复合函数全面试题与答案解析

复合函数全面试题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=3x+2，gx=x^2-1，则复合函数gfx的解析式为（）（2分）A.3x^2+5B.9x^2+12x+3C.9x^2+6x+1D.3x^2-1【答案】B【解析】gfx=g3x+2=3x+2^2-1=9x^2+12x+3-1=9x^2+12x+

22.函数fx=1/x-1在区间2,+∞上的反函数是（）（2分）A.y=1-xB.y=x-1C.y=1/1-xD.y=1-x^2【答案】C【解析】由y=1/x-1得x=1/y+1，反函数为y=1/1-x

3.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.-1D.2【答案】B【解析】当x=1时，|x-1|=0，最小值为

04.函数fx=sinx+cosx的最大值是（）（2分）A.√2B.2C.1D.√3【答案】A【解析】fx=√2sinx+π/4，最大值为√

25.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）（2分）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】当a0时，抛物线开口向上

6.函数fx=e^x在区间-∞,+∞上是（）（2分）A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增【答案】A【解析】指数函数在定义域内单调递增

7.函数fx=log_ax在定义域内是减函数，则a的取值范围是（）（2分）A.0a1B.a1C.a=1D.a0且a≠1【答案】A【解析】当0a1时，对数函数为减函数

8.函数fx=arctanx的值域是（）（2分）A.RB.-π/2,π/2C.0,πD.-π/2,π/2]【答案】B【解析】反正切函数的值域为-π/2,π/

29.函数fx=sinxcosx的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.4πD.π/2【答案】A【解析】fx=1/2sin2x，最小正周期为π

10.函数fx=1/x在点x=1处的切线方程是（）（2分）A.y=x-1B.y=x+1C.y=-x+1D.y=-x-1【答案】A【解析】fx=-1/x^2，f1=-1，切线方程为y-1=-1x-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内是奇函数的有（）（4分）A.y=x^3B.y=1/xC.y=sinxD.y=cosxE.y=tanx【答案】A、B、C、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，y=x^

3、1/x、sinx、tanx为奇函数

2.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的极值点是（）（4分）A.-2B.-1C.0D.1E.2【答案】B、D【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，在区间[-2,2]上极值点为-1和

13.函数fx=|x|在区间[-1,1]上的积分为（）（4分）A.0B.1C.2D.3E.4【答案】A、B【解析】∫|x|dx=x^2/2+C，∫[-1,1]|x|dx=[1/2--1/2]=

14.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是（）（4分）A.eB.1C.e-1D.e+1E.1/e【答案】C【解析】平均值=e^1-e^0/1=e-

15.函数fx=sinxcosx的导数是（）（4分）A.cosxcosxB.-sinxsinxC.sin2xD.cos2xE.2cos2x【答案】C、D、E【解析】fx=cos^2x-sin^2x=cos2x=sin2x+π/2，也可由链式法则计算

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=e^x的导数是______（4分）【答案】e^x【解析】指数函数的导数是其本身

2.函数fx=sinx的积分是______（4分）【答案】-cosx+C【解析】正弦函数的积分是负余弦函数加常数

3.函数fx=arctanx的导数是______（4分）【答案】1/1+x^2【解析】反正切函数的导数是1除以1加x平方

4.函数fx=x^2在区间[1,2]上的定积分是______（4分）【答案】3【解析】∫[1,2]x^2dx=1/3x^3+C，[1,2]区间积分为8/3-1/3=7/

35.函数fx=1/x在点x=1处的二阶导数是______（4分）【答案】-2【解析】fx=2/x^3，f1=-

26.函数fx=sinxcosx的极值点是______（4分）【答案】kπ/4，k为整数【解析】令sin2x=0得x=kπ/2，极值点为kπ/

47.函数fx=e^x在区间[0,1]上的中点值是______（4分）【答案】e^

0.5【解析】中点值为区间端点平均值，即e^0+e^1/2=e^

0.

