数学创新思维竞赛试题与答案公布

数学创新思维竞赛试题与答案公布

一、单选题

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）（1分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.已知函数fx=ax^2+bx+c，若f1=3，f-1=5，则b的值为（）（2分）A.1B.-1C.2D.-2【答案】C【解析】f1=a+b+c=3，f-1=a-b+c=5，两式相减得2b=-2，所以b=-

13.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离为√2/2，则a^2+b^2的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】点P到直线x+y=1的距离公式为|a+b-1|/√2=√2/2，解得|a+b-1|=1，所以a+b=0或2当a+b=0时，a^2+b^2=a+b^2=0；当a+b=2时，a^2+b^2=a+b^2-2ab=4-2ab，由于ab=-1，所以a^2+b^2=4-2-1=6所以a^2+b^2的值为

14.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.1/2D.1或1/2【答案】D【解析】A={1,2}，若B=∅，则a=0；若B≠∅，则a=1或a=1/

25.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且cosC=1/2，则sinA的值为（）（2分）A.√3/2B.1/2C.√3/3D.1/4【答案】A【解析】由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入cosC=1/2得c^2=a^2+b^2-ab，又a^2+b^2=c^2，所以ab=0，即a=0或b=0，这与三角形的三边关系矛盾，所以cosC=1/2不可能成立

6.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.3B.1C.0D.2【答案】D【解析】fx=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点之间的距离，即

37.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_3=4，则a_5的值为（）（2分）A.8B.16C.32D.64【答案】B【解析】由等比数列的性质得a_3^2=a_1a_5，所以a_5=a_3^2/a_1=

168.某校高一年级有1000名学生，为了解学生的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，下列说法正确的是（）（2分）A.1000名学生是总体B.100名学生是样本C.每名学生是样本容量D.样本容量是100【答案】D【解析】样本容量是指样本中包含的个体数量，这里是

1009.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值为（）（2分）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】z^2=-2i，代入方程得-2i+az+b=0，即a+b-2i=0，所以a+b=

210.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosA的值为（）（2分）A.3/5B.4/5C.1/2D.√3/2【答案】A【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=16k^2+25k^2-9k^2/24k5k=32k^2/40k^2=4/5

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数是奇函数？（）A.fx=x^3B.fx=sinxC.fx=x^2+1D.fx=|x|E.fx=tanx【答案】A、B、E【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以A、B、E是奇函数

2.以下命题中正确的是？（）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个集合的交集是唯一确定的D.两个集合的并集是唯一确定的E.若A⊆B，则B⊆A【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集，两个集合的交集和并集是唯一确定的，若A⊆B，则B⊇A

3.以下不等式成立的是？（）A.1/2√2/3B.2^100100^10C.log_35log_59D.2^-13^-1E.0sin45°cos45°【答案】B、C【解析】2^100100^10可以转化为2^10^1010^2^10，即1024^10100^10，这是成立的log_35log_59可以转化为3^log_355^log_59，即59，这是不成立的所以B是正确的

4.以下数列中是等差数列的是？（）A.a_n=n^2B.a_n=2n-1C.a_n=3n+1D.a_n=5^nE.a_n=0【答案】B、C、E【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，所以B、C、E是等差数列

5.以下命题中正确的是？（）A.两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方B.两个全等三角形的周长比等于它们的相似比C.两个相交的直线一定有交点D.两个平行的直线一定没有交点E.两个垂直的直线一定有交点【答案】A、B、D【解析】两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，两个全等三角形的周长比等于它们的相似比，两个平行的直线一定没有交点

三、填空题

1.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，则cosB的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9k^2+25k^2-16k^2/23k5k=18k^2/30k^2=3/

52.函数fx=x^3-3x+1的极值点为______和______（4分）【答案】1，-1【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x^2=1，所以x=±

13.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则a_10的值为______（4分）【答案】18【解析】由等差数列的性质得a_5=a_1+4d，所以d=a_5-a_1/4=8/4=2，所以a_10=a_1+9d=2+18=

204.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离为√2/2，则a^2+b^2的值为______（4分）【答案】1【解析】点P到直线x+y=1的距离公式为|a+b-1|/√2=√2/2，解得|a+b-1|=1，所以a+b=0或2当a+b=0时，a^2+b^2=a+b^2=0；当a+b=2时，a^2+b^2=a+b^2-2ab=4-2ab，由于ab=-1，所以a^2+b^2=4-2-1=6所以a^2+b^2的值为

15.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2=c^2，且cosC=1/2，则sinA的值为______（4分）【答案】√3/2【解析】由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入cosC=1/2得c^2=a^2+b^2-ab，又a^2+b^2=c^2，所以ab=0，即a=0或b=0，这与三角形的三边关系矛盾，所以cosC=1/2不可能成立

四、判断题

1.两个负数相加，和一定比其中一个数大（）（2分）【答案】（×）【解析】如-5+-3=-8，和比两个数都小

2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如-1-2，但-1^2-2^

23.两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方（）（2分）【答案】（√）【解析】这是相似三角形的性质

4.两个全等三角形的周长比等于它们的相似比（）（2分）【答案】（√）【解析】这是全等三角形的性质

5.两个垂直的直线一定有交点（）（2分）【答案】（√）【解析】垂直的直线一定相交于直角

五、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式（5分）【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差，用d表示等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比，用q表示等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-

12.简述函数奇偶性的定义及其几何意义（5分）【答案】函数奇偶性的定义奇函数满足f-x=-fx，对于定义域内的任意x都成立偶函数满足f-x=fx，对于定义域内的任意x都成立几何意义奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y轴对称

