大学函数重点试题及参考答案

大学函数重点试题及参考答案

一、单选题（每题1分，共20分）

1.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（1分）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】函数fx=|x-1|表示x到1的距离，在x=1处取得最小值

02.下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）（1分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=e^x【答案】D【解析】指数函数y=e^x在整个实数域上单调递增

3.函数fx=sinx+cosx的最小正周期是（）（1分）A.πB.2πC.π/2D.4π【答案】B【解析】sinx和cosx的最小正周期均为2π，故fx的最小正周期为2π

4.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（1分）A.0B.2C.4D.8【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=4，最大值为

45.函数y=log_ax在x→0^+时，若极限存在且为-∞，则a的取值范围是（）（1分）A.0a1B.a1C.a=1D.a0【答案】A【解析】对数函数y=log_ax在0a1时，x→0^+时极限为-∞

6.函数fx=arctanx的导数是（）（1分）A.1/1+x^2B.1/xC.x/1+x^2D.1/1-x^2【答案】A【解析】arctanx的导数为1/1+x^

27.函数fx=e^x的麦克劳林展开式的前三项是（）（1分）A.1+x+x^2/2B.1+x+x^2C.1+x+x^3/6D.1+x+x^2/e【答案】A【解析】e^x的麦克劳林展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，前三项为1+x+x^2/

28.函数fx=x^2在[1,2]上应用柯西中值定理，则存在ξ∈1,2使得（）（1分）A.ξ=3/2B.ξ=1C.ξ=2D.ξ=0【答案】A【解析】根据柯西中值定理，存在ξ∈1,2使得f2-f1/2-1=2ξ，解得ξ=3/

29.函数fx=sinx在区间[0,π]上的积分是（）（1分）A.1B.0C.2D.-1【答案】B【解析】∫_0^πsinxdx=-cosx∣_0^π=-cosπ+cos0=

210.函数fx=xlnx在x=1处的泰勒展开式的线性项系数是（）（1分）A.0B.1C.ln1D.1/2【答案】B【解析】fx=lnx+1，f1=ln1+1=1，线性项系数为

111.函数fx=x^2在[0,1]上的平均值是（）（1分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1【答案】A【解析】fx在[0,1]上的平均值=1/1∫_0^1x^2dx=1/3x^3∣_0^1=1/

312.函数fx=1/1-x在x=0处的泰勒展开式的通项公式是（）（1分）A.x^nB.-1^n/n!C.-1^nx^nD.1/n!【答案】C【解析】1/1-x的泰勒展开式为1+x+x^2+...+x^n+...，通项为-1^nx^n

13.函数fx=x^3-3x在x=0处的极值是（）（1分）A.0B.1C.-1D.2【答案】A【解析】fx=3x^2-3，f0=0，f0=-60，故x=0处为极大值点，极值为

014.函数fx=√1-x^2的定义域是（）（1分）A.-∞,∞B.[-1,1]C.0,1D.R【答案】B【解析】1-x^2≥0⇒-1≤x≤

115.函数fx=x/x-1在x=1处的极限是（）（1分）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】D【解析】limx→1x/x-1=1/0，极限不存在

16.函数fx=e^x在x=0处的曲率是（）（1分）A.1B.0C.eD.1/e【答案】A【解析】y=e^x，y=e^x，在x=0处曲率k=y/[1+y^2^3/2]=1/1=

117.函数fx=sinx在x=π/2处的导数是（）（1分）A.1B.0C.-1D.π【答案】A【解析】fx=cosx，fπ/2=cosπ/2=

118.函数fx=x^2在[0,2]上的积分中值定理的ξ取值是（）（1分）A.1B.√2C.2D.0【答案】A【解析】∫_0^2x^2dx=2-0·fξ=8/3，解得fξ=4/3，ξ=

119.函数fx=arctanx在x=0处的二阶导数是（）（1分）A.1B.0C.1/2D.2【答案】B【解析】y=1/1+x^2，y=-2x/1+x^2^2，y0=

020.函数fx=x^2lnx在x=1处的导数是（）（1分）A.0B.1C.2D.2ln1【答案】B【解析】fx=2xlnx+x，f1=2ln1+1=1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在其定义域内连续的是（）A.y=sinxB.y=1/xC.y=x^2D.y=√1-x^2【答案】A、C、D【解析】sinx、x^

