工程数学专科提升训练试题及答案

工程数学专科提升训练试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设函数fx在区间[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=fb-fa/b-aC.fξ0D.fξ0【答案】B【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=fb-fa/b-a

2.若向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a和b的夹角余弦值为（）（2分）A.1/2B.3/7C.5/7D.1【答案】B【解析】cosθ=a·b/|a||b|=1×4+2×5+3×6/√1²+2²+3²×√4²+5²+6²=32/7√14≈

0.4286，计算错误，正确答案应为3/

73.矩阵A=|12|，B=|34|，则矩阵A和B的乘积为（）（2分）A.|56|B.|78|C.|910|D.|1112|【答案】B【解析】AB=|1×3+2×31×4+2×4|=|98|，计算错误，正确答案应为|78|

4.微分方程y-4y=0的通解为（）（2分）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1sin2x+C2cos2xC.y=C1e^x+C2e^-xD.y=C1+C2x【答案】A【解析】特征方程为r²-4=0，解得r=±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x

5.设级数∑n=1to∞an收敛，则级数∑n=1to∞|an|（）（2分）A.一定收敛B.一定发散C.可能收敛也可能发散D.无法判断【答案】C【解析】绝对收敛则条件收敛，但条件收敛不一定绝对收敛

6.设函数fx在点x0处可导，且fx0=2，则当x→x0时，fx的微分df等于（）（2分）A.2B.2x-x0C.2dxD.2x0【答案】C【解析】df=fx0dx=2dx

7.设z=fx,y在点Px0,y0处取得极值，且在该点处偏导数存在，则必有（）（2分）A.∂f/∂xx0,y0=0B.∂f/∂yx0,y0=0C.∂²f/∂x²x0,y0=0D.A和B都成立【答案】D【解析】函数取得极值时，偏导数必为零

8.设函数fx在闭区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上（）（2分）A.必有最大值和最小值B.必有最大值，但未必有最小值C.未必有最大值，但必有最小值D.未必有最大值，也未必有最小值【答案】A【解析】根据极值定理，连续函数在闭区间上必有最值

9.设向量a=1,2,3，b=4,5,6，则向量a和b的向量积为（）（2分）A.1,2,3B.4,5,6C.-3,6,-3D.3,6,-3【答案】C【解析】a×b=|ijk|=-3,6,-

310.若矩阵A可逆，则detA（）（2分）A.等于0B.不等于0C.小于0D.大于0【答案】B【解析】矩阵可逆的充要条件是行列式不为0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间-∞,∞上连续的有（）（4分）A.fx=sinxB.fx=cosxC.fx=tanxD.fx=ex【答案】A、B、D【解析】sinx、cosx、ex在-∞,∞上连续，tanx在x=π/2+kπ处不连续

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界B.若函数fx在区间I上可导，则fx在I上必连续C.若函数fx在区间I上单调，则fx在I上必可导D.若函数fx在区间I上可导，则fx在I上必可微【答案】B、D【解析】连续是可导的必要条件，可导必可微

3.下列级数中，收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n²C.∑n=1to∞-1^n+1/nD.∑n=1to∞1/n+1【答案】B、C【解析】1/n²收敛，交错级数条件收敛

4.下列向量组中，线性无关的有（）（4分）A.1,0,0B.0,1,0C.0,0,1D.1,1,1【答案】A、B、C【解析】单位向量组线性无关

5.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若矩阵A可逆，则detA≠0B.若矩阵A可逆，则A的秩为nC.若矩阵A的秩为n，则A可逆D.若矩阵A的行列式为0，则A不可逆【答案】A、B、D【解析】可逆矩阵满秩，行列式为0不可逆

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx在点x0处可导，且fx0=3，则当x→x0时，fx的线性近似为_________（4分）【答案】fx≈fx0+3x-x

02.矩阵A=|12|，B=|30|，则矩阵A和B的乘积为_________（4分）【答案】|70|

3.微分方程y+4y=0的通解为_________（4分）【答案】y=C1cos2x+C2sin2x

4.级数∑n=1to∞1/n^2的和为_________（4分）【答案】π²/

65.向量a=1,2,3和向量b=4,5,6的向量积为_________（4分）【答案】-3,6,-3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上连续，则fx在I上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在0,1上连续但无界

2.若向量a和向量b共线，则必有k使得a=kb（）（2分）【答案】（√）【解析】共线向量必存在比例系数

3.若矩阵A可逆，则detA≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵行列式非零

4.若级数∑n=1to∞an收敛，则级数∑n=1to∞|an|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛不一定绝对收敛

5.若函数fx在点x0处取得极值，且在该点处偏导数存在，则必有fx0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点处偏导必为零

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述拉格朗日中值定理的内容（4分）【答案】若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fb-fa=fξb-a

2.简述矩阵可逆的充要条件（4分）【答案】矩阵可逆的充要条件是矩阵为方阵且行列式不为

03.简述级数收敛的必要条件（4分）【答案】级数收敛的必要条件是通项趋于0，即limn→∞an=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，且fa=fb证明存在ξ∈a,b，使得fξ=0（10分）【答案】根据罗尔定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=

02.设向量组a1=1,0,0，a2=0,1,0，a3=0,0,1证明该向量组线性无关（10分）【答案】设k1a1+k2a2+k3a3=0，则k1=0，k2=0，k3=0，故线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x+2，求fx在区间[-2,2]上的最大值和最小值（25分）【答案】fx=3x^2-3，令fx=0，得x=±1f-2=-10，f-1=4，f1=0，f2=0最大值为4，最小值为-

102.已知矩阵A=|12|，B=|30|，求矩阵A和B的逆矩阵及它们的乘积的逆矩阵（25分）【答案】A的逆矩阵为|0-1/2|，B的逆矩阵不存在AB=|70|，AB的逆矩阵为|00|，但B无逆，故乘积无逆---标准答案及解析

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.A

9.C

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.B、D

3.B、C

4.A、B、C

5.A、B、D

三、填空题

1.fx≈fx0+3x-x

02.|70|

3.y=C1cos2x+C2sin2x

4.π²/

65.-3,6,-3

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.拉格朗日中值定理若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b上可导，则存在ξ∈a,b，使得fb-fa=fξb-a

2.矩阵可逆的充要条件矩阵为方阵且行列式不为

03.级数收敛的必要条件通项趋于0，即limn→∞an=0

六、分析题

1.根据罗尔定理，存在ξ∈a,b，使得fξ=

02.设k1a1+k2a2+k3a3=0，则k1=0，k2=0，k3=0，故线性无关

七、综合应用题

1.最大值为4，最小值为-

102.A的逆矩阵为|0-1/2|，B无逆，故乘积无逆。