数学圆复习试题及详细答案解析

数学圆复习试题及详细答案解析

一、单选题

1.圆的方程x-a²+y-b²=r²中，a，b是圆心的坐标，r是半径，则当r=0时，这个圆表示（）（1分）A.一个点B.一个圆C.无意义D.一条直线【答案】A【解析】当半径r=0时，圆的方程变为x-a²+y-b²=0，表示一个点a，b

2.若点Pa，b在圆x²+y²=1上，则a²+b²的值为（）（1分）A.1B.0C.任意实数D.以上都不对【答案】A【解析】根据圆的定义，圆上所有点到圆心的距离为1，即x²+y²=1，所以a²+b²=

13.圆x²+y²-2x+4y-3=0的圆心坐标是（）（2分）A.1，-2B.-1，2C.2，-4D.-2，4【答案】B【解析】将方程配方得x-1²+y+2²=10，所以圆心坐标为1，-

24.已知圆C x²+y²-2x+4y+k=0与x轴相切，则k的值为（）（2分）A.5B.1C.-5D.-1【答案】C【解析】圆与x轴相切，说明圆心到x轴的距离等于半径，即|2|=√1²+2²-k，解得k=-

55.若圆C₁x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂x²+y²+4x-2y+1=0相切，则两圆的切点坐标为（）（2分）A.1，-1B.-1，1C.2，-2D.-2，2【答案】B【解析】两圆相切，切点在两圆连心线上，联立两圆方程得切点坐标为-1，

16.圆x²+y²-2x+4y+k=0关于直线y=x对称的圆的方程是（）（2分）A.x²+y²+2x-4y+k=0B.x²+y²-2x-4y+k=0C.x²+y²-2x+4y-k=0D.x²+y²+2x+4y-k=0【答案】A【解析】圆心1，-2关于y=x对称的点是-2，1，所以对称圆的方程为x+2²+y-1²=r²，展开后为x²+y²+2x-4y+k=

07.已知圆C x²+y²-2x+4y+k=0的面积最小，则k的值为（）（2分）A.5B.1C.-5D.-1【答案】C【解析】圆的面积为πr²，半径最小即圆心到原点的距离最小，即|k|最小，k=-5时半径为

08.圆x²+y²-2x+4y+k=0截x轴所得弦长为2√2，则k的值为（）（2分）A.1B.5C.-1D.-5【答案】D【解析】圆与x轴相交，令y=0得x²-2x+k=0，弦长为2√1-k，即2√1-k=2√2，解得k=-

19.圆C x²+y²-2x+4y+k=0的切线方程为3x-y+1=0，则k的值为（）（2分）A.5B.1C.-5D.-1【答案】A【解析】圆心到直线的距离等于半径，即|3×1--1+1|/√3²+-1²=√1²+2²-k，解得k=

510.若圆C₁x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂x²+y²+4x-2y+1=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）（2分）A.x-y+1=0B.x+y-1=0C.x-y-1=0D.x+y+1=0【答案】A【解析】两圆心连线的中垂线即为对称轴，圆心1，-2和-2，1的中点为-

0.5，-

0.5，斜率为1，所以方程为x-y+1=0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于圆的性质的说法中，正确的有（）A.圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴B.圆不是中心对称图形C.圆的半径相等D.圆的直径是圆的最长弦E.圆心到圆上任意一点的距离都相等【答案】A、C、D、E【解析】圆是中心对称图形，不是轴对称图形，B错；圆的半径都相等，C对；直径是圆的最长弦，D对；圆心到圆上任意一点的距离都相等，E对

2.已知圆C x²+y²-2x+4y+k=0与x轴相切，则以下说法正确的有（）A.k=5B.k=-1C.圆心坐标为1，-2D.半径为√2E.圆的面积最小【答案】B、D、E【解析】圆与x轴相切，k=-1，半径为1，面积最小，BDE对；圆心1，-2，C对；k=5时半径为√10，A错

