数分考研高频试题及参考答案

数分考研高频试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列极限中，正确的是（）（2分）A.limx→0sin1/x=1B.limx→∞x+1/x=0C.limx→0x^2sin1/x=0D.limx→1x^2-1/x-1=1【答案】C【解析】利用极限的保号性和无穷小量的性质，选项C正确

2.函数fx=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值是（）（2分）A.2B.8C.-2D.6【答案】B【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-2，f-1=2，f1=-2，f2=8，最大值为

83.函数y=lnx^2+1的导数是（）（2分）A.2x/x^2+1B.1/x^2+1C.2xD.x/x^2+1【答案】A【解析】利用链式法则求导

4.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞1/n^4【答案】B【解析】p-级数收敛性，p1时收敛

5.函数y=e^x在点0,1处的切线方程是（）（2分）A.y=xB.y=e^xC.y=x+1D.y=x-1【答案】A【解析】y=e^x，在x=0时y=1，切线方程为y-1=1x-

06.下列积分中，正确的是（）（2分）A.∫from0to1x^2dx=1/3B.∫from0to1x^3dx=1/4C.∫from0to1x^4dx=1/5D.∫from0to1x^5dx=1/6【答案】A【解析】计算不定积分再代入上下限

7.函数y=arcsinx的导数是（）（2分）A.1/√1-x^2B.-1/√1-x^2C.x/√1-x^2D.-x/√1-x^2【答案】A【解析】反三角函数求导公式

8.下列级数中，绝对收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞-1^n/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n^4【答案】B【解析】绝对收敛判别法，∑n=1to∞|-1^n/n^2|=∑n=1to∞1/n^2收敛

9.函数y=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的拐点是（）（2分）A.-1,4B.1,0C.2,-2D.3,2【答案】B【解析】y=6x-6，令y=0得x=1，代入y得拐点1,

010.下列函数中，在区间0,1上连续不可导的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=x^3D.fx=sinx【答案】B【解析】绝对值函数在x=0处不可导

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数fx在点x0处可导的必要条件？（）A.fx在x0处连续B.fx在x0处左极限存在C.fx在x0处右极限存在D.fx在x0处导数存在E.fx在x0的邻域内有定义【答案】A、D【解析】函数在点x0处可导⇒连续，导数存在⇒左右极限存在

2.以下哪些级数收敛？（）A.∑n=1to∞-1^n/nB.∑n=1to∞-1^n/n^2C.∑n=1to∞1/n^3D.∑n=1to∞-1^n/n^4E.∑n=1to∞1/n【答案】B、C、D【解析】p-级数和交错级数收敛性

3.以下哪些函数在区间-∞,∞上连续？（）A.fx=e^xB.fx=sinxC.fx=cosxD.fx=tanxE.fx=arctanx【答案】A、B、C、E【解析】指数函数、正弦函数、余弦函数和反正切函数在整个实数域上连续

4.以下哪些是函数fx在点x0处可微分的充分条件？（）A.fx在x0处连续B.fx在x0处可导C.fx在x0处左导数存在D.fx在x0处右导数存在E.fx在x0的邻域内有定义【答案】B【解析】可微分⇒可导，可导⇒连续

5.以下哪些是函数fx在点x0处取得极值的必要条件？（）A.fx在x0处连续B.fx在x0处可导C.fx在x0处左导数存在D.fx在x0处右导数存在E.fx在x0处导数为0或导数不存在【答案】A、E【解析】极值点处函数必连续，导数为0或导数不存在

三、填空题（每题4分，共16分）

1.limx→0sinx/x=______（4分）【答案】1【解析】重要极限公式

2.函数fx=x^2-4x+5的导数fx=______（4分）【答案】2x-4【解析】多项式函数求导

3.级数∑n=1to∞1/2^n的和为______（4分）【答案】1/2【解析】等比级数求和公式

4.函数y=x^3-3x在x=1处的二阶导数y1=______（4分）【答案】0【解析】求二阶导数再代入x=1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在点x0处可导，则fx在x0处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑n=1to∞a_n收敛，则级数∑n=1to∞|a_n|也收敛（）（2分）【答案】（×）【解析】绝对收敛与条件收敛区别

3.若函数fx在区间I上单调递增，则fx≥0对所有x∈I成立（）（2分）【答案】（√）【解析】单调性与导数关系

4.若函数fx在点x0处取得极值，且fx在x0处可导，则fx0=0（）（2分）【答案】（√）【解析】极值点处导数为

05.若函数fx在区间I上连续，则fx在区间I上必有界（）（2分）【答案】（×）【解析】连续不一定有界，如fx=1/x在0,1上连续但无界

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述函数fx在点x0处可导的定义（4分）【答案】函数fx在点x0处可导是指极限limh→0[fx0+h-fx0]/h存在即函数在该点的瞬时变化率存在

2.简述交错级数收敛的莱布尼茨判别法（4分）【答案】若交错级数∑n=1to∞-1^na_n满足

（1）a_n≥0；

（2）a_n单调递减；

（3）limn→∞a_n=0，则级数收敛

3.简述函数fx在点x0处取得极值的必要条件（4分）【答案】函数fx在点x0处取得极值需要满足

（1）fx在x0处连续；

（2）若fx在x0处可导，则fx0=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在区间[0,1]上连续，且满足f0=f1，证明存在x0∈0,1，使得fx0=fx0+1/2（10分）【答案】证明构造函数gx=fx-fx+1/2，x∈[0,1/2]则gx在[0,1/2]上连续考虑g0和g1/2g0=f0-f1/2，g1/2=f1/2-f1=f1/2-f0若g0=0，则x0=0满足条件；若g1/2=0，则x0=1/2满足条件；若g0≠0且g1/2≠0，则g0和g1/2异号由连续函数介值定理，存在x0∈0,1/2使得gx0=0，即fx0=fx0+1/

22.设函数fx在区间I上连续，且fx在I上不恒为常数，证明fx在I上必有最大值或最小值（10分）【答案】证明若fx在I上不恒为常数，则存在x1,x2∈I，x1≠x2，使得fx1≠fx2不妨设fx1≠fx2且fx1fx2由闭区间上连续函数性质，fx在闭区间[α,β]（α≤x1x2≤β⊆I）上连续由Weierstrass极值定理，fx在[α,β]上必有最大值M和最小值m若I是闭区间，则M和m就是fx在I上的最大值和最小值；若I是开区间，则M和m是fx在I上的上界和下界，必有x0∈I使得fx0=M或fx0=m，即fx在I上必有最大值或最小值

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx在区间[-2,3]上的最大值、最小值，并求曲线y=fx的拐点（25分）【答案】求导fx=3x^2-6x=3xx-2令fx=0得x=0,2f-2=-2，f0=2，f2=-2，f3=2最大值为2，最小值为-2求二阶导fx=6x-6令fx=0得x=1f1=0拐点为1,

02.计算定积分∫from-1to1|x|dx，并画出积分区域图形（25分）【答案】∫from-1to1|x|dx=∫from-1to0-xdx+∫from0to1xdx=[-x^2/2]-1to0+[x^2/2]0to1=1/2+1/2=1积分区域为x轴上从-1到1的绝对值函数图像，即两段直线，在-1,0上斜率为-1，在0,1上斜率为1，围成的三角形面积为1---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、D

2.B、C、D

3.A、B、C、E

4.B

5.A、E

三、填空题

1.

12.2x-

43.1/

24.0

四、判断题

1.（√）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.见解析

2.见解析

3.见解析

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.见解析

2.见解析。