58.函数fx=log_ax在定义域内是增函数，则a的取值范围是______（4分）【答案】a1【解析】当a1时，对数函数为增函数

四、判断题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^2在区间[-1,1]上的平均值是0（）（2分）【答案】（×）【解析】平均值=1-1/2=0，但fx=x^2在区间[-1,1]上的平均值为2/

32.函数fx=sinxcosx的最小正周期是π（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=1/2sin2x，最小正周期为π

3.函数fx=e^x是偶函数（）（2分）【答案】（×）【解析】e^-x≠e^x，指数函数不是偶函数

4.函数fx=arctanx是奇函数（）（2分）【答案】（√）【解析】arctan-x=-arctanx，满足奇函数定义

5.函数fx=1/x在点x=1处的切线斜率是1（）（2分）【答案】（×）【解析】f1=-1，切线斜率为-

16.函数fx=x^3在区间[-1,1]上的积分为0（）（2分）【答案】（√）【解析】奇函数在对称区间积分为

07.函数fx=sinxcosx的导数是cos2x（）（2分）【答案】（×）【解析】正确导数为sin2x，cos2x是余弦函数的二倍角公式

8.函数fx=log_ax在定义域内单调性只与a有关（）（2分）【答案】（×）【解析】单调性还与底数a和定义域x有关

9.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均值是e（）（2分）【答案】（×）【解析】平均值是e^1-e^0/1=e-

110.函数fx=sinx在区间[0,2π]上的积分为0（）（2分）【答案】（√）【解析】sin函数在完整周期内积分为0

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述函数单调性的定义及其判定方法（4分）【答案】函数单调性定义若对任意x1x2，有fx1fx2，则函数在区间上单调递增；若对任意x1x2，有fx1fx2，则函数在区间上单调递减判定方法利用导数，当fx0时单调递增，fx0时单调递减

2.简述函数奇偶性的定义及其几何意义（4分）【答案】奇函数定义f-x=-fx；偶函数定义f-x=fx几何意义奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称

3.简述函数周期性的定义及其判定方法（4分）【答案】周期性定义存在T0，使fx+T=fx对所有x成立判定方法利用函数图像的重复性，或通过三角函数等特定函数的公式判定

4.简述函数极值的概念及其求法（4分）【答案】极值概念函数在某个区间内的局部最大或最小值求法求导数，令fx=0得驻点，判断驻点左右两侧导数符号确定极值

5.简述函数平均值的概念及其计算方法（4分）【答案】平均值概念函数在区间[a,b]上的积分除以区间长度计算方法平均值=1/b-a∫[a,b]fxdx

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-1,3]上的单调性、极值和最值（10分）【答案】

（1）单调性fx=3x^2-6x+2=3x-1^2-3，令fx=0得x=1±√3/3当x∈[-1,1-√3/3时，fx0，单调递增；当x∈1-√3/3,1+√3/3时，fx0，单调递减；当x∈1+√3/3,3]时，fx0，单调递增

（2）极值x=1-√3/3时，fx=2+2√3/3为极大值；x=1+√3/3时，fx=2-2√3/3为极小值

（3）最值f-1=-4，f3=6，故最小值为-4，最大值为

62.分析函数fx=sinxcosx在区间[0,π/2]上的单调性、极值和最值（10分）【答案】

（1）单调性fx=1/2sin2x，fx=cos2x当x∈[0,π/4]时，cos2x0，单调递增；当x∈[π/4,π/2]时，cos2x0，单调递减

（2）极值x=π/4时，fx=1/2为极大值

（3）最值f0=0，fπ/4=1/2，fπ/2=0，故最小值为0，最大值为1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，单位可变成本为20元/件，售价为50元/件求该工厂的利润函数、盈亏平衡点及最大利润（25分）【答案】

（1）利润函数Lx=50x-20x-10=30x-10

（2）盈亏平衡点令Lx=0得x=1/3万件，即x=3333件

（3）最大利润Lx=30，无极大值点，当x→+∞时Lx→+∞，无最大值

2.某物体做直线运动，速度函数为vt=2t-4，求该物体在时间段[0,3]内的位移和路程（25分）【答案】

（1）位移s=∫[0,3]2t-4dt=t^2-4t，[0,3]区间为9-12=-3

（2）路程分段计算，vt=0得t=2s=∫[0,2]2t-4dt+∫[2,3]4-2tdt=[t^2-4t]_0^2+[4t-t^2]_2^3=0+1=1，总路程为3。