微积分B期中试题及参考答案

微积分B期中试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=3x+1D.fx=sinx【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其左右导数不相等

2.极限limx→2x^2-4/x-2的值是（）A.0B.2C.4D.不存在【答案】C【解析】分子分母因式分解后约去x-2，得x+2，代入x=2得

43.函数fx=e^x在区间[0,1]上的平均变化率是（）A.eB.e-1C.1D.loge【答案】B【解析】平均变化率=e^1-e^0/1=e-

14.若函数fx在x=c处取得极值，且fc=0，则fx在x=c处（）A.一定连续B.一定可导C.一定不可导D.以上都不对【答案】A【解析】根据极值判定定理，极值点处函数一定连续

5.下列级数中，收敛的是（）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞-1^n/nC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞n/2^n【答案】C【解析】p-级数当p1时收敛，1/n^2p=2收敛

6.函数fx=lnx在x=1处的泰勒展开式中x^3的系数是（）A.1/3B.1/6C.1/9D.1/12【答案】B【解析】f^nx=1/x^n，f^31=1/1^3=1，系数为1/3!即1/

67.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得（）A.fξ=fb-fa/b-aB.fξ=fb+fa/b-aC.fξ=∫[a,b]fxdxD.fξ=fξ【答案】A【解析】这是拉格朗日中值定理的结论

8.函数fx=√x+1在x=0处的线性近似为（）A.1+xB.1+1/2xC.1D.x+1【答案】B【解析】f0=1/2√0+1=1/2，f0=1，近似式为f0+f0x-0=1+1/2x

9.下列说法正确的是（）A.单调增函数的导数必为正B.导数为零的点一定是极值点C.极值点处函数的导数不一定为零D.连续函数在闭区间上必有最值【答案】D【解析】根据极值定理和最值定理

10.若函数fx在x=0处二阶导数存在且f0=f0=0，f00，则x=0是fx的（）A.极大值点B.极小值点C.拐点D.驻点【答案】B【解析】根据二阶导数判定法

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列说法正确的有（）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若fx在[a,b]上可导，则fx在[a,b]上连续C.若fx在[a,b]上单调，则fx在[a,b]上连续D.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最值【答案】A、B、D【解析】根据连续函数性质和可导性定义

2.下列级数中，绝对收敛的有（）A.∑n=1to∞sin1/n^nB.∑n=1to∞1/n+1lnn+1C.∑n=1to∞-1^n/n√nD.∑n=1to∞-1^n/2^n【答案】C、D【解析】利用比值判别法、根值判别法

3.下列函数中，在-∞,+∞上可导的有（）A.fx=x^3B.fx=|x|^3C.fx=x^2|x|D.fx=e^x【答案】A、D【解析】B、C在x=0处不可导

4.下列说法正确的有（）A.若fx在x=c处取得极值，则fc=0B.若fx0，则fx单调增C.若fx0，则fx凹向上D.若fx在[a,b]上单调，则fx在[a,b]上必有最值【答案】B、C【解析】A不一定成立（如fx=x^3在x=0处有极值但f0=0），D不一定成立（如fx=x在[0,1]上单调但无最值）

5.下列说法正确的有（）A.若函数fx在[a,b]上连续，则∫[a,b]fxdx存在B.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界C.若函数fx在[a,b]上黎曼可积，则fx在[a,b]上连续D.若函数fx在[a,b]上黎曼可积，则fx在[a,b]上存在原函数【答案】A、B【解析】C不成立（如狄利克雷函数），D不成立（如阶梯函数）

三、填空题（每题4分，共24分）

1.若函数fx=x^3-3x+1，则fx在[0,3]上的最大值是______，最小值是______【答案】2；-2【解析】fx=3x^2-3，驻点x=±1，f0=1，f1=0，f-1=-3，f3=19，最大值2，最小值-

32.函数fx=e^x在x=0处的n阶麦克劳林展开式中x^n的系数是______【答案】1/n!【解析】f^n0=1，系数为1/n!

