数分005考题及精准答案

数分005考题及精准答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列函数中，在x→0时极限存在的是（）A.fx=1/x^2B.fx=sin1/xC.fx=e^xD.fx=ln|x|【答案】C【解析】fx=e^x在x→0时极限存在且为

12.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）A.-8B.8C.2D.-2【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为

83.级数∑n=1to∞1/n^2收敛性为（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不确定【答案】C【解析】由p级数判别法，p=21，级数绝对收敛

4.函数fx=arctanx在x=0处的泰勒展开式中x^3项的系数为（）A.1/3B.-1/3C.0D.1【答案】C【解析】fx=1/1+x^2，fx=-2x/1+x^2^2，fx=-2+6x^2/1+x^2^3，f0=

05.曲线y=x^2sin1/xx≠0和y=0在x=0处的关系是（）A.不连续B.可导C.不光滑D.连续但不可导【答案】D【解析】y在x=0处连续，但导数y在x=0处不存在

6.函数fx=|x|在x=0处的导数是（）A.1B.-1C.0D.不存在【答案】D【解析】左导数-1，右导数1，导数不存在

7.积分∫from0to1x^2dx的值是（）A.1/3B.1/4C.1/2D.1【答案】A【解析】∫from0to1x^2dx=x^3/3|from0to1=1/

38.下列函数中，在-∞,+∞上单调递增的是（）A.fx=-x^2B.fx=e^xC.fx=lnxD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=e^x0，故单调递增

9.极限limx→∞x-sinx/x的值是（）A.0B.1/2C.1D.不存在【答案】C【解析】limx→∞x-sinx/x=limx→∞x1-sinx/x=limx→∞xlimx→∞1-sinx/x=∞1=

110.级数∑n=1to∞-1^n/n收敛性为（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不确定【答案】B【解析】交错级数，满足莱布尼茨判别法，条件收敛

二、多选题（每题2分，共10分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）A.fx=x^3B.fx=|x|C.fx=sinxD.fx=e^x【答案】A、C、D【解析】f0=0，f0=1，f0=1，f0=

12.级数∑n=1to∞1/n发散性为（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不确定【答案】C【解析】调和级数发散

3.下列函数中，在-∞,+∞上连续的是（）A.fx=1/xB.fx=sinxC.fx=e^xD.fx=lnx【答案】B、C【解析】sinx和e^x在整个实数域连续

4.下列极限存在的是（）A.limx→01/xB.limx→0sinx/xC.limx→∞1/xD.limx→0e^x【答案】B、C、D【解析】sinx/x在x→0时极限为1，1/x在x→∞时极限为0，e^x在x→0时极限为

15.函数fx=x^2在区间[1,2]上的积分值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】∫from1to2x^2dx=x^3/3|from1to2=8/3-1/3=7/3，但选项中没有正确答案，可能是题目有误

三、填空题（每题2分，共10分）

1.函数fx=x^3-3x在x=1处的导数为______【答案】0【解析】fx=3x^2-3，f1=3-3=

02.级数∑n=1to∞1/nn+1的和为______【答案】1【解析】1/nn+1=1/n-1/n+1，级数望远镜求和为

13.函数fx=e^x在x=0处的泰勒展开式中x^2项的系数为______【答案】1【解析】e^x的泰勒展开式为1+x+x^2/2!+x^3/3!+...，x^2项系数为1/

24.积分∫from0toπsinxdx的值是______【答案】2【解析】∫from0toπsinxdx=-cosx|from0toπ=-cosπ+cos0=

25.函数fx=x^2在x=0处的左导数和右导数分别为______和______【答案】-0，0【解析】左导数limh→0-0+h^2-0/h=limh→0-h=0，右导数limh→0+0+h^2-0/h=limh→0+h=0

四、判断题（每题1分，共5分）

1.函数fx=x^2在x=0处可导（）【答案】（√）

2.级数∑n=1to∞-1^n/n^2绝对收敛（）【答案】（√）【解析】由p级数判别法，p=21，级数绝对收敛

3.函数fx=|x|在x=0处连续但不可导（）【答案】（√）

4.积分∫from-1to1x^3dx的值是0（）【答案】（√）【解析】奇函数在对称区间上的积分为

05.极限limx→01/x^2不存在（）【答案】（√）【解析】极限趋于无穷大，不存在有限极限

五、简答题（每题2分，共10分）

1.简述函数在某点处连续的定义【答案】函数fx在x=x0处连续，当且仅当limx→x0fx=fx

02.简述交错级数收敛的莱布尼茨判别法【答案】若{un}单调递减且limn→∞un=0，则级数∑-1^nun收敛

3.简述函数在某点处可导的定义【答案】函数fx在x=x0处可导，当且仅当极限limh→0[fx0+h-fx0]/h存在

4.简述定积分的几何意义【答案】定积分表示曲线与x轴及积分区间围成的面积

5.简述级数绝对收敛的定义【答案】若级数∑|un|收敛，则级数∑un绝对收敛

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性和极值【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-8，f-1=2，f1=-2，f2=8，在-2,-1和1,2上单调递增，在-1,1上单调递减，极大值2，极小值-

22.分析级数∑n=1to∞1/n^p的收敛性【答案】当p1时，级数绝对收敛；当0p≤1时，级数条件收敛；当p≤0时，级数发散

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.计算定积分∫from0toπ/2sin^2xdx【答案】∫from0toπ/2sin^2xdx=∫from0toπ/21-cos2x/2dx=π/4-1/2sin2x/2|from0toπ/2=π/4-0=π/

42.某物体做直线运动，速度函数为vt=3t^2-6t+2，求该物体从t=0到t=3的位移【答案】位移s=∫from0to33t^2-6t+2dt=t^3-3t^2+2t|from0to3=27-27+6=6---标准答案---

一、单选题

1.C

2.B

3.C

4.C

5.D

6.D

7.A

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.C

3.B、C

4.B、C、D

5.B

三、填空题

1.

02.

13.1/

24.

25.0，0

四、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.略

2.略

3.略

4.略

5.略

六、分析题

1.略

2.略

七、综合应用题

1.π/

42.6。