导数杯疑难试题及破解答案

导数杯疑难试题及破解答案

一、单选题

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+1，若f1=0且f1=2，则a和b的值分别为（）（2分）A.a=3，b=0B.a=2，b=1C.a=3，b=1D.a=2，b=0【答案】C【解析】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f1=1-a+b+1=2，解得a=3，b=

12.函数fx=e^x-x^2在区间-1,1上的最大值是（）（1分）A.e-1B.e+1C.1D.0【答案】A【解析】fx=e^x-2x，令fx=0得e^x=2x，在-1,1上只有一个解x≈

0.35，f

0.35≈e^

0.35-

0.35^2≈

1.419-

0.1225=

1.2965，f-1=e^-1-1≈

0.3679-1=-

0.6321，f1=e-1≈

2.7183-1=

1.7183，最大值为e-

13.函数fx=sinx+cos2x在区间[0,π/2]上的最小值是（）（2分）A.-1B.0C.-√2/2D.-1/√2【答案】C【解析】fx=cosx-2sin2x=cosx-4sinxcosx=cosx1-4sinx，令fx=0得sinx=1/4或cosx=0，x=π/2或x=arcsin1/4，fπ/2=0，farcsin1/4=sinarcsin1/4+cos2arcsin1/4=1/4+cos2arcsin1/4=1/4+√1-1/4^2-21/4√1-1/4^2=1/4+√15/8-√15/8=1/4，最小值为-√2/

24.曲线y=x^3-3x^2+2在点2,0处的切线方程是（）（2分）A.y=-4x+8B.y=-2x+4C.y=4x-8D.y=2x-4【答案】A【解析】yx=3x^2-6x，y2=-6，切线方程y-0=-6x-2，即y=-6x+12，化简得y=-4x+

85.函数fx=xlnx-x在区间0,1上的最大值是（）（1分）A.-1B.0C.1D.ln1/2【答案】B【解析】fx=lnx+1-1=lnx，令fx=0得x=1/e，f1/e=1/eln1/e-1/e=1/e-1-1/e=-2/e≈-

0.7358，f0=0，f1=0，最大值为

06.函数fx=x^2-4x+3在区间[1,5]上的最小值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.-3【答案】D【解析】fx=2x-4，令fx=0得x=2，f1=0，f2=-1，f5=8，最小值为-

37.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的零点个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-16，f-1=4，f0=2，f1=0，f2=0，零点个数为

38.函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-1,3]上的最大值是（）（2分）A.5B.7C.9D.10【答案】B【解析】fx=4x^3-12x^2+12x-4=4x-1^3，令fx=0得x=1，f-1=17，f1=5，f3=10，最大值为

79.函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[0,3]上的最大值是（）（2分）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3，f0=0，f1=1，f3=3，f1+√1/3≈

4.095，f1-√1/3≈-

0.095，最大值为

410.函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在区间[-2,2]上的最小值是（）（2分）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【解析】fx=4x^3-12x^2+12x-4=4x-1^3，令fx=0得x=1，f-2=17，f1=5，f2=1，最小值为-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在区间0,1上单调递增？（）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=lnx+1D.fx=xlnxE.fx=sinx【答案】A、B、C【解析】fx=x^2在0,1上单调递增；fx=e^x在0,1上单调递增；fx=lnx+1在0,1上单调递增；fx=xlnx在0,1上单调递减；fx=sinx在0,1上非单调

2.以下哪些函数在区间[-1,1]上存在极值点？（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^2D.fx=sinxE.fx=e^x【答案】A、D【解析】fx=x^3在[-1,1]上存在极值点x=0；fx=x^4在[-1,1]上不存在极值点；fx=x^2在[-1,1]上存在极值点x=0；fx=sinx在[-1,1]上存在极值点x=0；fx=e^x在[-1,1]上不存在极值点

3.以下哪些函数在区间[0,1]上连续且可导？（）A.fx=x^2B.fx=√xC.fx=1/xD.fx=sinxE.fx=e^x【答案】A、B、D、E【解析】fx=x^2在[0,1]上连续且可导；fx=√x在[0,1]上连续且可导；fx=1/x在[0,1]上不连续；fx=sinx在[0,1]上连续且可导；fx=e^x在[0,1]上连续且可导

4.以下哪些函数在区间0,1上存在拐点？（）A.fx=x^3B.fx=x^4C.fx=x^2D.fx=sinxE.fx=e^x【答案】A、D【解析】fx=x^3在0,1上存在拐点；fx=x^4在0,1上不存在拐点；fx=x^2在0,1上不存在拐点；fx=sinx在0,1上存在拐点；fx=e^x在0,1上不存在拐点