3.简述直角坐标系中两点之间的距离公式及其推导过程（5分）【答案】两点之间的距离公式为d=√[x_2-x_1^2+y_2-y_1^2]推导过程设点Px_1,y_1和点Qx_2,y_2，过P作x轴的垂线交x轴于点M，过Q作x轴的垂线交x轴于点N，过P作y轴的垂线交y轴于点L，过Q作y轴的垂线交y轴于点K，则四边形PMQN是矩形，所以|MN|=|PQ|，|ML|=|QN|，|PK|=|QM|由勾股定理得|PQ|^2=|ML|^2+|PK|^2=x_2-x_1^2+y_2-y_1^2，所以|PQ|=√[x_2-x_1^2+y_2-y_1^2]

六、分析题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的极值点，并分析函数的单调性（10分）【答案】求函数的极值点首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3然后求二阶导数fx=6x-6，代入x=1+√1/3和x=1-√1/3得fx0和fx0，所以x=1+√1/3是极小值点，x=1-√1/3是极大值点分析函数的单调性当x∈-∞,1-√1/3时，fx0，函数单调递增；当x∈1-√1/3,1+√1/3时，fx0，函数单调递减；当x∈1+√1/3,+∞时，fx0，函数单调递增

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值，并分析函数的图像特征（10分）【答案】求函数的最小值首先分析函数的分段表达式当x∈-∞,-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当x∈[-2,1]时，fx=-x-1+x+2=3；当x∈1,+∞时，fx=x-1+x+2=2x+1所以函数的最小值为3分析函数的图像特征函数的图像由三部分组成当x∈-∞,-2时，图像是一条斜率为-2的直线；当x∈[-2,1]时，图像是一条水平线，y=3；当x∈1,+∞时，图像是一条斜率为2的直线图像关于直线x=-1/2对称

七、综合应用题

1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每生产一件产品的可变成本为50元，售价为100元，求该工厂的盈亏平衡点（20分）【答案】设该工厂生产x件产品，则总收入为100x元，总成本为10000+50x元，盈亏平衡点是指总收入等于总成本，即100x=10000+50x，解得x=200，所以盈亏平衡点为200件

2.某学校为了解学生的身高情况，随机抽取了100名学生进行测量，身高数据如下表所示身高分组（cm）140-150150-160160-170170-180180-190频数1020302515求样本的众数、中位数和平均数（25分）【答案】众数众数是频数最多的组，这里是160-170组，众数为165cm中位数中位数是第50和第51个数据的平均数，这里在160-170组，所以中位数为165cm平均数平均数=14010+15020+16030+17025+18015/100=1625cm注意由于题目中没有给出具体的身高数据，所以这里只能根据频数进行估算---完整标准答案

一、单选题

1.A

2.C

3.A

4.D

5.A

6.D

7.B

8.D

10.A

二、多选题

1.A、B、E

2.A、C、D

3.B、C

4.B、C、E

5.A、B、D

三、填空题

1.4/

52.1，-

13.

204.

15.√3/2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数叫做公差，用d表示等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列，这个常数叫做公比，用q表示等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-

12.函数奇偶性的定义奇函数满足f-x=-fx，对于定义域内的任意x都成立偶函数满足f-x=fx，对于定义域内的任意x都成立几何意义奇函数的图像关于原点对称偶函数的图像关于y轴对称

3.两点之间的距离公式为d=√[x_2-x_1^2+y_2-y_1^2]推导过程设点Px_1,y_1和点Qx_2,y_2，过P作x轴的垂线交x轴于点M，过Q作x轴的垂线交x轴于点N，过P作y轴的垂线交y轴于点L，过Q作y轴的垂线交y轴于点K，则四边形PMQN是矩形，所以|MN|=|PQ|，|ML|=|QN|，|PK|=|QM|由勾股定理得|PQ|^2=|ML|^2+|PK|^2=x_2-x_1^2+y_2-y_1^2，所以|PQ|=√[x_2-x_1^2+y_2-y_1^2]

六、分析题

1.求函数的极值点首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0得3x^2-6x+2=0，解得x=1±√1/3然后求二阶导数fx=6x-6，代入x=1+√1/3和x=1-√1/3得fx0和fx0，所以x=1+√1/3是极小值点，x=1-√1/3是极大值点分析函数的单调性当x∈-∞,1-√1/3时，fx0，函数单调递增；当x∈1-√1/3,1+√1/3时，fx0，函数单调递减；当x∈1+√1/3,+∞时，fx0，函数单调递增

2.求函数的最小值首先分析函数的分段表达式当x∈-∞,-2时，fx=-x-1-x+2=-2x-1；当x∈[-2,1]时，fx=-x-1+x+2=3；当x∈1,+∞时，fx=x-1+x+2=2x+1所以函数的最小值为3分析函数的图像特征函数的图像由三部分组成当x∈-∞,-2时，图像是一条斜率为-2的直线；当x∈[-2,1]时，图像是一条水平线，y=3；当x∈1,+∞时，图像是一条斜率为2的直线图像关于直线x=-1/2对称

七、综合应用题

1.设该工厂生产x件产品，则总收入为100x元，总成本为10000+50x元，盈亏平衡点是指总收入等于总成本，即100x=10000+50x，解得x=200，所以盈亏平衡点为200件

2.众数为160-170组，众数为165cm中位数为160-170组，中位数为165cm平均数=14010+15020+16030+17025+18015/100=1625cm。