微积分B考试真题与答案解析

微积分B考试真题与答案解析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值是（）（2分）A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2，令fx=0得x=0或x=2f0=2，f2=-2，f3=5最大值为

52.极限limx→0sinx/x的值是（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】标准极限结论limx→0sinx/x=

13.函数fx=e^x在点0,1处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=x+1C.y=e^xD.y=x-1【答案】A【解析】fx=e^x，f0=1切线方程为y-1=1x-0，即y=x+1，整理为y=x

4.不定积分∫2x+1dx的值是（）（2分）A.x^2+x+CB.2x^2+x+CC.x^2/2+x+CD.2x^2/2+x+C【答案】C【解析】∫2x+1dx=∫2xdx+∫1dx=x^2+x+C

5.级数∑n=1to∞1/2^n的和是（）（2分）A.1/2B.1C.2D.∞【答案】B【解析】等比级数求和S=a/1-r=1/1-1/2=

26.函数fx=lnx+1在区间-1,0上的导数是（）（2分）A.1/x+1B.1/xC.1/x-1D.-1/x+1【答案】A【解析】fx=1/x+

17.双曲函数shx的定义是（）（2分）A.e^x-e^-x/2B.e^x+e^-x/2C.e^x-e^-xD.e^x+e^-x【答案】A【解析】双曲正弦shx=e^x-e^-x/

28.函数fx=x^2在区间[1,3]上的定积分是（）（2分）A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】∫[1,3]x^2dx=x^3/3|_1^3=27/3-1/3=

89.微分方程dy/dx=x^2的通解是（）（2分）A.y=x^3/3+CB.y=x^2/2+CC.y=x^3+CD.y=3x^3+C【答案】A【解析】dy=x^2dx，积分得y=x^3/3+C

10.参数方程x=t^2,y=t^3在t=1时的切线斜率是（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】dx/dt=2t，dy/dt=3t^2dy/dx=3t^2/2t=3tt=1时斜率为3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中在区间-∞,∞上连续的有（）（4分）A.fx=x^2B.fx=1/xC.fx=sinxD.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】多项式、正弦函数、指数函数在全体实数上连续1/x在x=0处不连续

2.下列函数中是奇函数的有（）（4分）A.fx=x^3B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=cosx【答案】A、C【解析】奇函数满足f-x=-fxx^3和sinx是奇函数，x^2和cosx是偶函数

3.下列级数中收敛的有（）（4分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞-1^n/nD.∑n=1to∞1/2^n【答案】B、C、D【解析】p-级数n^-p收敛当p11/n^2收敛交错级数-1^n/n绝对收敛等比级数1/2^n收敛

4.下列函数中在x=0处可导的有（）（4分）A.fx=|x|B.fx=x^2C.fx=sinxD.fx=e^x【答案】B、C、D【解析】|x|在x=0处不可导x^

2、sinx、e^x在x=0处都可导

5.下列说法正确的有（）（4分）A.若fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有最大值和最小值B.若fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续C.若fx在x=x0处取得极值且可导，则fx0=0D.若fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界【答案】A、B、C、D【解析】根据极值定理、可导必连续、费马定理、可积必有界

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数f1的值是______（4分）【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=3-3=

02.极限limx→2x^2-4/x-2的值是______（4分）【答案】4【解析】分子分母因式分解得x-2x+2/x-2，约去公因式得x+2，极限为

43.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1处的切线斜率为3，则b=______（4分）【答案】3【解析】fx=2ax+b，f1=2a+b=3，得b=

34.不定积分∫sinx+cosxdx的值是______（4分）【答案】-cosx+sinx+C【解析】∫sinxdx=-cosx，∫cosxdx=sinx，相加得-sinx+cosx+C

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】根据有界性定理，连续函数在闭区间上必有界

2.若fx在x=x0处可导，则fx在x=x0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续是微积分的基本定理之一

3.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|必收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛必条件收敛，但反之不成立例如-1^n/n条件收敛

4.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】可积函数必有界是定积分的基本性质

5.若函数fx在x=x0处取得极值且可导，则fx0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】根据费马定理，可导函数在极值点处导数为0

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述导数的几何意义是什么？（5分）【答案】导数的几何意义是函数在某点切线的斜率设函数y=fx在点x0,fx0处的切线斜率为k，则k=fx

02.简述定积分的几何意义是什么？（5分）【答案】定积分的几何意义是曲线y=fx在区间[a,b]上与x轴所围成的曲边梯形的面积（若fx≥0）对于fx≤0的情况，表示面积的负值

3.简述级数收敛的必要条件是什么？（5分）【答案】级数∑a_n收敛的必要条件是a_n→0（当n→∞）若a_n不趋于0，则级数必发散

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的单调性和极值（10分）【答案】

（1）求导fx=3x^2-6x=3xx-2

（2）令fx=0得x=0或x=2

（3）单调性当x∈-∞,0时，fx0，函数单调递增当x∈0,2时，fx0，函数单调递减当x∈2,∞时，fx0，函数单调递增

（4）极值f0=2为极大值f2=-2为极小值

（5）端点值f-1=-2，f3=5

（6）结论极大值为2，极小值为-2，最大值为5，最小值为-

22.分析级数∑n=1to∞-1^n+1/n^p的收敛性（p0为常数）（10分）【答案】

（1）绝对值级数∑|-1^n+1/n^p|=∑1/n^p

（2）当p1时，1/n^p收敛（p-级数），原级数绝对收敛

（3）当0p≤1时，1/n^p发散，但原级数为交错级数

（4）检验交错级数条件

①|a_n|=1/n^p单调递减（对p0成立）

②limn→∞1/n^p=0

（5）当0p≤1时，原级数条件收敛

（6）当p≤0时，1/n^p发散，原级数发散

（7）结论p1时绝对收敛，0p≤1时条件收敛，p≤0时发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-ax^2+bx在x=1和x=2处有水平切线，求a、b的值，并求函数在区间[0,3]上的最大值和最小值（25分）【答案】

（1）求导fx=3x^2-2ax+b

（2）水平切线条件f1=0且f2=0

①f1=3-2a+b=0

②f2=12-4a+b=0

（3）联立方程3-2a+b=012-4a+b=0解得a=3，b=-3

（4）函数fx=x^3-3x^2-3x

（5）求导fx=3x^2-6x-3=3x^2-2x-1

（6）令fx=0得x=1±√2

（7）端点值f0=0，f3=3

（8）驻点值f1+√2=1+√2^3-31+√2^2-31+√2f1-√2=1-√2^3-31-√2^2-31-√2

（9）计算f1+√2=-4-6√2，f1-√2=-4+6√2

（10）比较最大值为3，最小值为-4-6√

22.已知曲线y=lnx+1在点0,0处的切线与曲线y=x^2相交于另一点P，求点P的坐标（25分）【答案】

（1）求切线y=lnx+1在x=0处导数为1，切线方程为y=x

（2）求交点联立方程组y=xy=x^2

（3）代入得x^2=x，解得x=0或x=1

（4）x=0对应点0,0，x=1对应点1,1

（5）另一点P为1,1

（6）验证曲线y=lnx+1与y=x^2在1,1处相切，符合题意

（7）结论点P坐标为1,1---标准答案页

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.C

5.B

6.A

7.A

8.A

9.A

10.C

二、多选题

1.A、C、D

2.A、C

3.B、C、D

4.B、C、D

5.A、B、C、D

三、填空题

1.

02.

43.

34.-cosx+sinx+C

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。