复合函数A卷试题及答案

复合函数A卷试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=3x+2，gx=2x-1，则复合函数fgx的解析式为（）（2分）A.6x+5B.6x-1C.6x+1D.5x+1【答案】A【解析】fgx=f2x-1=32x-1+2=6x-3+2=6x-

12.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且f1=2，则f-1的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】D【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-

23.函数y=2^x在区间-∞,0上的反函数是（）（2分）A.y=2^xB.y=-log2xC.y=log2xD.y=-2^x【答案】C【解析】反函数的定义域和值域互换，且y=2^x的反函数为y=log2x

4.函数y=sin2x的图像，在下列变换中，不改变图像形状的是（）（2分）A.y=sin2x+πB.y=sin2x+πC.y=2sinxD.y=sinx/2【答案】D【解析】y=sin2x的图像伸缩变换不会改变形状，y=sinx/2是周期伸长一倍

5.函数y=cosx在区间[0,π]上的最大值是（）（2分）A.1B.0C.-1D.2【答案】A【解析】cosx在[0,π]上单调递减，最大值为cos0=

16.函数y=tanx在区间-π/2,π/2上是（）（2分）A.增函数B.减函数C.周期函数D.非奇非偶函数【答案】A【解析】tanx在-π/2,π/2上单调递增

7.函数y=1/x在区间0,1上的图像，关于直线y=x对称的函数是（）（2分）A.y=xB.y=-xC.y=1/xD.y=x^2【答案】C【解析】y=1/x与y=x互为反函数，图像关于y=x对称

8.函数y=e^x在区间-∞,0上的反函数是（）（2分）A.y=e^xB.y=lnxC.y=-lnxD.y=ln-x【答案】C【解析】反函数的定义域和值域互换，且y=e^x的反函数为y=lnx，但需注意定义域限制

9.函数y=|x|在区间[-1,1]上的最小值是（）（2分）A.1B.0C.-1D.2【答案】B【解析】|x|在[-1,1]上取值范围是[0,1]，最小值为

010.函数y=arcsinx的定义域是（）（2分）A.RB.[0,1]C.[-1,1]D.-∞,∞【答案】C【解析】arcsinx的定义域为[-1,1]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域上为奇函数的是？（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，x^

3、1/x、sinx、tanx均为奇函数，cosx为偶函数

2.函数y=2^x的图像，下列变换正确的是？（）（4分）A.y=2^-x是关于y轴对称B.y=-2^x是关于x轴对称C.y=2^x+1是向上平移1个单位D.y=2^x+1是向左平移1个单位E.y=2^x是关于原点对称【答案】A、C、D【解析】y=2^-x是关于y轴对称，y=2^x+1是向上平移1个单位，y=2^x+1是向左平移1个单位

3.函数y=cos2x的图像，下列变换正确的是？（）（4分）A.y=cos2x+π是向左平移π/2个单位B.y=cos2x+π是向上平移π个单位C.y=cos2x是关于y轴对称D.y=-cos2x是关于x轴对称E.y=cos2x是周期为π的函数【答案】B、D、E【解析】y=cos2x+π是向上平移π个单位，y=-cos2x是关于x轴对称，y=cos2x的周期为π

4.函数y=tanx的图像，下列变换正确的是？（）（4分）A.y=tan-x是关于y轴对称B.y=-tanx是关于x轴对称C.y=tanx+π是向左平移π个单位D.y=tanx+π是向上平移π个单位E.y=tanx是周期为π的函数【答案】B、C、E【解析】y=-tanx是关于x轴对称，y=tanx+π是向左平移π个单位，y=tanx的周期为π

5.函数y=arctanx的图像，下列变换正确的是？（）（4分）A.y=arctan-x是关于y轴对称B.y=-arctanx是关于x轴对称C.y=arctanx+π是向上平移π个单位D.y=arctanx+π是向左平移π个单位E.y=arctanx是周期为π的函数【答案】A、B【解析】y=arctan-x=-arctanx是关于原点对称，即关于y=-x对称，但题目中y=arctan-x是关于y轴对称的表述有误，修正为y=-arctanx是关于x轴对称

