数学保送选拔竞赛的试题及答案剖析

数学保送选拔竞赛的试题及答案剖析

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x²-3x+2=0},B={x|x²+x-6=0},则集合A与B的关系是（）（2分）A.A⊂BB.A⊇BC.A=BD.A∩B=∅【答案】C【解析】解方程得A={1,2},B={-3,2},故A=B

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（2分）A.0B.1C.3D.4【答案】C【解析】分段函数分析fx=3（x=-2时取最小值）

3.若复数z满足|z|=1且argz=π/3，则z的代数形式为（）（2分）A.1/2+√3/2iB.-1/2-√3/2iC.1/2-√3/2iD.-1/2+√3/2i【答案】A【解析】由三角形式化得z=cosπ/3+isinπ/

34.一个四面体的四个顶点分别位于空间中的四个正方形面上，且每个正方形面的边长为1，则四面体的表面积为（）（2分）A.√2B.2√2C.2D.4【答案】B【解析】计算三个侧面面积之和，每个侧面为直角三角形

5.已知数列{a_n}满足a_1=1,a_{n+1}=2a_n+1，则a_5的值为（）（2分）A.31B.63C.127D.255【答案】C【解析】累加法求解a_n=2^n-1,a_5=

1276.执行以下程序段后，变量x的值为（）（2分）x=5;y=10;whilexy:x=x+2;y=y-1;【答案】7【解析】循环3次x=9,y=8后终止

7.在△ABC中，若sinA=√3/2,cosB=1/2,则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2【答案】C【解析】由A+B=π/3,cosC=-cosA+B=-1/

28.抛物线y²=4x的焦点到准线的距离是（）（2分）A.1B.2C.4D.8【答案】A【解析】p=2,焦准距=2p=4,但题目问的是距离值

19.若函数fx=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M和m，则M+m的值为（）（2分）A.0B.2C.4D.8【答案】B【解析】f-1=0,f-1=0,M=f2=5,m=f-2=-

510.在等差数列{a_n}中，若S₁₀=100,S₂₀=380，则a₁+a₂₀的值为（）（2分）A.20B.30C.40D.50【答案】D【解析】由S₁₀=5a₁+a₁₀=100,S₂₀=10a₁+a₂₀=380得a₁+a₂₀=50

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中正确的有（）（4分）A.若|z₁|=|z₂|，则z₁=z₂B.函数y=cos|x|是奇函数C.直线y=kx+b恒过定点0,bD.椭圆x²/a²+y²/b²=1的离心率e1【答案】C、D【解析】A错z₁=±z₂；B错非奇非偶函数；C对；D对0e²=a²-b²/a²

12.关于双曲线x²/a²-y²/b²=1，下列说法正确的有（）（4分）A.离心率e1B.渐近线方程为y=±b/axC.准线方程为x=±a²/bD.焦距为2c=2√a²+b²【答案】A、B【解析】C错x=±a²/e；D错2c=2√a²+b²

3.执行以下伪代码后，变量sum的值为（）（4分）sum=0;fori=1to100:sum=sum+ii;【答案】A、C【解析】求1~100平方和，sum=

3383504.以下不等式正确的有（）（4分）A.log₂3log₃4B.1/2^

0.51/3^

0.5C.arcsin1/2=π/6D.tanπ/4=1【答案】A、D【解析】A对log₂3≈

1.584log₃4≈

1.261；B错指数函数性质

5.已知函数fx是定义在R上的奇函数，且fx+2=fx，则下列说法正确的有（）（4分）A.f0=0B.fx是周期函数C.fx图像关于原点对称D.fx图像关于x=1对称【答案】A、B、C【解析】奇函数性质及周期性定义，D错非对称

三、填空题（每题4分，共32分）

1.方程组:3x+2y=72x-y=4的解为______（x,y）【答案】2,

12.在△ABC中，若a=3,b=4,C=60°，则c=______【答案】

53.函数fx=√x-1的定义域为______【答案】[1,+∞

4.若tanα=2，则tanα+β=3且tanβ=______【答案】-1/

75.数列{a_n}满足a₁=2,a_{n+1}=a_n+3n，则通项公式a_n=______【答案】n²+n+

16.抛物线y²=8x的准线方程为______【答案】x=-

27.执行以下程序段后，变量count的值为______count=0;fori=1to5:ifi%2==0:count=count+1;【答案】

28.在空间直角坐标系中，点1,2,3关于平面x+y+z=1的对称点为______【答案】-1,-1,-1

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a²b²（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2,b=-1,ab但a²b²

