数学城市竞赛历年试题及答案

数学城市竞赛历年试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.圆【答案】A【解析】等腰三角形不是中心对称图形

2.函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则（）A.a0B.a0C.b0D.c0【答案】A【解析】二次函数开口方向由a决定，a0时开口向上

3.某班级有m名男生，n名女生，若随机选出两人，则选出的两人都是男生的概率为（）A.m/m+nB.n/m+nC.mn/m+n^2D.m^2/m+n^2【答案】A【解析】选出的两人都是男生的概率=Cm,2/Cm+n,2=m/m+n

4.已知集合A={x|x0}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A.{x|0x≤2}B.{x|x2}C.{x|x≤2}D.{x|x0}【答案】A【解析】A与B的交集是同时满足x0和x≤2的x值

5.方程x^2-5x+6=0的解是（）A.x=1B.x=6C.x=1或x=6D.x=-1或x=-6【答案】C【解析】通过因式分解得x-2x-3=0，解得x=2或x=

36.三角形ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=（）A.75°B.105°C.135°D.150°【答案】B【解析】三角形内角和为180°，∠C=180°-60°-45°=75°

7.直线y=2x+1与y轴的交点坐标是（）A.0,1B.1,0C.0,2D.2,0【答案】A【解析】当x=0时，y=2×0+1=1，所以交点坐标为0,

18.若a1，则log_a4（）A.log_a2B.log_a2C.=log_a2D.无法比较【答案】A【解析】log_a4=a^log_a4=2，因为4=2^2，所以log_a4log_a

29.在直角坐标系中，点Pa,b到原点的距离是（）A.a+bB.√a^2+b^2C.|a|+|b|D.a^2+b^2【答案】B【解析】根据勾股定理，点P到原点的距离为√a^2+b^

210.若fx=x^3-3x+1，则f-1的值是（）A.-3B.0C.2D.3【答案】C【解析】f-1=-1^3-3×-1+1=-1+3+1=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些是函数的表示方法？（）A.列表法B.图像法C.解析法D.方程法E.描述法【答案】A、B、C【解析】函数的三种基本表示方法是列表法、图像法和解析法

2.以下不等式成立的是？（）A.-3^2-2^2B.|-5||-3|C.√16√9D.1/21/3E.-1^3-1^2【答案】C、D、E【解析】C选项√16=4√9=3成立；D选项1/2=

0.51/3≈

0.333成立；E选项-1^3=-1-1^2=1成立

3.关于函数fx=x^2-4x+3，以下说法正确的是？（）A.函数的最小值是-1B.函数的图像开口向上C.函数的对称轴是x=2D.函数的顶点坐标是2,1E.函数的增区间是-∞,2]【答案】B、C、D、E【解析】通过配方法得fx=x-2^2-1，所以最小值是-1，开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标是2,-1，增区间是-∞,2]

4.在直角三角形中，以下关系成立的是？（）A.勾股定理B.正弦定理C.余弦定理D.三角形面积公式E.内角和定理【答案】A、D、E【解析】勾股定理、三角形面积公式和内角和定理适用于所有三角形，包括直角三角形

5.关于集合，以下说法正确的是？（）A.空集是任何集合的子集B.任何一个集合都有补集C.交集运算满足交换律D.并集运算满足结合律E.集合的交集一定比原集合小【答案】A、C、D【解析】空集是任何集合的子集，交集和并集运算都满足交换律和结合律，但交集不一定比原集合小

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若方程x^2-px+q=0的两根之差为2，则p^2-4q=______【答案】4【解析】设两根为α和β，则α-β=2，根据韦达定理有α+β=p，αβ=q，所以α-β^2=4，即p^2-4q=

42.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是______【答案】3【解析】函数图像是两段折线，最小值出现在x=-2或x=1处，此时y=

33.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，则a_10=______【答案】18【解析】根据等差数列通项公式a_n=a_1+n-1d，得d=10-2/5-1=2，所以a_10=2+9×2=

204.圆的半径为r，则圆的周长是______，面积是______【答案】2πr；πr^2【解析】圆的周长公式是2πr，面积公式是πr^

25.若fx=x^2-3x+2，则f2x=______【答案】4x^2-6x+2【解析】将x替换为2x，得f2x=2x^2-32x+2=4x^2-6x+

26.在直角三角形ABC中，若∠C=90°，a=3，b=4，则c=______，sinA=______【答案】5；3/5【解析】根据勾股定理c=√a^2+b^2=√3^2+4^2=5，sinA=a/c=3/

57.若集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=______，A∩B=______【答案】{1,2,3,4}；{2,3}【解析】A∪B是A和B的所有元素，A∩B是A和B的共同元素

8.若fx是奇函数，且f1=3，则f-1=______【答案】-3【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）【答案】（×）【解析】反例如a=1，b=-2，则ab但a^2=1b^2=

42.三角形的重心是三条中线的交点（）【答案】（√）【解析】三角形的重心确实是三条中线的交点

3.对任意实数x，都有e^x^2=e^2x（）【答案】（√）【解析】根据指数运算规则，e^x^2=e^x+x=e^2x

4.若fx是定义域为R的函数，且f-x=-fx，则fx是奇函数（）【答案】（√）【解析】这是奇函数的定义

5.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】反例如a=-1，b=-2，则ab但√a无意义，√b更小

五、简答题（每题4分，共20分）

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式【答案】等差数列是相邻项差相等的数列，通项公式a_n=a_1+n-1d；等比数列是相邻项比相等的数列，通项公式a_n=a_1q^n-

12.简述勾股定理及其应用【答案】勾股定理是直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，即a^2+b^2=c^2应用广泛，如计算距离、高度等

3.简述函数单调性的定义及其判断方法【答案】函数单调性是指函数在某个区间内单调增加或单调减少判断方法可通过导数或图像观察

4.简述集合的基本运算包括哪些【答案】集合的基本运算包括并集、交集、补集和差集

5.简述三角函数的定义及其主要性质【答案】三角函数定义在单位圆上，sinθ是对边比斜边，cosθ是邻边比斜边，tanθ是对边比邻边主要性质包括周期性、奇偶性等

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求函数的单调区间和极值点【答案】求导fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3，所以单调增区间是-∞,1-√1/3和1+√1/3,+∞，单调减区间是1-√1/3,1+√1/3极值点在x=1±√1/3处

2.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圆的圆心和半径【答案】将方程配方得x-2^2+y+3^2=16，所以圆心为2,-3，半径为4

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某工程队计划在规定时间内完成一项工程，若单独工作，甲队需要10天，乙队需要15天若两队合作，需要多少天完成？【答案】设工程总量为30（10和15的最小公倍数），则甲队效率为3，乙队效率为2，合作效率为5，所以合作需要30/5=6天

2.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的最小值及取得最小值时的x值【答案】函数图像是两段折线，最小值出现在x=-2或x=1处，此时y=3。