工程数学导论期中试题及答案

工程数学导论期中试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内连续的是（）（2分）A.fx=1/xB.fx=x^2C.fx=|x|D.fx=tanx【答案】B【解析】fx=x^2在定义域内连续，其他函数在特定点存在不连续性

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）（2分）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】通过分子分母因式分解，limx→2x^2-4/x-2=limx→2x+2=

43.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.1,2B.2,4C.1,3D.3,6【答案】C【解析】向量组线性无关的条件是它们的行列式不为0，只有C满足

4.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的转置矩阵A^T是（）（2分）A.[[1,3],[2,4]]B.[[2,4],[1,3]]C.[[1,2],[3,4]]D.[[3,1],[4,2]]【答案】A【解析】矩阵转置是将行变为列，列变为行

5.下列积分中，计算结果为π的是（）（2分）A.∫0toπsinxdxB.∫0toπcosxdxC.∫0to1e^xdxD.∫0to1xdx【答案】A【解析】∫0toπsinxdx=-cosx|0toπ=

26.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞n【答案】B【解析】p-级数∑n=1to∞1/n^p收敛当p1，只有B满足

7.下列方程中，是线性微分方程的是（）（2分）A.y+y^2=0B.y+yy=0C.y+siny=0D.y+y+y=0【答案】D【解析】线性微分方程中，未知函数及其导数都是一次幂

8.下列空间中，不是欧几里得空间的是（）（2分）A.R^nB.C^nC.R^nwithweightedinnerproductD.M_2x2R【答案】C【解析】加权内积空间改变了距离度量，不再是标准欧几里得空间

9.下列变换中，是正交变换的是（）（2分）A.Tx,y=x,yB.Tx,y=y,xC.Tx,y=-x,-yD.Tx,y=x,-y【答案】A【解析】正交变换保持向量长度和内积，只有恒等变换满足

10.下列方程中，是特征方程的是（）（2分）A.ax^2+bx+c=0B.ay+by+cy=0C.ar^n+br^n-1+cr^n-2=0D.a^2+b^2=c^2【答案】C【解析】特征方程是线性常系数微分方程对应的代数方程

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是极限的基本性质？（）（4分）A.极限唯一性B.局部有界性C.四则运算法则D.夹逼定理E.保号性【答案】A、C、D、E【解析】B不是极限基本性质，局部有界性需要单独证明

2.以下哪些矩阵是可逆的？（）（4分）A.[[1,0],[0,1]]B.[[1,2],[3,4]]C.[[2,0],[0,0]]D.[[3,1],[1,3]]E.[[1,1],[1,1]]【答案】A、B、D【解析】C和E的行列式为0，不可逆

3.以下哪些级数收敛？（）（4分）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞1/n+1C.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞-1^n/n^2E.∑n=1to∞n【答案】C、D【解析】A是条件收敛，B发散，E发散

4.以下哪些是线性微分方程的解？（）（4分）A.y=e^xB.y=x^2C.y=sinxD.y=C1e^x+C2e^2xE.y=x+1【答案】D【解析】只有D是线性微分方程的通解

5.以下哪些是正交矩阵的性质？（）（4分）A.行列式为±1B.逆矩阵等于转置矩阵C.列向量组标准正交D.行向量组线性无关E.特征值绝对值为1【答案】A、B、C【解析】D和E不是正交矩阵的必要性质

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若向量a=1,2,3与向量b=x,y,z正交，则x+y+z=______（4分）【答案】0【解析】a·b=x+2y+3z=

02.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的秩rA=______（4分）【答案】2【解析】行列式不为0，秩为

23.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=______（4分）【答案】fb-fa/b-a【解析】拉格朗日中值定理

