揭阳专升本近年数学试题及答案

揭阳专升本近年数学试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.函数fx=x³-3x+2在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.8B.6C.2D.-2【答案】A【解析】fx=3x²-3，令fx=0得x=±1，f-2=-4，f-1=4，f1=0，f2=6，最大值为

82.极限limx→0sinx/x等于（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】利用基本极限limx→0sinx/x=

13.抛物线y=x²的焦点坐标是（）（2分）A.0,1/4B.1/4,0C.0,1/2D.1/2,0【答案】A【解析】标准抛物线y=x²的焦点为0,1/

44.在等差数列{aₙ}中，若a₁=3，a₅=9，则公差d等于（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】a₅=a₁+4d，9=3+4d，解得d=

25.矩阵A=[12;34]的行列式|A|等于（）（2分）A.-2B.-1C.2D.1【答案】A【解析】|A|=1×4-2×3=-

26.函数y=log₂x+1的定义域是（）（2分）A.-∞,-1B.-1,+∞C.[-1,+∞D.-∞,+∞【答案】C【解析】x+10，得x-

17.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，则角C等于（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，C=180°-30°-60°=90°

8.抛掷一枚均匀的骰子，出现点数为偶数的概率是（）（2分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6【答案】A【解析】偶数有3个2,4,6，总情况6个，概率3/6=1/

29.不等式|x-1|2的解集是（）（2分）A.-1,3B.-1,2C.1,3D.-1,1【答案】C【解析】-2x-12，得-1x

310.设向量u=1,2，v=2,-1，则u·v等于（）（2分）A.0B.3C.4D.5【答案】D【解析】u·v=1×2+2×-1=5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题正确的有（）（4分）A.零向量与任何向量平行B.若|a|=|b|，则a=±bC.直线y=kx+b的斜率是kD.若A²=A，则A是单位矩阵E.函数y=sinx是周期函数【答案】A、C、E【解析】A.零向量与任何向量平行，正确；B.|a|=|b|只说明模相等，方向不一定相同，错误；C.直线y=kx+b的斜率是k，正确；D.A²=A可以说明A是单位矩阵或零矩阵，错误；E.函数y=sinx是周期函数，周期为2π，正确

2.以下函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x²B.y=2³ˣC.y=log₁/₂xD.y=eˣE.y=sinx【答案】B、D【解析】A.y=x²在0,+∞上单调递增，正确；B.y=2³ˣ是指数函数，在0,+∞上单调递增，正确；C.y=log₁/₂x是底数小于1的对数函数，在0,+∞上单调递减，错误；D.y=eˣ是指数函数，在0,+∞上单调递增，正确；E.y=sinx是周期函数，非单调，错误

3.在空间几何中，下列说法正确的有（）（4分）A.三个平面可以确定一个点B.异面直线是指不相交也不平行的两条直线C.正方体的对角线互相垂直D.直线与平面平行的充要条件是直线与平面内无数条直线平行E.球面上两点间的最短距离是球大圆上这两点间劣弧的长度【答案】B、E【解析】A.三个平面可以平行、相交或重合，不确定一个点，错误；B.异面直线是指不相交也不平行的两条直线，正确；C.正方体的对角线不一定垂直，错误；D.直线与平面平行的充要条件是直线与平面内任意一条直线平行，错误；E.球面上两点间的最短距离是球大圆上这两点间劣弧的长度，正确

4.关于数列的说法正确的有（）（4分）A.等差数列的通项公式是aₙ=a₁+n-1dB.等比数列的前n项和公式为Sₙ=a₁1-qⁿ/1-qq≠1C.数列{aₙ}单调递增的充分条件是aₙ+₁aₙD.数列{aₙ}有极限L的充要条件是数列的任意子列都收敛于LE.数列{aₙ}是等差数列的充要条件是存在常数d使得aₙ=a₁+nd【答案】A、B、D、E【解析】A.等差数列的通项公式是aₙ=a₁+n-1d，正确；B.等比数列的前n项和公式为Sₙ=a₁1-qⁿ/1-qq≠1，正确；C.数列{aₙ}单调递增的充分条件是aₙ+₁≥aₙ，严格递增要求aₙ+₁aₙ，错误；D.数列{aₙ}有极限L的充要条件是数列的任意子列都收敛于L，正确；E.数列{aₙ}是等差数列的充要条件是存在常数d使得aₙ=a₁+nd，正确

