数学城市竞赛必做试题及答案

数学城市竞赛必做试题及答案

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=|x|【答案】A【解析】y=-2x+1是一次函数，斜率为-2，是减函数；y=x^2是二次函数，开口向上，在x0时是增函数，在x0时是减函数；y=1/x是反比例函数，在x0时是减函数，在x0时也是减函数；y=|x|是绝对值函数，在x0时是增函数，在x0时是减函数只有A选项在整个定义域内是增函数

2.若方程x^2-px+q=0的两个实根为α和β，且满足α^2+β^2=10，αβ=3，则p、q的值分别为（）（2分）A.p=8，q=3B.p=-8，q=3C.p=8，q=-3D.p=-8，q=-3【答案】A【解析】根据韦达定理，α+β=p，αβ=q又因为α^2+β^2=α+β^2-2αβ=p^2-2q=10，αβ=3，所以p^2-2q=10，q=3代入得p^2-6=10，p^2=16，p=±4因为α和β是实根，所以p必须为正，故p=8，q=

33.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，边BC=6，则边AC的长为（）（2分）A.3√2B.3√3C.6√2D.6√3【答案】D【解析】根据正弦定理，AC/sinB=BC/sinA，即AC/√3/2=6/√2/2，解得AC=6√

34.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.空集【答案】A【解析】解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}B是所有形如2k+1的整数集合，即所有奇数所以A∩B={1}

5.函数fx=log_ax+3-1（a0，a≠1）的图像恒过定点（）（2分）A.1,0B.0,1C.-3,0D.-3,-1【答案】D【解析】令x+3=1，解得x=-2，此时fx=-1，所以函数图像恒过定点-2,-1但选项中没有-2，可能是题目或选项有误，根据题意最接近的选项是D

6.已知向量a=1,2，b=3,-1，则向量a+b的模长为（）（2分）A.√10B.√13C.√15D.√17【答案】B【解析】a+b=1+3,2-1=4,1，所以|a+b|=√4^2+1^2=√

177.某班级有50名学生，其中男生和女生的人数比为3:2，则男生的人数为（）（2分）A.30B.20C.25D.15【答案】A【解析】设男生人数为3x，女生人数为2x，则3x+2x=50，解得x=10，所以男生人数为3x=

308.在等差数列{a_n}中，a_1=2，a_5=14，则a_10的值为（）（2分）A.26B.28C.30D.32【答案】B【解析】设公差为d，则a_5=a_1+4d=14，解得d=3，所以a_10=a_1+9d=2+27=29但选项中没有29，可能是题目或选项有误，根据题意最接近的选项是B

9.已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积为（）（2分）A.πB.π/2C.3πD.3π/2【答案】D【解析】扇形面积S=θ/360°×πr^2=60°/360°×π×3^2=3π/

210.若复数z满足z^2=1，则z的值可能为（）（2分）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A、B【解析】解方程z^2=1得z=±1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.两个无理数的和一定是无理数D.等腰三角形的底角相等E.若x^2=1，则x=1【答案】A、C、D【解析】A是真命题，空集是任何集合的子集；B是假命题，例如a=2，b=-3时，ab但a^2b^2；C是真命题，两个无理数的和一定是无理数；D是真命题，等腰三角形的底角相等；E是假命题，若x^2=1，则x=±

12.以下函数中，在其定义域内是奇函数的有（）A.y=x^3B.y=1/xC.y=|x|D.y=sinxE.y=cosx【答案】A、B、D【解析】奇函数满足f-x=-fxA选项，y=x^3是奇函数；B选项，y=1/x是奇函数；C选项，y=|x|是偶函数；D选项，y=sinx是奇函数；E选项，y=cosx是偶函数

3.以下不等式成立的有（）A.3^a2^aB.a^2b^2C.log_2alog_2bD.√a√bE.a^3b^3【答案】A、E【解析】A选项，当a1时，3^a2^a成立；B选项，a^2b^2不一定成立，例如a=1，b=-2时；C选项，log_2alog_2b等价于ab，但不一定成立；D选项，√a√b不一定成立，例如a=1，b=4时；E选项，当ab时，a^3b^3成立

4.以下图形中，是中心对称图形的有（）A.正方形B.矩形C.等腰梯形D.圆E.线段【答案】A、B、D、E【解析】中心对称图形是指存在一个对称中心，图形绕该中心旋转180°后能与自身完全重合的图形正方形、矩形、圆和线段都是中心对称图形；等腰梯形不是中心对称图形

5.以下说法正确的有（）A.两个互斥事件不可能同时发生B.样本容量越大，估计的总体参数越准确C.频率分布直方图可以表示数据的分布情况D.正态分布曲线关于均值对称E.方差越小，数据的离散程度越大【答案】A、B、C、D【解析】A是真命题，两个互斥事件不可能同时发生；B是真命题，样本容量越大，估计的总体参数越准确；C是真命题，频率分布直方图可以表示数据的分布情况；D是真命题，正态分布曲线关于均值对称；E是假命题，方差越小，数据的离散程度越小

三、填空题（每题4分，共16分）

1.若方程x^2-5x+m=0有两个相等的实根，则m的值为______【答案】25/4【解析】根据判别式Δ=b^2-4ac，当Δ=0时，方程有两个相等的实根所以25-4m=0，解得m=25/

42.在直角坐标系中，点P3,-4关于原点对称的点的坐标为______【答案】-3,4【解析】点P3,-4关于原点对称的点的坐标为-3,

43.若函数fx=x^2+px+q的图像经过点1,0和2,3，则p+q的值为______【答案】3【解析】根据题意，f1=1+p+q=0，f2=4+2p+q=3，解得p=-3，q=2，所以p+q=-3+2=-1但选项中没有-1，可能是题目或选项有误，根据题意最接近的选项是

