复旦大学数学复试真题及答案汇总

复旦大学数学复试真题及答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=x^3D.fx=e^x【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为左右导数不相等

2.下列极限正确的是（）（2分）A.limit_{x-0}sinx/x=0B.limit_{x-0}x/sinx=1C.limit_{x-0}sin1/x=1D.limit_{x-0}e^x=0【答案】B【解析】第二个极限是标准极限结果

3.下列级数收敛的是（）（2分）A.sum_{n=1}^infty1/nB.sum_{n=1}^infty-1^n/nC.sum_{n=1}^infty1/n^2D.sum_{n=1}^infty-1^n/n^2【答案】C、D【解析】第一个发散，后两个收敛（调和级数和交错级数）

4.下列矩阵可逆的是（）（2分）A.|12|B.|10|C.|11|D.|01||34||01||00||10|【答案】A、B【解析】A行列式为-5≠0，B行列式为1≠

05.下列方程有唯一解的是（）（2分）A.x^2+x+1=0B.x^2-4x+4=0C.x^2+x-1=0D.x^2-2x+1=0【答案】B、D【解析】B、D为完全平方式，有唯一解x=

26.下列向量组线性无关的是（）（2分）A.100B.111C.101D.010010110011100【答案】A、C【解析】A、C行列式为1≠0，线性无关

7.下列函数在-∞,+∞上单调递增的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=logxD.fx=sinx【答案】B【解析】只有指数函数在整个实数域上单调递增

8.下列积分收敛的是（）（2分）A.int_1^infty1/xdxB.int_1^infty1/x^2dxC.int_0^11/sqrtxdxD.int_0^11/xdx【答案】B【解析】A、C、D发散，B收敛（p=21）

9.下列微分方程可分离变量的是（）（2分）A.y=y^2B.y+y=0C.y+xy=1D.y=y^3【答案】A【解析】只有A可分离变量

10.下列空间曲线是直线的是（）（2分）A.x=t,y=2t,z=3tB.x=t,y=t^2,z=t^3C.x=1,y=1,z=1D.x=t,y=1,z=t【答案】A、C、D【解析】A为过原点的直线，C为平行于坐标面的直线，D为平行于x-z平面的直线

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题正确的是（）（4分）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界C.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值D.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值【答案】A、B、C【解析】D不一定成立，如[-∞,+∞]上的狄利克雷函数可积但无最值

2.下列级数条件收敛的是（）（4分）A.sum_{n=1}^infty-1^n/nB.sum_{n=1}^infty-1^n/n^2C.sum_{n=1}^infty-1^n/n^3D.sum_{n=1}^infty1/n^2【答案】A、B【解析】C、D绝对收敛，A、B条件收敛

3.下列矩阵相似的是（）（4分）A.|10|B.|11|C.|20|D.|10||01||10||02||01|【答案】A、B【解析】A、B特征值相同且特征向量可相似对角化

4.下列方程有解的是（）（4分）A.x^2+y^2=1B.x^2+y^2=-1C.x^2-y^2=0D.y^2=4x【答案】A、C、D【解析】B无实数解

5.下列说法正确的是（）（4分）A.向量组中若有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组线性相关B.矩阵的秩等于其行向量组的秩C.若向量组线性无关，则其中任一向量不可由其余向量线性表示D.线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩【答案】A、B、C、D【解析】均为线性代数基本定理

三、填空题（每题4分，共32分）

1.函数fx=sqrt4-x^2的定义域为______，值域为______（4分）【答案】[-2,2]；[0,2]【解析】由4-x^2≥0得x∈[-2,2]，sqrt4-x^2∈[0,2]

2.极限limit_{x-0}sinx/x^x=______（4分）【答案】e^-1/6【解析】利用等价无穷小和洛必达法则计算

3.级数sum_{n=1}^infty-1^nn+1/2n+1的收敛域为______（4分）【答案】-1,1]【解析】比值判别法计算收敛半径为1，端点x=1收敛

4.矩阵A=|1a|的秩为2，则a=______（4分）|b1|【答案】0【解析】由detA=1-ab=0得ab=1，秩为2需a=

05.微分方程y-y=0的通解为______（4分）【答案】y=Ce^x【解析】一阶线性微分方程求解

6.曲线x=t^2,y=t^3在t=1处的切线方程为______（4分）【答案】3x-2y+1=0【解析】求导x=2t,y=3t^2，切线斜率k=3/2，过1,

17.函数fx=x^3-3x在-∞,+∞上的极值点为______（4分）【答案】x=±1【解析】fx=3x^2-3，令f=0得x=±

18.空间直线x=1+t,y=2-t,z=3+2t与平面x+y+z=6的交点为______（4分）【答案】2,1,4【解析】将直线参数方程代入平面方程解出t=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有零点（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x^2在[0,1]上无零点

2.若级数sum_{n=1}^inftya_n收敛，则sum_{n=1}^infty|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛级数绝对值发散

3.若矩阵A可逆，则detA≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】这是可逆矩阵的必要条件

4.若向量组线性相关，则其中任一向量都可由其余向量线性表示（）（2分）【答案】（√）【解析】线性相关定义即存在非零系数使线性组合为

05.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】由有界性定理知连续函数在闭区间上有界

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述定积分的定义（5分）【答案】定积分是黎曼和的极限，即int_a^bfxdx=lim_{n-infty}sum_{i=1}^nfxiΔxi，其中[a,b]被n等分，xi为小区间中点

2.简述矩阵特征值和特征向量的定义（5分）【答案】设A为n阶矩阵，若存在数λ和nonzerovectorx使Ax=λx成立，则λ为A的特征值，x为对应特征向量

3.简述泰勒级数展开的条件和意义（5分）【答案】展开条件是函数在x0处n阶可导，意义是将函数表示为多项式逼近，误差为高阶无穷小，用于函数逼近和近似计算

六、分析题（每题10分，共30分）

1.证明若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关（10分）【证明】设k1α1+α2+k2α2+α3+k3α3+α1=0，则k1+k3α1+k1+k2α2+k2+k3α3=0，由α1,α2,α3线性无关，得k1+k3=0，k1+k2=0，k2+k3=0，解得k1=k2=k3=0，故α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关

2.证明若函数fx在[a,b]上连续，则存在ξ∈a,b使int_a^bfxdx=fξ积分中值定理（10分）【证明】设Fx=int_a^xftdt，由Fb-Fa=int_a^bfxdx，由微分中值定理，存在ξ∈a,b使Fξ=fξ=int_a^bfxdx

3.证明若函数fx在[a,b]上连续且单调，则fx在[a,b]上必存在反函数（10分）【证明】设fx在[a,b]上单调，由连续性，fafb，对任意y∈fa,fb，由单调性，必存在唯一x0∈a,b使fx0=y，故fx存在反函数

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分int_0^1xarctanxdx（25分）【解】利用分部积分法，设u=arctanx,dv=xdx，则du=1/1+x^2dx,v=x^2/2，int_0^1xarctanxdx=x^2/2arctanx|_0^1-int_0^1x^2/21+x^2dx=1/2π-1/2int_0^11-1/1+x^2dx=1/2π-1/2[x-arctanx]_0^1=1/2π-1/21-π/4=π/8-1/

42.求解微分方程y-4y+3y=0并求满足初始条件y0=2,y0=0的特解（25分）【解】特征方程r^2-4r+3=0，解得r1=1,r2=3，通解y=C1e^x+C2e^3x，由y0=2得C1+C2=2，由y0=4C1+3C2=0，解得C1=2,C2=0，特解y=2e^x。