数学城市竞赛拔高试题及答案

数学城市竞赛拔高试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1}C.{2}D.{0,1,2}【答案】A【解析】解得A={1,2}，由B⊆A，得方程x^2-ax+1=0的解只能是1或2或

1、2，经检验a=1或2符合条件

2.函数fx=2cos^2x+sin2x-1的最小正周期为（）（2分）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A【解析】fx=1+cos2x+sin2x=1+√2sin2x+π/4，最小正周期T=2π/2=π

3.已知数列{a_n}是等差数列，若a_1+a_5=10，a_2a_4=9，则数列{a_n}的通项公式为（）（2分）A.a_n=1-2nB.a_n=-1+2nC.a_n=2n-1D.a_n=1-2n^2【答案】B【解析】设公差为d，则a_1+a_5=2a_1+4d=10，a_2a_4=a_1+da_1+3d=9，解得a_1=4，d=1，a_n=4+n-1=n+3，化简得a_n=-1+2n

4.若复数z满足|z|=√3，且z/2+iz=3，则z等于（）（2分）A.3+3iB.3-3iC.6+2iD.6-2i【答案】D【解析】设z=a+bi，由|z|=√3，得a^2+b^2=3；由z/2+iz=3，得a/2+ia+bi=3，化简得a/2-b=3，a+2b=0，解得a=6，b=-3，z=6-3i

5.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2=b^2+c^2-bc，则角A的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，比较得2bccosA=bc，cosA=1/2，A=60°

6.函数y=√x^2+2x+3在区间[-2,1]上的最小值是（）（2分）A.√2B.√3C.2D.3【答案】A【解析】y=√[x+1^2+2]，在x=-1时取得最小值√

27.过点P1,2的直线与圆C x-1^2+y-1^2=5相切，则切线方程为（）（2分）A.x+y=3B.2x-y=0C.x-y=1D.x-2y+3=0【答案】D【解析】设切线方程为y-2=kx-1，即kx-y-k+2=0，圆心1,1，半径√5，由d=r得|k-1-k+2|=√5，解得k=3/4，切线方程为3x-4y+5=0，化简得x-2y+3=

08.执行以下程序段后，变量s的值为（）（2分）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhile（2分）A.9B.15C.3D.8【答案】A【解析】i=1,s=0;i=3,s=3;i=5,s=8;i=7,结束循环，s=

89.执行以下程序段后，变量p的值为（）（2分）p=5;m=1;forj=1to3dom=mp;p=p-1;endfor（2分）A.60B.120C.30D.15【答案】B【解析】m=15=5;m=54=20;m=203=60，p=

210.若函数fx=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为（）（2分）A.16B.8C.12D.20【答案】A【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=5，最大值5，最小值-1，差为16

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若ab，则√a√bD.若ab，则1/a1/b【答案】A、D【解析】A正确，空集是任何集合的子集；B错误，如a=1b=-2；C错误，如a=4b=-1；D正确，若ab0，则1/a1/b

2.关于函数fx=|x-a|+|x-b|（ab），下列说法正确的是（）（4分）A.函数的最小值为b-aB.函数的图像关于直线x=a+b/2对称C.函数的最大值不存在D.函数在区间[a,b]上单调递减【答案】A、B【解析】fx=|x-a|+|x-b|≥|b-a|，当x在[a,b]区间内时取等号，最小值为b-a；函数图像关于x=a+b/2对称；最大值不存在；在[a,b]上不单调

3.以下不等式成立的是（）（4分）A.sin60°cos45°B.log_39log_38C.tan45°sin30°D.a^2+b^2≥2ab【答案】B、C、D【解析】sin60°=√3/2，cos45°=√2/2，sin60°cos45°；log_39=2，log_382；tan45°=1，sin30°=1/2，tan45°sin30°；a^2+b^2-2ab=a-b^2≥

04.以下函数中，在其定义域内是奇函数的是（）（4分）A.fx=x^3+xB.fx=sinxC.fx=1/xD.fx=x^2cosx【答案】A、B、C【解析】f-x=-x^3-x=-fx，奇函数；f-x=-sinx=-fx，奇函数；f-x=-1/x=-fx，奇函数；f-x=x^2cos-x=x^2cosx，非奇非偶

5.已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则以下说法正确的是（）（4分）A.三角形ABC是直角三角形B.三角形ABC是锐角三角形C.三角形ABC是钝角三角形D.三角形ABC一定不是等边三角形【答案】A、D【解析】由勾股定理，a^2+b^2=c^2说明三角形ABC是直角三角形；直角三角形不可能是锐角或钝角；直角三角形若为等边，则边长为√2，不可能