5.下列命题正确的有（）（4分）A.偶函数的图像关于y轴对称B.若fx是奇函数，则f-x=-fxC.直线y=ax+b与y轴相交于点0,bD.若A是可逆矩阵，则|A|≠0E.函数y=arctanx是奇函数【答案】A、B、C、D、E【解析】A.偶函数f-x=fx，图像关于y轴对称，正确；B.奇函数f-x=-fx，正确；C.直线y=ax+b与y轴相交于点0,b，正确；D.可逆矩阵的行列式不为0，正确；E.函数y=arctanx满足f-x=-fx，是奇函数，正确

三、填空题（每题4分，共16分）

1.在等比数列{aₙ}中，若a₃=4，a₅=16，则公比q=______（4分）【答案】2【解析】a₅=a₃q²，16=4q²，解得q=

22.抛物线y=2x²的焦点坐标是______（4分）【答案】0,1/8【解析】标准抛物线y=2x²的焦点为0,1/4×2=0,1/

83.函数y=√x-1的定义域是______（4分）【答案】[1,+∞【解析】x-1≥0，得x≥

14.在△ABC中，若边a=3，边b=4，角C=60°，则边c=______（4分）【答案】5【解析】由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=3²+4²-2×3×4×cos60°=25-12=13，c=√13

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】f0=-f0，得f0=0，但fx=x³不是奇函数时f0≠0，所以命题错误

2.不等式3x-57的解集是2,+∞（）（2分）【答案】（√）【解析】3x12，x4，解集4,+∞，题目中2,+∞不正确

3.若向量u与v垂直，则u·v=0（）（2分）【答案】（√）【解析】向量内积u·v=|u||v|cosθ，若u⊥v则θ=90°，cosθ=0，得u·v=

04.函数y=cosx是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】函数y=cosx的周期为2π，是周期函数

5.直线y=kx与抛物线y=x²相切（）（2分）【答案】（√）【解析】联立方程组得x²-kx=0，判别式Δ=k²-4×1×0=0，k=0或k=±2√2时相切

五、简答题（每题4分，共12分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值（4分）【答案】3【解析】分段函数fx=-3-x,x-2-1+x,-2≤x≤1-3+x,x1在x=-2时取最小值

32.求矩阵A=[12;34]的特征值（4分）【答案】5,-1【解析】解方程|A-λI|=0，即|[1-λ2;34-λ]|=1-λ4-λ-6=λ²-5λ=λλ-5=0，得λ₁=5,λ₂=-

13.求数列{aₙ}=3n-2的前n项和Sₙ（4分）【答案】Sₙ=n3n-1/2【解析】{aₙ}是等差数列，a₁=1,d=3，Sₙ=n/2[2a₁+n-1d]=n/2[2×1+n-1×3]=n3n-1/2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.证明函数fx=x³-3x在区间[-2,2]上存在唯一的零点（10分）【证明】f-2=-100，f0=0，f2=20，由介值定理存在零点fx=3x²-3，fx=0得x=±1，f-1=20，f1=-20，fx在-1,1内严格减，故唯一零点在-1,1内

2.证明若向量u与v垂直，则|u+v|²=|u|²+|v|²（10分）【证明】|u+v|²=u+v·u+v=u·u+2u·v+v·v=|u|²+2u·v+|v|²因u⊥v，u·v=0，故|u+v|²=|u|²+|v|²

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品利润10元，每件B产品利润8元生产每件A产品需消耗原料3kg，生产每件B产品需消耗原料2kg工厂每天最多可消耗原料100kg设每天生产A产品x件，B产品y件

（1）写出利润函数Px,y的表达式（6分）

（2）写出约束条件的不等式组（6分）

（3）若工厂要求每天至少获得80元利润，求x、y的取值范围（13分）【解】

（1）Px,y=10x+8y（6分）

（2）约束条件3x+2y≤100,x≥0,y≥0（6分）

（3）10x+8y≥80⇒5x+4y≥40，联立得-x≥0-y≥0-3x+2y≤100-5x+4y≥40解得x≥0,y≥0,x≤40,y≥40-5x/4取整解为x=0时y≥10，x=1时y≥

8.75，...

2.在直角坐标系中，已知点A1,2，点B3,0动点P在抛物线y=x²上运动

（1）求|PA|²的最小值（10分）

（2）求|PA|+|PB|的最小值（15分）【解】

（1）|PA|²=x-1²+x²-2²=x⁴-4x³+9x²-4x+5令fx=x⁴-4x³+9x²-4x+5，fx=4x³-12x²+18x-4=0，得x=1时取得最小值f1=2（10分）

（2）设Px,x²，|PA|+|PB|=√[x-1²+x²-2²]+√[x-3²+x⁴]令gx=√[x⁴-4x³+9x²-4x+5]+√[x⁴-6x³+18x²-12x+13]，求导得gx=0，得x=1时取得最小值4（15分）---答案结束---。