3.若函数fx在[a,b]上连续，且fx在a,b内处处可导，则根据微积分基本定理，∫[a,b]fxdx=Fb-Fa，其中Fx=fx，则Fx可以是______（填一个即可）【答案】fx+C【解析】Fx是fx的一个原函数

4.若函数fx在x=0处取得极小值，且f0=0，f00，则当x→0时，fx的线性近似是______【答案】f0+f0x【解析】根据线性近似公式

5.级数∑n=1to∞1/nn+1的值为______【答案】1【解析】利用部分分式分解∑n=1to∞1/n-1/n+1=

16.若函数fx在[a,b]上连续，则在a,b内至少存在一点ξ，使得______=fb-fa【答案】fξb-a【解析】根据拉格朗日中值定理

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）【答案】（×）【解析】如fx=x^3在x=0处有极值但f0=

02.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）【答案】（×）【解析】绝对收敛才推出收敛，如∑-1^n/n√n收敛但非绝对收敛

3.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最值（）【答案】（√）【解析】根据最值定理

4.若函数fx在x=c处取得极值，且fc存在，则当fc0时，x=c是fx的极小值点（）【答案】（√）【解析】根据二阶导数判定法

5.若函数fx在[a,b]上黎曼可积，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】黎曼可积的必要条件是函数有界

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述拉格朗日中值定理的几何意义【答案】拉格朗日中值定理的几何意义是若函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，则存在一点ξ∈a,b，使得切线斜率fξ等于区间端点连线的斜率fb-fa/b-a

2.简述函数单调性的判定方法【答案】函数单调性的判定方法

（1）若在区间I上，fx0，则fx在I上单调增；

（2）若在区间I上，fx0，则fx在I上单调减；

（3）若在区间I上，fx≥0且fx在I上不恒为0，则fx在I上单调增；

（4）若在区间I上，fx≤0且fx在I上不恒为0，则fx在I上单调减

3.简述函数极值与最值的区别【答案】函数极值与最值的区别

（1）极值是局部概念，是在某邻域内最大或最小，不一定是最值；

（2）最值是整体概念，是整个区间上的最大或最小；

（3）极值点可能在区间内部，也可能在端点，但最值只能在端点或极值点处取得；

（4）函数可能没有极值，也可能没有最值，但连续函数在闭区间上必有最值

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，在0,1内可导，且满足f0=0，f1=1证明存在ξ∈0,1，使得fξ=1【证明】构造辅助函数gx=fx-x，则gx在[0,1]上连续，在0,1内可导，g0=f0-0=0，g1=f1-1=0，由罗尔定理，存在ξ∈0,1，使得gξ=0，即fξ-1=0，得fξ=

12.设函数fx在[0,+∞上连续，且f0=1，fx满足微分方程fx=fx+2xlnx，求fx的表达式【解】微分方程fx=fx+2xlnx是线性非齐次微分方程，对应齐次方程fx-fx=0的通解为f_hx=Ce^x，非齐次方程的特解可设为f_px=xAx+Be^x，代入方程得xAx+Be^x+xAx+Be^x+2xlnx=xAx+Be^x，解得A=-1，B=0，特解为f_px=-x^2e^x，通解为fx=Ce^x-x^2e^x，由f0=1得C=1，所以fx=1-x^2e^x

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上，求

（1）fx在[0,3]上的最大值和最小值；

（2）fx在[0,3]上的平均值；

（3）证明在0,3内存在唯一的点ξ，使得fξ=ξ【解】

（1）fx=3x^2-6x=3xx-2，驻点x=0,2，f0=2，f2=-2，f3=2，最大值2，最小值-2

（2）平均值=f0+f3/3=4/3

（3）令gx=fx-x=x^3-3x^2-x+2，g0=2，g3=-1，gx在[0,3]上连续，且g00，g30，由介值定理，存在ξ∈0,3，使得gξ=0，即fξ=ξ，且ξ是唯一的，因为gx=3x^2-6x-x=3x^2-7x，gx=0得x=0或x=7/3，在0,3内x=7/3，在0,7/3上gx0，在7/3,3上gx0，所以ξ=7/3是唯一的零点

2.设函数fx=√1+x^2，求

（1）fx在[0,1]上的线性近似；

（2）估计fx在[0,1]上的误差界；

（3）利用线性近似计算√

1.02的近似值，并估计误差【解】

（1）f0=1，fx=x/√1+x^2，f0=0，线性近似为fx≈f0+f0x-0=1

（2）误差界为||fx-Lx||=||√1+x^2-1||，当x∈[0,1]时，√1+x^2-1=|x/√1+x^2|≤x，所以误差界为1

（3）√

1.02≈1+

0.02=

1.02，误差不超过1---参考答案

一、单选题

1.B

2.C

3.B

4.A

5.C

6.B

7.A

8.B

9.D

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.C、D

3.A、D

4.B、C

5.A、B

三、填空题

1.2；-

32.1/n!

3.fx+C

4.f0+f0x

5.

16.fξb-a

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见简答部分

2.见简答部分

3.见简答部分

六、分析题

1.见分析题部分

2.见分析题部分

七、综合应用题

1.见综合应用题部分

2.见综合应用题部分。