三、填空题（每题4分，共16分）

1.函数y=2sinx+π/3-1的最大值为______，最小正周期为______（4分）【答案】3；2π

2.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=16，则公比q=______（4分）【答案】

23.过点A1,2和B3,0的直线方程为______（4分）【答案】x+y-3=

04.若复数z=3+4i的模为|z|，则|z|^2=______（4分）【答案】25

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx是偶函数，则其图像关于y轴对称（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx，图像关于y轴对称

2.不等式a^2+b^2≥ab对所有实数a、b成立（）（2分）【答案】（√）【解析】a^2+b^2-ab=a^2-ab+b^2=a-b^2+ab≥

03.若三角形ABC的三边长分别为

3、

4、5，则角B=60°（）（2分）【答案】（×）【解析】由勾股定理，3^2+4^2=5^2，三角形ABC是直角三角形，角B=90°

4.函数y=1/x在定义域内是减函数（）（2分）【答案】（×）【解析】函数y=1/x在-∞,0和0,+∞上分别是减函数，但在整个定义域上不是减函数

5.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a0（）（2分）【答案】（√）【解析】二次函数开口方向由a决定，a0开口向上

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数y=sin2x-cos2x的最小正周期和最大值（5分）【答案】最小正周期T=π，最大值√2【解析】y=sin2x-cos2x=√2sin2x-π/4，最小正周期T=2π/2=π，最大值√

22.已知数列{a_n}是等差数列，a_3=7，a_7=15，求a_1和公差d（5分）【答案】a_1=1，d=2【解析】由a_3=a_1+2d=7，a_7=a_1+6d=15，解得a_1=1，d=

23.求过点A1,2和B3,0的直线方程（5分）【答案】x+y-3=0【解析】斜率k=0-2/3-1=-1，直线方程y-2=-1x-1，化简得x+y-3=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx在区间[-1,3]上的最大值和最小值（10分）【答案】最大值1，最小值-2【解析】fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√3/3，f-1=-2，f1-√3/3=1-2√3/3，f1+√3/3=1+2√3/3，f3=2，最大值max{f-1,f3}=max{-2,2}=1，最小值min{f-1,f1-√3/3,f1+√3/3}=min{-2,1-2√3/3,1+2√3/3}=1-2√3/

32.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并画出函数图像（10分）【答案】最小值3，图像见解析【解析】fx=|x-1|+|x+2|，分三段x-2，fx=-2x-1；-2≤x≤1，fx=3；x1，fx=2x+1，最小值为3，图像是折线段

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知数列{a_n}是等差数列，a_1=1，a_5=9，数列{b_n}是等比数列，b_1=1，b_3=a_4，求数列{a_n}和{b_n}的前n项和S_a和S_b，并比较S_a和S_b的大小关系（25分）【答案】S_a=n^2，S_b=q^n-1/q-1，q1时S_bS_a，q=1时S_a=S_b，0q1时S_bS_a【解析】{a_n}a_1=1，a_5=9，d=8/4=2，a_n=1+2n-1=2n-1，S_a=n1+2n-1/2=n^2；{b_n}b_3=a_4=9，q=9/1=3，b_n=3^n-1，S_b=3^n-1/2，比较S_a和S_b q1时S_bS_a，q=1时S_a=S_b，0q1时S_bS_a

2.已知函数fx=x^2-2ax+a^2+1，讨论函数fx的图像与x轴的交点情况，并求出函数的最小值（25分）【答案】判别式Δ=4a^2-4a^2+1，Δ0时无交点，Δ=0时一个交点，Δ0时两个交点，最小值1-a^2【解析】fx=x^2-2ax+a^2+1=x-a^2+1，最小值为1，图像是开口向上的抛物线，与x轴无交点，最小值1-a^2，判别式Δ=4a^2-4a^2+1，Δ0时无交点，Δ=0时一个交点，Δ0时两个交点---标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.D

5.C

6.A

7.D

8.A

9.B

10.A

二、多选题

1.A、D

2.A、B

3.B、C、D

4.A、B、C

5.A、D

三、填空题

1.3；2π

2.

23.x+y-3=

04.25

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.最小正周期T=π，最大值√

22.a_1=1，d=

23.x+y-3=0

六、分析题

1.最大值1，最小值-

22.最小值3，图像见解析

七、综合应用题

1.S_a=n^2，S_b=q^n-1/q-1，q1时S_bS_a，q=1时S_a=S_b，0q1时S_bS_a

2.判别式Δ=4a^2-4a^2+1，Δ0时无交点，Δ=0时一个交点，Δ0时两个交点，最小值1-a^2。