数学城市竞赛题目全解及答案

数学城市竞赛题目全解及答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.已知函数fx=x³-3x+1，则fx在区间[-2,2]上的最大值是（）A.10B.8C.6D.5【答案】A【解析】f′x=3x²-3，令f′x=0，得x=±1f-2=-8-6+1=-13，f-1=-1+3+1=3，f1=-1-3+1=-3，f2=8-6+1=3最大值为

102.某几何体的三视图如下图所示，该几何体的表面积是（）（此处应有三视图示意图，略）A.50πB.40πC.30πD.20π【答案】B【解析】由三视图可知为圆锥，底面半径2，母线√5²+2²=√29，表面积=π×2²+π×2×√29=40π

3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则角C的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】由余弦定理cosC=a²+b²-c²/2ab=1/2，得C=60°

4.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n-a_n-1=2n-1，则a_5的值是（）A.25B.30C.35D.40【答案】C【解析】a_n=a_1+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_n-1=1+3+5+...+2n-1=n²，a_5=5²=

255.抛物线y²=2px（p0）的焦点到准线的距离是（）A.pB.2pC.p/2D.2p²【答案】A【解析】焦点为p/2,0，准线为x=-p/2，距离为p

6.某班级有男生30人，女生20人，现要随机选出4人参加活动，则选出的4人中恰有2名女生、2名男生的概率是（）A.1/8B.1/6C.3/10D.1/4【答案】B【解析】P=C20,2×C30,2/C50,4=1/

67.若复数z满足|z|=2且argz=π/3，则z的代数形式是（）A.1+√3iB.2+√3iC.1-√3iD.2-√3i【答案】B【解析】z=2cosπ/3+isinπ/3=2+√3i

8.执行以下程序段后，变量s的值是（）i=1;s=0;whilei=5dos=s+i;i=i+2;endwhileA.9B.10C.15D.20【答案】A【解析】s=1+3+5=

99.在直角坐标系中，点A1,2关于直线x-y+1=0对称的点的坐标是（）A.-1,-2B.-2,-1C.2,1D.1,-2【答案】D【解析】设对称点为x,y，则x-1/2=1，y+2/2=2，解得x=1,y=-

210.已知函数fx在区间[0,1]上单调递减且连续，若f0=2，f1=1，则不等式fx√x在区间[0,1]上的解集是（）A.0,1B.0,√2C.0,1/2D.0,1/4【答案】C【解析】令gx=fx-√x，g0=10，g1/2=f1/2-1/20，故解集为0,1/2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的有（）A.若ab，则a²b²B.等差数列的任意两项之差为常数C.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半D.函数y=1/x在定义域内单调递减E.若fx是偶函数，则其图像关于y轴对称【答案】B、C、E【解析】A反例a=2,b=-1;D反例在1,+∞单调递减

2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的面积的是（）A.三边长a,b,cB.两边长及夹角C.一边长及这边上的高D.一角及夹边上的高E.两边及其中一边上的中线【答案】A、B、C、D【解析】E中中线不能单独确定面积

3.关于函数fx=ax²+bx+c，下列说法正确的有（）A.若a0，则函数的图像开口向上B.若Δ=b²-4ac0，则函数的图像与x轴有两个交点C.函数的对称轴为x=-b/2aD.若f1=f-1，则函数的图像关于y轴对称E.若a=c，则函数的图像过原点【答案】A、B、C、D【解析】E反例a=c=1,b=2，f0=-2≠

04.下列几何体中，表面积等于其体积的是（）A.正方体B.球C.正三棱柱D.圆锥E.正四棱锥【答案】A、B【解析】正方体a³=6a²，球4πr³=4πr²，其他均不成立

5.关于命题逻辑，下列说法正确的有（）A.命题p且q为真，当且仅当p、q都为真B.命题p或q为假，当且仅当p、q都为假C.命题非p为真，当且仅当p为假D.命题p则q为假，当且仅当p真q假E.若命题p与命题p或q等价，则q为假【答案】A、C、D【解析】B反例p假q真;E反例p假q真

