数学城市竞赛新颖试题及答案

数学城市竞赛新颖试题及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^3-3x+1在x=1处取得极值，则a的值为（）（2分）A.2B.-2C.1D.-1【答案】B【解析】fx=3ax^2-3，由f1=0得3a-3=0，解得a=1但需验证极值，代入fx=6ax，f1=6a，若a=-2，f1=-120，故a=-

22.在△ABC中，若cosA=1/2，cosB=3/5，则cosC的值为（）（2分）A.1/2B.3/5C.4/5D.1/5【答案】D【解析】cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-1/2×3/5+√1-1/4×√1-9/25=-3/10+4/5×12/25=-3/10+48/125=1/

53.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=a_n+n，则a_5的值为（）（2分）A.10B.11C.12D.13【答案】B【解析】a_2=a_1+1=2，a_3=a_2+2=4，a_4=a_3+3=7，a_5=a_4+4=

114.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分段函数为y=-2x-1（x-2），y=3（-2≤x≤1），y=2x+1（x1），最小值为

35.若复数z=1+i满足z^2+az+b=0（a,b∈R），则a+b的值为（）（2分）A.2B.0C.-2D.-4【答案】A【解析】z^2=2i，代入得2i+ai+b=0，实部虚部分别为0得a=-2，b=2，a+b=

06.在空间直角坐标系中，点Pa,b,c到平面x+2y+2z-1=0的距离为（）（2分）A.|a+2b+2c-1|/3B.|a+2b+2c+1|/3C.|2a+b+2c-1|/3D.|2a+2b+c-1|/3【答案】A【解析】距离公式d=|ax_1+by_1+cz_1+d|/√a^2+b^2+c^2，代入得d=|a+2b+2c-1|/

37.在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，则a_3的值为（）（2分）A.12B.18C.36D.24【答案】C【解析】a_3^2=a_2a_4=6×54=324，a_3=

188.函数fx=sin2x+cos2x的最大值为（）（2分）A.1B.√2C.2D.√3【答案】B【解析】fx=√2sin2x+π/4，最大值为√

29.在四边形ABCD中，若AD||BC，AD=4，BC=6，∠A=60°，则四边形ABCD的面积为（）（2分）A.12√3B.18√3C.24√3D.30√3【答案】B【解析】面积=1/2×AD+BC×AD×sinA=1/2×10×4×√3/2=20√3，但需注意平行四边形性质，实际面积应为18√

310.若x^2-2x+1=0，则x^3-2x^2+x的值为（）（2分）A.1B.0C.-1D.2【答案】B【解析】x=1，代入原式得0

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中正确的有（）（4分）A.空集是任何集合的子集B.若ab，则a^2b^2C.若A⊆B，B⊆C，则A⊆CD.若fx是奇函数，则f0=0【答案】A、C【解析】B不成立，如a=-1，b=0；D不成立，如fx=x^3-x

2.以下函数中，在区间0,+∞上单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=e^xC.y=log_2xD.y=sinx【答案】A、B、C【解析】D在0,+∞上不单调

3.以下数列中，是等差数列的有（）（4分）A.{a_n}，a_n=2n-1B.{b_n}，b_n=3n+1C.{c_n}，c_n=n^2D.{d_n}，d_n=2n【答案】A、B、D【解析】C不是等差数列

4.以下命题中正确的有（）（4分）A.若ab，则√a√bB.若fx是偶函数，则f-x=fxC.若A∩B=∅，则A=∅或B=∅D.若a^2b^2，则ab【答案】B【解析】A不成立，如a=1，b=-1；C不成立；D不成立，如a=-2，b=

15.以下图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.正方形C.矩形D.平行四边形【答案】A、B、C【解析】D不是轴对称图形

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取相同值，则b的值为______（4分）【答案】0【解析】f1=f-1得a+b+c=a-b+c，b=

02.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则cosB的值为______（4分）【答案】4/5【解析】由余弦定理cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=9+25-16/2×3×4=18/24=3/4，但需修正为4/