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数y=2^x的反函数是_________（4分）【答案】y=log2x

2.函数y=sinx在区间[0,π/2]上的最大值是_________（4分）【答案】

13.函数y=tanx在区间-π/2,π/2上是_________函数（4分）【答案】增

4.函数y=arcsinx的定义域是_________（4分）【答案】[-1,1]

5.函数y=cosx的周期是_________（4分）【答案】2π

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个奇函数的乘积是偶函数（）（2分）【答案】（√）【解析】fxgx-x=-fxg-x=--fx-gx=fxgx，所以是偶函数

2.函数y=1/x在区间-∞,0上是减函数（）（2分）【答案】（√）【解析】y=1/x在-∞,0上单调递减

3.函数y=sin2x的周期是π（）（2分）【答案】（√）【解析】sin2x的周期为2π/2=π

4.函数y=cosx在区间[0,2π]上是增函数（）（2分）【答案】（×）【解析】cosx在[0,π]上单调递减，在[π,2π]上单调递增

5.函数y=tanx在区间-π/2,π/2上是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】tanx满足f-x=-fx，是奇函数

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述奇函数和偶函数的定义及其性质（4分）【答案】奇函数满足f-x=-fx，图像关于原点对称；偶函数满足f-x=fx，图像关于y轴对称

2.简述函数y=a^x（a0且a≠1）的单调性（4分）【答案】当a1时，y=a^x在R上单调递增；当0a1时，y=a^x在R上单调递减

3.简述函数y=sinx和y=cosx的周期性及其图像特点（4分）【答案】y=sinx和y=cosx的周期均为2π，图像都是周期性波动，y=sinx过原点，y=cosx过0,

14.简述函数y=tanx的周期性和图像特点（4分）【答案】y=tanx的周期为π，图像是周期性重复的直线，在x=±π/2+kπ处有垂直渐近线

5.简述反函数的定义及其性质（4分）【答案】反函数的定义域和值域互换，y=fx的反函数为y=f^-1x，满足ff^-1x=x，图像关于y=x对称

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数y=2^-x的图像变换过程（10分）【答案】y=2^-x可以看作y=2^x的图像关于y轴对称得到具体变换过程

（1）y=2^x是指数函数，图像过0,1，在R上单调递增；

（2）y=2^-x是y=2^x关于y轴对称，图像过0,1，在R上单调递减

2.分析函数y=sin2x+π/4的图像变换过程（10分）【答案】y=sin2x+π/4可以看作y=sinx的图像经过以下变换得到

（1）y=sinx是正弦函数，图像周期为2π，过原点；

（2）y=sin2x是周期变为π，图像在x轴上压缩一倍；

（3）y=sin2x+π/4是y=sin2x向左平移π/8个单位

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=2^x+1，求fx的反函数及其定义域和值域（25分）【答案】

（1）求反函数设y=2^x+1，则2^x=y-1，取对数得x=log2y-1；所以反函数为y=f^-1x=log2x-1

（2）定义域和值域原函数fx的值域为1,∞，反函数的定义域为1,∞；原函数的定义域为R，反函数的值域为R

2.已知函数fx=sin2x+π/3，求fx在区间[0,π]上的最大值和最小值（25分）【答案】

（1）求导数fx=2cos2x+π/3；

（2）求临界点令fx=0，即2cos2x+π/3=0，得2x+π/3=π/2+kπ，解得x=π/12+kπ/2；在[0,π]上，x=π/12,5π/12,7π/12,11π/12；

（3）求最值f0=sinπ/3=√3/2，fπ/12=sinπ/2=1，f5π/12=sin7π/6=-1/2，f7π/12=sin5π/6=1/2，f11π/12=sin11π/6=-1/2；所以最大值为1，最小值为-1。