3.以下关于圆的方程的说法中，正确的有（）A.x-1²+y+2²=5表示一个圆B.圆x²+y²-2x+4y+k=0一定表示一个圆C.圆心在原点的圆的方程为x²+y²=r²D.圆的方程也可以用参数方程表示E.圆的方程可以用一般式表示【答案】A、C、D、E【解析】A表示圆，A对；k值不满足半径非负，B错；C对；圆的参数方程为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，D对；一般式x²+y²+Dx+Ey+F=0表示圆，E对

4.以下关于圆的位置关系的说法中，正确的有（）A.两圆相离，则两圆心的距离大于两半径之和B.两圆相切，则两圆心的距离等于两半径之和或之差C.两圆相交，则两圆心的距离小于两半径之和大于两半径之差D.两圆内含，则两圆心的距离小于两半径之差E.两圆外离，则两圆心的距离大于两半径之差【答案】A、B、C、D、E【解析】两圆位置关系与圆心距d和半径R、r的关系为相离dR+r，相切d=R+r或d=R-r，相交R-rdR+r，内含dR-r，外离dR+r，ABCD均正确

5.以下关于圆的对称性的说法中，正确的有（）A.圆是中心对称图形，圆心是对称中心B.圆的任意一条直径都是对称轴C.圆关于任意一条直线对称的图形仍然是圆D.圆的对称轴有无数条E.圆关于圆心对称的两个点一定在圆上【答案】A、B、C、D、E【解析】圆是中心对称图形，A对；任意直径是对称轴，B对；对称圆方程不变，C对；直径有无数条，D对；对称点在圆上，E对

三、填空题

1.圆x²+y²-2x+4y+k=0的圆心到直线3x-4y+5=0的距离为2，则k的值为__________（4分）【答案】-3或11【解析】圆心1，-2到直线的距离|3×1-4×-2+5|/√3²+-4²=2，即|15|/5=2，所以圆的半径为2，即√1²+-2²-k=2，解得k=-3或

112.圆C₁x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂x²+y²+4x-2y+1=0的公共弦所在直线的方程是__________（4分）【答案】3x-3y-4=0【解析】两圆方程相减得-6x+6y-4=0，即3x-3y-2=0，即为公共弦所在直线方程

3.圆x²+y²-2x+4y+k=0关于点1，-1对称的圆的方程是__________（4分）【答案】x²+y²-6x-2y+k+10=0【解析】圆心1，-2关于1，-1对称的点是1，0，所以对称圆方程为x-1²+y²=r²，即x²+y²-2x+k=0，解得k+

104.若圆C x²+y²-2x+4y+k=0与y轴相切，则k的值为__________（4分）【答案】5【解析】圆与y轴相切，圆心到y轴的距离等于半径，即|2|=√1²+2²-k，解得k=

55.圆x²+y²-2x+4y+k=0的面积最大时，k的值为__________（4分）【答案】0【解析】圆的面积最大即半径最大，圆心到原点的距离最小，即|k|最小，k=0时半径为√5

四、判断题

1.圆x²+y²-2x+4y+k=0的半径随k的增大而增大（）（2分）【答案】（×）【解析】半径r=√1²+2²-k=√5-k，随k增大而减小

2.若圆C₁x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂x²+y²+4x-2y+1=0相交，则两圆的圆心距d满足1＜d＜5（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心距d=√-2--2²+4--2²=√0+36=6，大于两半径之和，所以外离，d＞

53.圆x²+y²-2x+4y+k=0的切线方程为3x-y+1=0，则k的值为-5（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心到直线的距离等于半径，即|3×1--1+1|/√3²+-1²=√1²+2²-k，解得k=

54.圆x²+y²-2x+4y+k=0的面积最小，则k的值为5（）（2分）【答案】（×）【解析】面积最小即半径最小，圆心到原点的距离最小，即|k|最小，k=0时半径为√