4.级数∑n=1to∞a^n的收敛半径R=______（4分）【答案】1/|a|【解析】由根值判别法

5.微分方程y-y=0的通解为y=______（4分）【答案】C1e^x+C2e^-x【解析】特征方程r^2-1=0的解为r=±

16.若矩阵P可逆，且P^T=P^-1，则P是______矩阵（4分）【答案】正交【解析】定义即正交矩阵

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=1/x在[0,1]无界

2.向量组{1,0,0,1,1,1}线性相关（）（2分）【答案】（√）【解析】存在非零解使线性组合为

03.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛时绝对值级数发散

4.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】可积函数必有界

5.若矩阵A可逆，则detA≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的行列式不为0

五、简答题（每题4分，共16分）

1.简述函数极限与数列极限的关系（4分）【答案】函数极限与数列极限关系

（1）数列极限是函数极限的特殊情况（x→∞时函数的极限）；

（2）函数极限存在当且仅当沿任何收敛于极限点的数列，函数极限都存在且相等；

（3）可利用数列证明函数极限，反之亦然

2.简述线性无关向量组的判断方法（4分）【答案】判断方法

（1）行列式法向量组构成矩阵，行列式不为0；

（2）线性组合法方程组只有零解；

（3）秩数法向量组秩等于向量个数；

（4）几何意义空间中不共线/面等

3.简述线性微分方程的解的结构（4分）【答案】解的结构

（1）齐次方程通解为线性组合形式；

（2）非齐次方程通解=对应齐次通解+特解；

（3）n阶方程通解含n个任意常数；

（4）初值问题解唯一

4.简述正交变换的性质（4分）【答案】正交变换性质

（1）保持向量长度|TA|=|A|；

（2）保持内积TA·TB=A·B；

（3）逆矩阵等于转置T^-1=T^T；

（4）矩阵列向量组标准正交

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，且对任意x1,x2∈[a,b]，有|fx1-fx2|≤k|x1-x2|（k1），证明fx在[a,b]上唯一（10分）【答案】证明

（1）反证假设存在x1,x2∈[a,b]，fx1≠fx2，且|fx1-fx2|=k|x1-x2|；

（2）构造函数gx=fx-fa-[fb-fa/b-a]x-a，则ga=gb=0；

（3）由罗尔定理，存在ξ∈a,b，gξ=0，即fξ-fb-fa/b-a=0；

（4）这与条件矛盾，因为fξ≤k1，而kb-ab-a，故矛盾，证毕

2.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，求A的特征值与特征向量（10分）【答案】

（1）特征方程detA-λI=0det[[1-λ,2],[3,4-λ]]=1-λ4-λ-6=λ^2-5λ-2=0；

（2）解得特征值λ1=5+√17，λ2=5-√17；

（3）对应特征向量对λ1解A-λ1Ix=0，得特征向量x1=[2-√17,-3]；对λ2解A-λ2Ix=0，得特征向量x2=[2+√17,-3]

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，且满足f0=f1，证明存在ξ∈0,1，使得fξ=fξ+1/2（25分）【答案】证明

（1）构造函数gx=fx-fx+1/2在[0,1/2]上；

（2）由f0=f1，得g0=f0-f1/2=-g1/2；

（3）若g0=0，则存在ξ=0满足条件；

（4）若g0≠0，则g0与g1/2异号，由介值定理，存在ξ∈0,1/2，gξ=0；

（5）即fξ=fξ+1/2，证毕

2.设向量组a1=1,1,1，a2=1,1,0，a3=1,0,0，求其秩及一个最大无关组，并将a4=0,1,1用此组线性表示（25分）【答案】

（1）秩与最大无关组构造矩阵A=[a1,a2,a3]，行简化阶梯形[[1,1,1],[1,1,0],[1,0,0]]→[[1,1,1],[0,0,-1],[0,-1,-1]]→[[1,1,1],[0,1,1],[0,0,1]]；秩rA=3，最大无关组为{a1,a2,a3}

（2）线性表示解x1a1+x2a2+x3a3=a4x11,1,1+x21,1,0+x31,0,0=0,1,1；得方程组x1+x2+x3=0x1+x2=1x1=1解得x1=1,x2=0,x3=-1；即a4=a1-a3。