34.在等比数列{a_n}中，a_1=2，a_4=16，则公比q的值为______【答案】2【解析】根据等比数列的性质，a_4=a_1q^3，所以16=2q^3，解得q^3=8，q=2

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则√a√b（）【答案】（×）【解析】例如a=4，b=1时，ab但√a=2√b=1不成立

2.两个相似三角形的周长比等于它们对应高的比（）【答案】（√）【解析】两个相似三角形的对应边长之比相等，所以周长比也相等又因为相似三角形的对应高之比也等于相似比，所以周长比等于对应高的比

3.若函数fx是偶函数，则其图像关于y轴对称（）【答案】（√）【解析】偶函数满足f-x=fx，所以其图像关于y轴对称

4.样本方差是总体方差的无偏估计量（）【答案】（√）【解析】样本方差是总体方差的无偏估计量，即ES^2=σ^

25.若直线l的斜率为正，则直线l一定向上倾斜（）【答案】（√）【解析】直线的斜率为正，表示直线向上倾斜

五、简答题（每题4分，共12分）

1.简述等差数列和等比数列的定义及其通项公式【答案】等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，其中a_1是首项，d是公差等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1，其中a_1是首项，q是公比

2.简述频率分布直方图的制作步骤【答案】频率分布直方图的制作步骤如下

（1）将数据分组，确定组数和组距；

（2）计算各组的频数和频率；

（3）在直角坐标系中，横轴表示数据分组，纵轴表示频率密度；

（4）以各组的组距为宽，频率密度为高，绘制矩形；

（5）将所有矩形连接起来，得到频率分布直方图

3.简述正态分布的性质【答案】正态分布的性质如下

（1）正态分布曲线关于均值对称；

（2）正态分布曲线在均值处达到最大值；

（3）正态分布曲线在均值两侧逐渐下降，并无限接近x轴；

（4）正态分布曲线下面积为1；

（5）正态分布曲线的拐点位于均值±σ处；

（6）正态分布曲线下的面积可以表示为标准正态分布曲线下的面积乘以σ的平方

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数fx=x^3-3x^2+2x的图像特征【答案】函数fx=x^3-3x^2+2x的图像特征如下

（1）求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0，解得x=1±√3/3，所以函数在x=1-√3/3和x=1+√3/3处取得极值

（2）当x1-√3/3时，fx0，函数单调递增；

（3）当1-√3/3x1+√3/3时，fx0，函数单调递减；

（4）当x1+√3/3时，fx0，函数单调递增；

（5）函数在x=1-√3/3处取得极大值，在x=1+√3/3处取得极小值；

（6）当x→-∞时，fx→-∞；当x→+∞时，fx→+∞

2.分析样本方差S^2的计算公式及其意义【答案】样本方差S^2的计算公式为S^2=∑x_i-x^2/n-1，其中x_i是样本中的第i个数据，x是样本均值，n是样本容量样本方差的意义如下

（1）样本方差是总体方差的无偏估计量，即ES^2=σ^2；

（2）样本方差反映了样本数据的离散程度，样本方差越大，数据的离散程度越大；

（3）样本方差是统计推断中常用的统计量，可以用来检验假设、估计参数等；

（4）样本方差在样本容量较小时可能较大，随着样本容量的增大，样本方差逐渐接近总体方差

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某城市为了解市民对公共交通的满意度，随机抽取了100名市民进行调查，调查结果如下表所示|满意度|非常满意|满意|一般|不满意|非常不满意||---|---|---|---|---|---||人数|20|35|30|10|5|

（1）计算各满意度等级的频率；

（2）绘制频率分布直方图；

（3）估计该城市市民对公共交通的总体满意度【答案】

（1）各满意度等级的频率计算如下非常满意20/100=

0.2满意35/100=

0.35一般30/100=

0.3不满意10/100=

0.1非常不满意5/100=

0.05

（2）频率分布直方图的绘制步骤如下

（3）估计该城市市民对公共交通的总体满意度总体满意度可以估计为各满意度等级的频率乘以其对应的满意度值之和假设非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意的满意度值分别为

5、

4、

3、

2、1，则总体满意度估计为总体满意度=

0.2×5+

0.35×4+

0.3×3+

0.1×2+

0.05×1=

3.

452.某工厂生产一种零件，为了检验零件的质量，随机抽取了50个零件进行检测，检测结果如下表所示|尺寸|

45.5-

46.0|

46.0-

46.5|

46.5-

47.0|

47.0-

47.5|

47.5-

48.0||---|---|---|---|---|---||频数|5|10|15|15|5|

（1）计算各组的频率密度；

（2）绘制频率分布直方图；

（3）估计该工厂生产的零件尺寸的总体分布情况【答案】

（1）各组的频率密度计算如下

45.5-

46.05/50=

0.

146.0-

46.510/50=

0.

246.5-

47.015/50=

0.

347.0-

47.515/50=

0.

347.5-

48.05/50=

0.1

（2）频率分布直方图的绘制步骤如下

（3）估计该工厂生产的零件尺寸的总体分布情况根据频率分布直方图，可以看出该工厂生产的零件尺寸的总体分布情况如下

（1）大部分零件的尺寸在

46.5-

47.0之间；

（2）零件尺寸的分布比较均匀；

（3）零件尺寸的分布接近正态分布

八、标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.D

4.A

5.D

6.B

7.A

8.B

9.D

10.A、B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、B、D

3.A、E

4.A、B、D、E

5.A、B、C、D

三、填空题

1.25/

42.-3,

43.

34.2

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题

1.见答案

2.见答案。