5.以下哪些函数在区间[0,1]上单调递减？（）A.fx=x^2B.fx=e^xC.fx=lnx+1D.fx=xlnxE.fx=-x【答案】D、E【解析】fx=x^2在[0,1]上单调递增；fx=e^x在[0,1]上单调递增；fx=lnx+1在[0,1]上单调递增；fx=xlnx在[0,1]上单调递减；fx=-x在[0,1]上单调递减

三、填空题

1.函数fx=x^3-3x^2+2x在x=1处的泰勒展开式为______【答案】x-1^3+3x-1^2+2x-1（4分）

2.函数fx=e^x在x=0处的麦克劳林展开式的前三项为______【答案】1+x+x^2/2（4分）

3.函数fx=sinx在x=π/2处的泰勒展开式的前三项为______【答案】1-x-π/2^2/2!（4分）

4.函数fx=cosx在x=π/3处的泰勒展开式的前三项为______【答案】1/2-√3/2x-π/3+1/4x-π/3^2（4分）

5.函数fx=lnx+1在x=0处的麦克劳林展开式的前三项为______【答案】x-x^2/2+x^3/3（4分）

四、判断题

1.两个可导函数的和仍可导（）（2分）【答案】（√）【解析】根据可导函数的和仍可导的性质，两个可导函数的和仍可导

2.两个可导函数的积仍可导（）（2分）【答案】（√）【解析】根据可导函数的积仍可导的性质，两个可导函数的积仍可导

3.两个可导函数的商仍可导（）（2分）【答案】（×）【解析】两个可导函数的商在分母不为零时仍可导，但在分母为零时不可导

4.可导函数的极值点一定是驻点（）（2分）【答案】（×）【解析】可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点

5.可导函数的拐点一定是驻点（）（2分）【答案】（×）【解析】可导函数的拐点不一定是驻点，驻点也不一定是拐点

五、简答题

1.简述导数的定义及其几何意义【答案】导数的定义函数fx在点x处的导数fx是指当自变量x的增量Δx趋于0时，函数增量Δy=fx+Δx-fx与自变量增量Δx的比值Δy/Δx的极限，即fx=limΔx→0Δy/Δx几何意义函数fx在点x处的导数fx表示曲线y=fx在点x,fx处的切线的斜率

2.简述函数单调性的判定方法【答案】函数单调性的判定方法若函数fx在区间I上的导数fx恒大于0，则函数fx在区间I上单调递增；若函数fx在区间I上的导数fx恒小于0，则函数fx在区间I上单调递减

3.简述函数极值的判定方法【答案】函数极值的判定方法若函数fx在点x0处的导数fx0等于0，且在x0的左侧和右侧导数符号相反，则函数fx在点x0处取得极值当左负右正时取得极小值，当左正右负时取得极大值

六、分析题

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x在区间[-2,3]上的单调性、极值和拐点【答案】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3，fx=6x-6，令fx=0得x=1，f-2=-10，f-1=5，f0=0，f1=0，f3=3，f-√1/3≈-

0.095，f√1/3≈

4.095，单调递增区间为-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞，单调递减区间为1-√1/3,1+√1/3，极大值为f1-√1/3≈

4.095，极小值为f1+√1/3≈-

0.095，拐点为x=

12.分析函数fx=e^x-x在区间[-2,2]上的单调性、极值和拐点【答案】fx=e^x-1，令fx=0得x=0，fx=e^x，f-2≈

0.1353，f0=1，f2≈

6.3891，单调递增区间为0,+∞，单调递减区间为-∞,0，极小值为f0=1，无极大值，无拐点

七、综合应用题

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx+1，若f1=0且f1=2，求a和b的值，并分析函数的单调性和极值【答案】fx=3x^2-2ax+b，f1=3-2a+b=0，f1=1-a+b+1=2，解得a=3，b=1，fx=3x^2-6x+1，令fx=0得x=1±√2/3，fx=6x-6，令fx=0得x=1，f-1=0，f0=1，f1=2，f2=3，单调递增区间为-∞,1-√2/3和1+√2/3,+∞，单调递减区间为1-√2/3,1+√2/3，极大值为f1-√2/3≈

2.414，极小值为f1+√2/3≈

0.

5862.已知函数fx=x^4-4x^3+6x^2-4x+1，求函数的极值和拐点，并分析函数的单调性【答案】fx=4x^3-12x^2+12x-4，令fx=0得x=1，fx=12x^2-24x+12，令fx=0得x=1，f-1=17，f0=1，f1=5，f2=1，单调递增区间为-∞,1和1,+∞，单调递减区间为1,1，极大值为f1=5，无极小值，拐点为x=1---标准答案

一、单选题

1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.D

7.C

8.B

9.C

10.A

二、多选题

1.A、B、C

2.A、D

3.A、B、D、E

4.A、D

5.D、E

三、填空题

1.x-1^3+3x-1^2+2x-

12.1+x+x^2/

23.1-x-π/2^2/2!

4.1/2-√3/2x-π/3+。