2、√1-x^2在整个定义域内连续，1/x在x≠0处连续

2.下列函数中，在其定义域内可导的是（）A.y=|x|B.y=x^3C.y=1/xD.y=e^x【答案】B、C、D【解析】x^

3、1/x、e^x在整个定义域内可导，|x|在x=0处不可导

3.下列函数中，在其定义域内单调递减的是（）A.y=-xB.y=1/xC.y=-x^2D.y=log_1/2x【答案】A、D【解析】-x、log_1/2x在整个定义域内单调递减，1/x、-x^2在各自定义域内不单调

4.下列函数中，在其定义域内存在反函数的是（）A.y=x^3B.y=x^2C.y=e^xD.y=arctanx【答案】A、C、D【解析】x^

3、e^x、arctanx在整个定义域内存在反函数，x^2在R上不存在反函数

5.下列函数中，在其定义域内可积的是（）A.y=sinxB.y=1/xC.y=x^2D.y=√1-x^2【答案】A、C、D【解析】sinx、x^

2、√1-x^2在整个定义域内可积，1/x在x=0处不可积

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=|x|在x=0处的导数是______（4分）【答案】0【解析】f0=limh→0|h|/h=

02.函数fx=e^x的麦克劳林展开式为______（4分）【答案】1+x+x^2/2!+x^3/3!+...【解析】e^x的麦克劳林展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

3.函数fx=sinx在区间[0,π/2]上的积分是______（4分）【答案】1【解析】∫_0^π/2sinxdx=-cosx∣_0^π/2=

14.函数fx=x^2在[0,1]上的平均值是______（4分）【答案】1/3【解析】fx在[0,1]上的平均值=1/1∫_0^1x^2dx=1/3x^3∣_0^1=1/3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.两个单调递增函数的复合函数一定单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x^2在-∞,0单调递减，gx=-x在-∞,0单调递增，但fgx=x^2在-∞,0单调递减

2.函数fx=x^3在[0,1]上的积分中值定理的ξ取值是唯一的（）（2分）【答案】（×）【解析】积分中值定理的ξ取值不一定是唯一的，可能存在多个ξ满足条件

3.函数fx=sinx在x=π处的导数是0（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=cosx，fπ=cosπ=

04.函数fx=x^2在[0,2]上的积分中值定理的ξ取值一定是1（）（2分）【答案】（×）【解析】积分中值定理的ξ取值不一定是1，可能取[0,2]内任何值

5.函数fx=e^x在x=0处的曲率是1（）（2分）【答案】（√）【解析】y=e^x，y=e^x，在x=0处曲率k=y/[1+y^2^3/2]=1/1=1

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数单调性的定义（4分）【答案】函数单调性定义设函数fx在区间I上，若对任意x1,x2∈I，当x1x2时，总有fx1≤fx2（或fx1≥fx2），则称fx在区间I上单调递增（或单调递减）

2.简述函数极值的定义（4分）【答案】函数极值定义设函数fx在点x0的某邻域内有定义，若对该邻域内任意点x（x≠x0），都有fxfx0（或fxfx0），则称x0是函数fx的极大值点（或极小值点），fx0是函数fx的极大值（或极小值）

3.简述积分中值定理的内容（4分）【答案】积分中值定理内容设函数fx在闭区间[a,b]上连续，则存在ξ∈[a,b]，使得∫_a^bfxdx=fξb-a

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在[-2,2]上的单调区间、极值点和最值（10分）【答案】解fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2fx=6x-6，f0=-60，f2=60单调递增区间-∞,0,2,∞；单调递减区间0,2极值点x=0处极大值f0=2；x=2处极小值f2=-2最值f-2=-10，f0=2，f2=-2，最大值为2，最小值为-

102.分析函数fx=e^x在[0,1]上的积分，并求其平均值（10分）【答案】解∫_0^1e^xdx=e^x∣_0^1=e-1平均值=1/1∫_0^1e^xdx=e-1即函数fx=e^x在[0,1]上的平均值为e-1

七、综合应用题（每题20分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2，求其在[0,3]上的积分，并分析其单调区间、极值点和最值（20分）【答案】解∫_0^3x^3-3x^2+2dx=1/4x^4-x^3+2x∣_0^3=81/4-27+6-0=33/4fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0,2fx=6x-6，f0=-60，f2=60单调递增区间-∞,0,2,∞；单调递减区间0,2极值点x=0处极大值f0=2；x=2处极小值f2=0最值f0=2，f2=0，f3=2，最大值为2，最小值为0。