工程数学试题及标准答案

工程数学经典试题及标准答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.8B.6C.2D.0【答案】A【解析】fx=3x^2-3=0得x=±1，f-2=-10，f-1=4，f1=0，f2=0，最大值为

82.极限limx→0sinx/x1/cosx的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.不存在【答案】B【解析】limx→0sinx/x=1，limx→01/cosx=1，故极限值为

13.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的特征值是（）（2分）A.1,2B.2,3C.3,4D.1,6【答案】D【解析】detA-λI=0得λ^2-5λ+4=0，解得λ=1,

44.微分方程y-4y=0的通解是（）（2分）A.y=C1e^2x+C2e^-2xB.y=C1e^x+C2e^-xC.y=C1sin2x+C2cos2xD.y=C1cosx+C2sinx【答案】A【解析】特征方程r^2-4=0得r=±2，通解为y=C1e^2x+C2e^-2x

5.级数∑n=1to∞-1^n+1/n收敛性是（）（2分）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.无法判断【答案】C【解析】利用莱布尼茨判别法，级数条件收敛

6.空间直线L:x=1+t,y=2-t,z=3-2t与平面π:x+y+z=6的位置关系是（）（2分）A.平行B.垂直C.相交D.直线在平面上【答案】C【解析】直线方向向量[-1,1,2]与平面法向量[1,1,1]不平行，且直线过1,2,3不在平面上，故相交

7.函数fx=√x^2+1在区间[0,1]上的平均变化率是（）（2分）A.1B.√2C.1/√2D.2【答案】B【解析】√1^2+1-√0^2+1/1-0=√

28.曲线y=x^3在点1,1处的曲率是（）（2分）A.1B.2C.3D.6【答案】A【解析】y=3x^2,y=6x,κ=|y|/|1+y^3|=

19.线性方程组Ax=b的增广矩阵为[[1,2,3,4],[2,4,6,8]]，则方程组（）（2分）A.无解B.有唯一解C.有无穷多解D.无法判断【答案】A【解析】第二行是第一行的2倍，但常数项不同，故无解

10.矩阵A=[[1,0],[0,2]]的逆矩阵是（）（2分）A.[[1,0],[0,2]]B.[[1,0],[0,1/2]]C.[[1,0],[-1/2,0]]D.[[0,1/2],[0,1]]【答案】B【解析】AA^-1=I，A^-1=1/2[[1,0],[0,1]]

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列哪些函数在区间[-1,1]上连续？（）A.fx=1/xB.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=e^x【答案】B、C、D【解析】fx=1/x在x=0不连续，其余连续

2.矩阵A可逆的充要条件是（）A.A为方阵B.detA≠0C.A的行向量线性无关D.A的特征值不为0【答案】A、B、C【解析】A可逆⇔detA≠0⇔A为方阵且行向量线性无关

3.下列哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞1/n^2B.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n+1D.∑n=1to∞1/sqrtn【答案】A、B【解析】p-级数n^-p，p1收敛；交错级数满足条件收敛

4.微分方程y+y=0的解是（）A.y=Ce^xB.y=Ce^-xC.y=CsinxD.y=Ccosx【答案】B【解析】特征方程r+1=0得r=-1，解为y=Ce^-x

5.下列命题正确的是（）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上可积B.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上连续C.若fx在[a,b]上单调，则fx在[a,b]上可积D.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上连续【答案】A、C、D【解析】连续函数可积，单调函数可积，可导函数连续

三、填空题（每题4分，共20分）

1.函数fx=2x^3-3x^2-12x+5的驻点是______、______（4分）【答案】-

1、2【解析】fx=6x^2-6x-12=0得x=-1,

22.曲线y=x^2在点1,1处的法线方程是______（4分）【答案】y=-2x+3【解析】y=2x,y|-1=-2，法线方程y-1=-2x-

13.级数∑n=1to∞1/2^n的和是______（4分）【答案】1/2【解析】等比数列求和，a=1/2,q=1/2,S=1/1-q=1/

24.微分方程y-y=0的通解是______（4分）【答案】y=C1e^x+C2e^-x【解析】特征方程r^2-1=0得r=±1，通解为y=C1e^x+C2e^-x

5.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的秩是______（4分）【答案】2【解析】detA=1×4-2×3=-2≠0，秩为2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】条件收敛的级数绝对值级数发散

3.若函数fx在区间[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值（）（2分）【答案】（√）【解析】最值定理

4.若矩阵A可逆，则detA≠0（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆⇔detA≠

05.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】可积函数必有界

五、简答题（每题5分，共15分）

1.什么是导数？导数有哪些几何意义和物理意义？【答案】导数是函数在某一点处变化率的度量几何意义切线斜率；物理意义瞬时速度

2.简述矩阵可逆的充要条件【答案】n阶矩阵A可逆⇔detA≠0且A的行（列）向量组线性无关

3.什么是级数的收敛？判断级数收敛有哪些常用方法？【答案】级数部分和数列有极限；常用方法比较判别法、比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb证明在a,b内至少存在一点ξ，使fξ=0【证明】由罗尔定理，fξ=

02.设函数fx满足fx+4fx=0，且f0=1,f0=1求fx的表达式【解】特征方程r^2+4=0得r=±2i，通解fx=C1cos2x+C2sin2x，f0=C1=1，f0=2C2=1，得C2=1/2，fx=cos2x+1/2sin2x

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产某种产品，固定成本为10万元，每件产品可变成本为20元，售价为50元求

（1）生产多少件产品时开始盈利？

（2）生产100件产品时的利润是多少？

（3）若要实现利润最大化，应生产多少件产品？【解】

（1）令50x-20x-10=0⇒x=1/3万件=3333件

（2）利润P=50×100-20×100-10=3400元

（3）设x件，P=50-20x-10=30x-10，P=300，生产越多利润越大，理论上无限大，但实际受限于生产能力

2.已知矩阵A=[[1,2],[3,4]],B=[[2,0],[1,2]]，求

（1）A+B,A-B,AB

（2）A的逆矩阵A^-1

（3）解线性方程组Ax=b,其中b=[5,11]^T【解】

（1）A+B=[[3,2],[4,6]],A-B=[[-1,2],[0,2]],AB=[[7,4],[10,8]]

（2）detA=2,A^-1=1/2[[4,-2],[-3,1]]

（3）x=A^-1b=1/2[[4,-2],[-3,1]][

[5],

[11]]=[1,2]^T。