-x在区间（0，+∞）上单调递减

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=1或x=k，k∈A}，则集合B的元素个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}，B={1,2,1,2}，元素个数为

43.若复数z满足|z|=1，且z^2+z+1=0，则z的值为（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】D【解析】解方程z^2+z+1=0得z=-1/2+i√3/2或z=-1/2-i√3/2，又|z|=1，所以z=-i

4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC=CD=1，∠ABC=∠ADC=45°，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A.1/4B.1/3C.1/2D.1【答案】B【解析】由PA⊥平面ABCD，AB⊥AD得PA⊥AD，所以体积V=1/3×1/2×1×1×PA=1/6PA，又BC=CD=1，∠ABC=∠ADC=45°，所以AD=√2，PA=AD=√2，V=1/

35.若函数fx=sinωx+φ的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π，则φ的可能取值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4【答案】B【解析】周期为π，所以ω=2，fx=sin2x+φ，图像关于直线x=π/4对称，所以2×π/4+φ=kπ+π/2，φ=kπ+π/4，k∈Z，当k=0时，φ=π/

46.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2=b^2+c^2-bc，则cosA的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc×cosA，所以-2bc×cosA=bc，cosA=1/

27.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-a_n，则{a_n}一定是（）A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.递增数列【答案】B【解析】a_n=S_n/S_n-a_n=1+1/a_n，a_n^2-a_n-1=0，解得a_n=1+√5/2或a_n=1-√5/2，又a_1=S_1/S_1-a_1=1，所以a_n=1+√5/

28.若函数fx在区间[a，b]上连续且单调，则fx在区间[a，b]上（）A.一定有最大值和最小值B.一定有最大值但没有最小值C.一定有最小值但没有最大值D.不一定有最大值和最小值【答案】A【解析】由闭区间上连续函数的性质知，fx在区间[a，b]上一定有最大值和最小值

9.若函数fx=x^3+px^2+qx+r在x=-1和x=1处取得极值，则p、q的值分别为（）A.p=-1，q=0B.p=1，q=0C.p=-3，q=2D.p=3，q=-2【答案】C【解析】fx=3x^2+2px+q，由f-1=0，f1=0得3-2p+q=0，3+2p+q=0，解得p=-3，q=

210.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆C的圆心到直线l2x+y+1=0的距离为（）A.√5B.√3C.1D.2【答案】D【解析】圆心为1，-2，所以距离d=|2×1-2+1|/√2^2+1^2=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的有（）A.若|z1|=|z2|，则z1=z2B.若ab，则a^2b^2C.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续D.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0【答案】B、D【解析】|z1|=|z2|不一定有z1=z2，如z1=1，z2=-1；ab时，a^2不一定大于b^2，如a=1，b=-2；函数单调递增不一定连续，如分段函数；函数取得极值时，导数为

02.以下不等式正确的有（）A.若ab0，则√a√bB.若ab0，则a^2b^2C.若ab0，则1/a1/bD.若ab0，则a^3b^3【答案】A、B、C、D【解析】以上不等式均正确

3.以下说法正确的有（）A.若数列{a_n}单调递增，则limn→∞a_n存在B.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处连续C.若函数fx在区间I上可导，则fx在区间I上连续D.若数列{a_n}收敛，则{a_n}的子数列都收敛【答案】B、C、D【解析】单调递增数列不一定收敛；可导必连续；可导函数必连续；收敛数列的子数列都收敛

4.以下说法正确的有（）A.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有界B.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有最大值和最小值C.若函数fx在区间I上可导，且fx在区间I上恒为0，则fx在区间I上为常数D.若函数fx在区间I上可导，且fx在区间I上恒为正，则fx在区间I上单调递增【答案】B、C、D【解析】连续函数不一定有界；闭区间上连续函数必有最大值和最小值；导数为0的函数为常数；导数为正的函数单调递增