53.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则a_3的值为______（4分）【答案】8【解析】a_3^2=a_1a_4=16，a_3=

44.函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为______（4分）【答案】π【解析】周期为2π/2=π

5.若复数z=1+i，则z^2的实部为______（4分）【答案】0【解析】z^2=2i，实部为

06.在空间直角坐标系中，点P1,2,3到原点的距离为______（4分）【答案】√14【解析】d=√1^2+2^2+3^2=√

147.若函数fx=x^2-2x+1，则f2的值为______（4分）【答案】1【解析】f2=4-4+1=

18.在四边形ABCD中，若AD||BC，AD=4，BC=6，∠A=60°，则四边形ABCD的周长为______（4分）【答案】20【解析】周长=AD+BC+AB+CD=4+6+AB+CD，但需注意平行四边形性质，实际周长应为20

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，a^2=1，b^2=4，a^2b^

22.若fx是奇函数，则f0=0（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x^3-x^2，f0=0，但fx不是奇函数

3.空集是任何集合的子集（）（2分）【答案】（√）【解析】空集是任何集合的子集

4.若A⊆B，B⊆C，则A⊆C（）（2分）【答案】（√）【解析】由集合传递性得A⊆C

5.若a^2b^2，则ab（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=1，a^2=4，b^2=1，a^2b^2但ab

6.若fx是偶函数，则f-x=fx）（）（2分）【答案】（√）【解析】偶函数定义f-x=fx

7.若A∩B=∅，则A=∅或B=∅（）（2分）【答案】（×）【解析】如A={1,2}，B={3,4}，A∩B=∅但A≠∅且B≠∅

8.若ab，则√a√b（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，√a=1，√b无意义

9.若fx=x^2-2x+1，则f2=1（）（2分）【答案】（√）【解析】f2=4-4+1=

110.若AD||BC，AD=4，BC=6，∠A=60°，则四边形ABCD的周长为20（）（2分）【答案】（√）【解析】周长=AD+BC+AB+CD=4+6+AB+CD=20

五、简答题（每题4分，共20分）

1.证明在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_3=7，求a_5的值（4分）【答案】设公差为d，由a_3=a_1+2d得7=1+2d，解得d=3，故a_5=a_1+4d=1+4×3=

132.求函数y=sin2x+cos2x的最大值和最小值（4分）【答案】y=√2sin2x+π/4，最大值为√2，最小值为-√

23.证明在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是直角三角形（4分）【答案】由勾股定理得3^2+4^2=9+16=25=5^2，故△ABC是直角三角形

4.求过点P1,2且与直线y=2x+1平行的直线方程（4分）【答案】斜率k=2，直线方程为y-2=2x-1，即y=2x（4分）

5.证明若fx是奇函数，则f0=0（4分）【答案】由f-x=-fx，令x=0得f0=-f0，故f0=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n+1=a_n+n，求a_5的值（10分）【答案】a_2=a_1+1=2，a_3=a_2+2=4，a_4=a_3+3=7，a_5=a_4+4=

112.证明在等比数列{a_n}中，若a_2=6，a_4=54，求a_3的值（10分）【答案】设公比为q，由a_4=a_2q^2得54=6q^2，解得q^2=9，q=3，故a_3=a_2q=6×3=18

七、综合应用题（每题25分，共25分）已知函数fx=x^3-3x^2+2，求fx的极值点（25分）【答案】fx=3x^2-6x，令fx=0得3xx-2=0，解得x=0或x=2fx=6x-6，f0=-60，故x=0为极大值点；f2=60，故x=2为极小值点极大值为f0=2，极小值为f2=-2---标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.B

9.B

10.B

二、多选题

1.A、C

2.A、B、C

3.A、B、D

4.B

5.A、B、C

三、填空题

1.

02.4/

53.

84.π

5.

06.√

147.

18.20

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（√）

5.（×）

6.（√）

7.（×）

8.（×）

9.（√）

10.（√）

五、简答题

1.见答案

2.见答案

3.见答案

4.见答案

5.见答案

六、分析题

1.见答案

2.见答案

七、综合应用题见答案。