55.圆x²+y²-2x+4y+k=0关于直线y=x对称的圆的方程是x²+y²-2y+4x+k=0（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心1，-2关于y=x对称的点是-2，1，所以对称圆方程为x+2²+y-1²=r²，展开后为x²+y²+2x-4y+k=0

五、简答题

1.求圆x²+y²-2x+4y-3=0的圆心坐标和半径（4分）【答案】圆心1，-2，半径√8=2√2【解析】将方程配方得x-1²+y+2²=8+3，即x-1²+y+2²=11，所以圆心1，-2，半径√

112.求圆x²+y²-2x+4y+k=0与x轴相切时k的值及此时圆的方程（5分）【答案】k=-1，圆方程x²+y²-2x+4y-1=0【解析】圆与x轴相切，令y=0得x²-2x+k=0，弦长为2√1-k，即2√1-k=2√2，解得k=-1，半径为1，圆方程为x²+y²-2x+4y-1=

03.求圆x²+y²-2x+4y+k=0关于直线y=x对称的圆的方程（5分）【答案】x²+y²-2y+4x+k=0【解析】圆心1，-2关于y=x对称的点是-2，1，所以对称圆方程为x+2²+y-1²=r²，即x²+y²+2x-4y+k=0

六、分析题

1.已知圆C₁x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂x²+y²+4x-2y+1=0相交，求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长度（10分）【答案】公共弦方程3x-3y-4=0，长度2√2【解析】两圆方程相减得-6x+6y-4=0，即3x-3y-2=0，为公共弦方程圆心到直线的距离d=|3×1-3×-2-2|/√3²+-3²=2，公共弦长2√r₁²-d²=2√2²-2²=2√

22.已知圆C x²+y²-2x+4y+k=0与y轴相切，且圆心到直线3x-4y+5=0的距离为2，求圆的方程（10分）【答案】圆方程x²+y²-2x+4y-3=0【解析】圆与y轴相切，即半径r=|2|=2，圆心到直线距离|3×1-4×-2+5|/√3²+-4²=2，即|15|/5=2，所以圆心1，-2，k=1²+-2²-2²=3，圆方程为x²+y²-2x+4y-3=

03.已知圆C x²+y²-2x+4y+k=0关于直线y=x对称的圆的方程为x²+y²-6x-2y+8=0，求k的值及原圆的方程（10分）【答案】k=5，原圆方程x²+y²-2x+4y+5=0【解析】对称圆方程为x²+y²-2y+4x+k=0，即x²+y²-6x-2y+8=0，所以-2x=-6，-2y=-2，k=8，即原圆方程为x²+y²-2x+4y+5=0

七、综合应用题

1.已知圆C₁x²+y²-2x+4y-3=0与圆C₂x²+y²+4x-2y+1=0相交，求两圆的公共弦所在直线的方程，公共弦的长度，以及两圆的圆心距（20分）【答案】公共弦方程3x-3y-4=0，长度2√2，圆心距6【解析】两圆方程相减得-6x+6y-4=0，即3x-3y-2=0，为公共弦方程圆心距d=√-2--2²+4--2²=√0+36=6圆心到直线的距离d=|3×1-3×-2-2|/√3²+-3²=2，公共弦长2√r₁²-d²=2√2²-2²=2√

22.已知圆C x²+y²-2x+4y+k=0与y轴相切，且圆心到直线3x-4y+5=0的距离为2，求圆的方程，并求圆的面积和半径（25分）【答案】圆方程x²+y²-2x+4y-3=0，面积12π，半径2√2【解析】圆与y轴相切，即半径r=|2|=2，圆心到直线距离|3×1-4×-2+5|/√3²+-4²=2，即|15|/5=2，所以圆心1，-2，k=1²+-2²-2²=3，圆方程为x²+y²-2x+4y-3=0面积πr²=π2√2²=8π，半径2√2。