5.以下说法正确的有（）A.若函数fx在x=c处取得极值，则fx在x=c处可导B.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上可导C.若函数fx在区间I上可导，且fx在区间I上恒为0，则fx在区间I上为常数D.若函数fx在区间I上可导，且fx在区间I上恒为正，则fx在区间I上单调递增【答案】C、D【解析】极值点不一定可导，如尖点；单调递增函数不一定可导，如分段函数；导数为0的函数为常数；导数为正的函数单调递增

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为a，则a=________【答案】3【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上x到1和-2的距离之和，最小值为

32.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=S_n/S_n-a_n，则a_4=________【答案】1+√5/2【解析】同单选题第7题解析，a_n=1+√5/

23.若函数fx=sinωx+φ的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π，则ω=________【答案】2【解析】同单选题第5题解析，ω=

24.若函数fx=x^3+px^2+qx+r在x=-1和x=1处取得极值，则p=________【答案】-3【解析】同单选题第9题解析，p=-

35.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆C的半径为________【答案】√7【解析】圆心为1，-2，半径r=√1^2+-2^2--3=√7

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在区间I上连续（）【答案】（×）【解析】单调递增函数不一定连续，如分段函数

2.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（×）【解析】极值点不一定可导，如尖点

3.若数列{a_n}单调递增，则limn→∞a_n存在（）【答案】（×）【解析】单调递增数列不一定收敛，如发散的数列

4.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有最大值和最小值（）【答案】（×）【解析】开区间上连续函数不一定有最大值和最小值

5.若函数fx在区间I上可导，且fx在区间I上恒为0，则fx在区间I上为常数（）【答案】（√）【解析】导数为0的函数为常数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.证明若函数fx在区间I上连续，且在区间I上处处取得正值，则fx在区间I上必有界【解析】反证法假设fx在区间I上无界，则存在{x_n}⊆I，使得|fx_n|→+∞，由致密性定理，存在收敛子列{x_nk}，limx_nk=x_0∈I，由连续性，fx_nk→fx_0，又|fx_nk|→+∞，矛盾，所以fx必有界

2.证明若函数fx在区间I上可导，且fx在区间I上恒为0，则fx在区间I上为常数【解析】任取x1，x2∈I，x1x2，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈x1，x2，使得fx2-fx1=f\xix2-x1，由f\xi=0得fx2=fx1，所以fx在区间I上为常数

3.证明若数列{a_n}收敛，则{a_n}的子数列都收敛【解析】设lima_n=a，任取子数列{a_nk}，由致密性定理，存在{a_nk}与{a_n}的某个子列相同，该子列收敛于a，所以{a_nk}收敛于a

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-1，3]上的最大值和最小值【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为2，最小值为-

22.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-1，3]上的单调区间【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx在-∞，0上为正，在0，2上为负，在2，+∞上为正，所以单调递增区间为-∞，0和2，+∞，单调递减区间为0，2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-1，3]上的最大值和最小值，并证明fx在区间[-1，3]上存在且仅存在一个极值点【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2，所以最大值为2，最小值为-2fx在-∞，0上为正，在0，2上为负，在2，+∞上为正，所以x=0为极大值点，x=2为极小值点，且仅有一个极大值点和极小值点

2.设函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-1，3]上的单调区间，并证明fx在区间[-1，3]上存在且仅存在一个极大值点和极小值点【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx在-∞，0上为正，在0，2上为负，在2，+∞上为正，所以单调递增区间为-∞，0和2，+∞，单调递减区间为0，2fx在-∞，0上为正，在0，2上为负，在2，+∞上为正，所以x=0为极大值点，x=2为极小值点，且仅有一个极大值点和极小值点---答案---

一、单选题

1.B

2.C

3.D

4.B

5.B

6.A

7.B

8.A

9.C

10.D

二、多选题

1.B、D

2.A、B、C、D

3.B、C、D

4.B、C、D

5.C、D

三、填空题

1.

32.1+√5/

23.

24.-

35.√7

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.证明见解析

2.证明见解析

3.证明见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。