三、填空题（每题4分，共20分）

1.在△ABC中，若sinA/sinB=3/2，a=6，则b=______【答案】4【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，b=a×sinB/sinA=6×2/3=

42.若复数z=1+i，则z⁴的虚部是______【答案】-4【解析】z⁴=1+i⁴=4i³=-4i，虚部为-

43.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是______【答案】3【解析】分段函数fx={-2x-1|x1;3|x=1;2x+1|x1}，最小值为

34.在等差数列{a_n}中，若S₁₀=85，S₂₀=270，则a₁+a₂₀=______【答案】17【解析】S₁₀=10/22a₁+9d=85，S₂₀=20/22a₁+19d=270，解得a₁=1,d=3，a₁+a₂₀=1+19×3=

585.抛物线y²=8x的焦点到准线的距离是______【答案】4【解析】p=4，焦点到准线距离为2p=8

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在区间I上单调递增，则fx在该区间上存在反函数（）【答案】（√）【解析】单调函数必有反函数

2.两个相似三角形的周长之比等于它们的面积之比（）【答案】（√）【解析】由相似三角形的性质知

3.若向量a=1,2，b=3,4，则a与b共线（）【答案】（×）【解析】a×b=1×4-2×3=-2≠0，不共线

4.在△ABC中，若a²=b²+c²，则△ABC一定是直角三角形（）【答案】（√）【解析】符合勾股定理的逆定理

5.若命题p是假命题，则命题p或q一定是假命题（）【答案】（×）【解析】若q为真命题，则p或q为真

五、简答题（每题5分，共15分）

1.已知函数fx=x²-4x+3，求函数在区间[0,4]上的最大值和最小值【解析】f′x=2x-4，令f′x=0，得x=2f0=3，f2=-1，f4=7最大值为7，最小值为-

12.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n-a_n-1=n，求a_5和S_5【解析】a_n=a_1+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_n-1=1+2+3+...+n=nn+1/2a_5=15，S_5=1+2+3+4+5=

153.已知直线l过点A1,2且与直线x-y+1=0垂直，求直线l的方程【解析】设直线l方程为x+y+k=0，代入A1,2，得1+2+k=0，k=-3直线方程为x+y-3=0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求函数的图像，并分析其性质【解析】

（1）分段函数fx={-2x-1|x1;3|x=1;2x+1|x1}

（2）图像为折线段，在x=-2处取点-2,3，在x=1处取点1,3，向左上和右上方延伸

（3）性质最小值为3，在[-2,1]上递减，在[1,+∞上递增，关于x=1对称

2.已知函数fx=x³-3x²+2，求函数的极值点，并分析其单调性【解析】

（1）f′x=3x²-6x，令f′x=0，得x=0或x=2

（2）f0=2，f2=-2x=0处为极大值点，x=2处为极小值点

（3）单调性在-∞,0上递增，在0,2上递减，在2,+∞上递增

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.某农场计划用60米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，若矩形的一边利用墙（墙足够长），求矩形的最大面积【解析】设利用墙的一边为x米，另一边为y米，则2x+y=60，面积S=xy=x60-2x=60x-2x²S′x=60-4x，令S′x=0，得x=15S15=15×30=450最大面积为450平方米

2.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=1，a_n-a_n-1=n²，求a_5和S_5【解析】

（1）a_n=a_1+a_2-a_1+a_3-a_2+...+a_n-a_n-1=1+1²+2²+3²+...+n-1²=1+n-1n2n-1/6=nn+12n+1/6a_5=5×6×11/6=55

（2）S_n=nn+12n+1/6S_5=5×6×11/6=55

八、完整标准答案

一、单选题

1.A

2.B

3.C

4.A

5.A

6.B

7.B

8.A

9.D

10.C

二、多选题

1.B、C、E

2.A、B、C、D

3.A、B、C、D

4.A、B

5.A、C、D

三、填空题

1.

42.-

43.

34.

175.4

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（×）

五、简答题

1.最大值7，最小值-

12.a_5=55，S_5=

553.x+y-3=0

六、分析题

1.见解析

2.见解析

七、综合应用题

1.最大面积450平方米

2.a_5=55，S_5=55。