2.任意一个n边形的外角和为360°（）（2分）【答案】（√）【解析】多边形外角和定理

3.若函数fx在区间a,b上单调递增，则fx在该区间上存在反函数（）（2分）【答案】（×）【解析】需满足fx严格单调

4.若复数z满足|z|=1，则z的平方一定是实数（）（2分）【答案】（√）【解析】z²=|z|²=

15.对任意实数x，都有sinx+π/2=cosx（）（2分）【答案】（√）【解析】三角函数相位平移

五、简答题（每题4分，共20分）

1.证明对任意正整数n，都有1³+2³+...+n³=1+2+...+n²【解析】数学归纳法证明

（1）n=1时成立；

（2）假设n=k时成立，则k+1³=1³+2³+...+k³+k+1³，右端=1+2+...+k+k+1²，展开验证等式成立

2.解方程|x-1|+|x+2|=5【解析】分段讨论

（1）x-2时-x+1-x-2=5→x=-3；

（2）-2≤x≤1时x-1-x-2=5→无解；

（3）x1时x-1+x+2=5→x=2解集为{-3,2}

3.已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，求圆心坐标和半径【解析】配方法x-2²+y+3²=16，圆心2,-3，半径

44.计算极限limx→0sinx/x【解析】利用基本极限公式limx→0sinx/x=

15.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-3n，求通项公式a_n【解析】a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5n≥2，验证n=1时a₁=S₁=-1成立，故a_n=4n-5

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x²+2x在区间[-2,4]上的单调区间和最值【解析】

（1）求导fx=3x²-6x+2=0得x=1±√3/3，

（2）单调增区间-∞,1-√3/3∪1+√3/3,+；单调减区间1-√3/3,1+√3/3；

（3）最值f-2=-10,f1-√3/3=4-2√3,f1+√3/3=4+2√3,f4=18,最大值18，最小值-

102.已知A1,2,B3,0,C2,-1，求△ABC的重心坐标和面积【解析】

（1）重心Gx₁+x₂+x₃/3,y₁+y₂+y₃/3=2,1/3；

（2）面积底边BC长度√5,高h=|10+3-1+22-2|/√5=√5/5,面积S=1/2√5√5/5=1/2

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=|x-a|+|x-1|，其中a为实数

（1）当a=0时，求fx的最小值及此时函数的图像特点；

（2）讨论a取不同值时，fx的最小值与函数图像的变化规律【解析】

（1）a=0时，fx=|x|+|x-1|x0时-x-x+1=-2x+1；0≤x≤1时x-x+1=1；x1时x+x-1=2x-1最小值1，图像由两段直线组成，交点1,1

（2）a≠0时

①a0时，fx=|x-a|+|x-1|≥|a+1|,最小值|a+1|；

②a=1时，fx=2|x-1|,最小值0；

③a1时，fx=|x-a|+|x-1|≥|a-1|,最小值|a-1|图像变化a1时图像V形，a1时图像W形

2.某校组织数学竞赛，共有100名参赛选手根据比赛规则

（1）每名选手必须答对全部选择题才能获得笔试资格；

（2）笔试及格线为答对至少60%的题目（含）以上；

（3）若笔试及格，则需参加面试，面试及格线为答对至少80%的题目（含）以上已知-有70%的选手答对所有选择题；-有40%的选手笔试及格；-有25%的选手面试及格问

（1）有多少选手笔试及格但面试不及格？

（2）有多少选手选择题未答对？

（3）有多少选手至少通过笔试或面试？【解析】

（1）设x为笔试及格且面试不及格人数，100=70+40+25-x,x=35，答35人

（2）选择题未答对人数=100-70=30人

（3）至少通过笔试或面试人数=100-（30+35）=35人

八、完整标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.A

4.B

5.C

6.

77.C

8.A

9.B

10.D

二、多选题

1.C、D

2.A、B

3.A、C

4.A、D

5.A、B、C

三、填空题

1.2,

12.

53.[1,+∞

4.-1/

75.n²+n+

16.x=-

27.

28.-1,-1,-1

四、判断题

1.×

2.√

3.×

4.√

5.√

五、简答题

1.见解析

2.{-3,2}

3.2,-3,

44.

15.a_n=4n-5

六、分析题

1.见解析

2.重心2,1/3,面积1/2

七、综合应用题

1.见解析

2.35人；30人；35人。