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文本内容:
数学理期中试题及答案呈现
一、单选题（每题2分，共20分）
1.函数fx=lnx^2+1在区间-1,1上的导数fx的符号是（）（2分）A.始终为正B.始终为负C.先正后负D.先负后正【答案】A【解析】fx=2x/x^2+1，在-1,1上x0，故fx
02.抛物线y=ax^2+bx+c的焦点在x轴上，则下列条件正确的是（）（2分）A.a0且b^2-4ac0B.a0且b^2-4ac0C.a=0且b≠0D.a≠0且△=0【答案】C【解析】焦点在x轴上，则抛物线为y=ax^2+ca≠0，即b=0，故a=0且b≠0不成立，正确选项为C
3.已知集合A={x|x^2-3x+20}，B={x|x=2k+1,k∈Z}，则A∩B等于（）（2分）A.-∞,1∪2,+∞B.{...,-3,-1,1,3,...}C.∅D.{1,2}【答案】B【解析】A={x|x2或x1}，B为奇数集，故A∩B={...,-3,-1,1,3,...}
4.在等比数列{a_n}中，若a_3=8，a_6=64，则公比q等于（）（2分）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】a_6=a_3q^3，64=8q^3，解得q=
45.若复数z=1+i/1-i，则|z|等于（）（2分）A.1B.√2C.2D.0【答案】A【解析】z=1+i^2/1-i1+i=1+i，|z|=√2，故选A
6.直线y=kx+3与圆x^2+y^2=13相切，则k的值是（）（2分）A.±2√3/3B.±√3C.±3D.±√2【答案】A【解析】圆心0,0到直线的距离d=|3|/√k^2+1=√13，解得k=±2√3/
37.函数fx=sin2x+π/3的最小正周期是（）（2分）A.πB.2πC.3π/2D.π/2【答案】A【解析】周期T=2π/|ω|=π
8.若向量a=1,2，b=x,1，且a∥b，则x等于（）（2分）A.1/2B.2C.-1/2D.-2【答案】B【解析】a∥b，则2=x，即x=
29.在△ABC中，若角A=45°，角B=60°，边a=√6，则边b等于（）（2分）A.2√2B.3√2C.√3D.2√3【答案】D【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，√6/sin45°=b/sin60°，解得b=2√
310.若x^2+px+q=0的两根之和为3，两根之积为-1，则p+q等于（）（2分）A.2B.3C.-4D.-2【答案】C【解析】p=-3，q=-1，p+q=-4
二、多选题（每题4分，共20分）
1.下列命题中正确的是（）（4分）A.函数y=1/x在-∞,0上单调递减B.直线y=x+1与圆x^2+y^2=1相切C.等差数列的前n项和S_n=na_1+n-1dD.若z为纯虚数，则z+z=0【答案】A、D【解析】A对，B错直线与圆相切，C错S_n=na_1+nn-1/2d，D对
2.关于函数fx=x^3-3x+1，下列说法正确的是（）（4分）A.fx在-∞,1上单调递减B.fx在1,+∞上单调递增C.fx存在两个极值点D.fx的图像与x轴有三个交点【答案】A、B、C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，fx在-∞,-1和1,+∞上递增，在-1,1上递减，故A、B、C对
3.下列不等式成立的是（）（4分）A.log_25log_37B.1/2^-31/3^-3C.sinπ/6+cosπ/31D.√3+√2√5【答案】B、C、D【解析】A错log_25≈
2.32log_37≈
2.38，B对，C对，D对
4.已知向量a=1,0，b=0,1，则下列向量中与a+b垂直的是（）（4分）A.1,1B.0,0C.-1,1D.-1,-1【答案】C、D【解析】a+b=1,1，垂直条件为1,1·x,y=-1，解得x=-1，故C、D对
5.在等比数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=7，a_1·a_2·a_3=8，则数列的前n项和S_n等于（）（4分）A.7B.14C.16D.28【答案】A、C【解析】由a_1+a_2+a_3=7和a_1·a_2·a_3=8，得a_1=1，a_2=2，a_3=4，S_n=11-4^n/1-4=7，故A对
三、填空题（每题4分，共16分）
1.若函数fx=x^2+2x+3在区间[a,b]上单调递减，则a和b的取值范围是______和______（4分）【答案】-1,+∞；-∞,-1]【解析】fx=2x+2，令fx≤0得x≤-1，故a∈-∞,-1]，b∈-1,+∞
2.在△ABC中，若角A=30°，角B=45°，边a=2，则角C的对边c等于______（4分）【答案】√6【解析】由正弦定理a/sinA=c/sinC，2/sin30°=c/sin45°，解得c=√
63.已知等差数列{a_n}的前n项和S_n=15n-2n^2，则数列的首项a_1和公差d分别等于______和______（4分）【答案】16；-4【解析】a_1=S_1=14，d=a_2-a_1=S_2-S_1-2=-
44.若复数z=2+3i，则z的共轭复数z和模|z|分别等于______和______（4分）【答案】2-3i；√13【解析】z=2-3i，|z|=√2^2+3^2=√13
四、判断题（每题2分，共10分）
1.若函数fx在区间I上可导，则fx在区间I上必单调（）（2分）【答案】（×）【解析】如fx=x^3在-1,1上可导但不单调
2.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=-2，b=-1，ab但a^2b^
23.若直线l与平面α平行，则直线l与平面α内的任何直线都平行（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l可能与平面α内的直线相交或异面
4.若复数z的模为1，则z的平方也为1（）（2分）【答案】（×）【解析】如z=i，|z|=1但z^2=-
15.若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n是关于n的二次函数（）（2分）【答案】（×）【解析】当公差d=0时，S_n=na_1为一次函数
五、简答题（每题5分，共15分）
1.求函数fx=e^x-2x在区间0,2上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值=1，最小值=-3【解析】fx=e^x-2，令fx=0得x=ln2，f0=1，fln2=2ln2-2≈-
0.612，f2=e^2-4≈-
1.389，故最大值=1，最小值=-
32.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点（5分）【答案】x=1【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2，fx=6x-6，f1=-60，故x=1为极大值点
3.已知向量a=1,2，b=3,-4，求向量a+b和a·b的值（5分）【答案】a+b=4,-2，a·b=-5【解析】a+b=1+3,2-4=4,-2，a·b=1×3+2×-4=-5
六、分析题（每题10分，共20分）
1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n+1=2a_n+1，求证数列是等比数列并求通项公式（10分）【证明】a_{n+1}+1=2a_n+1，故{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，即a_n+1=2^n，故a_n=2^n-
12.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，求圆的圆心和半径，并判断点P1,2是否在圆上（10分）【解】圆方程为x-1^2+y+2^2=8，圆心1,-2，半径r=√8=2√2，|PC|=√-1^2+4^2=√172√2，故P不在圆上
七、综合应用题（每题25分，共50分）
1.已知函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1时取得极大值5，在x=-1时取得极小值-1，且f0=1（25分）
（1）求a、b、c、d的值；（5分）
（2）求函数的单调区间；（10分）
（3）判断函数的图像是否经过点2,7（10分）【解】
（1）f1=a+b+c+d=5，f-1=-a+b-c+d=-1，f0=d=1，fx=3ax^2+2bx+c，f1=0，f-1=0，解得a=1，b=0，c=-3，d=1
（2）fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，fx在-∞,-1和1,+∞上递增，在-1,1上递减
（3）f2=8+0-6+1=3≠7，故不过点2,
72.已知某工厂生产某种产品的成本函数为Cx=2000+80x，收入函数为Rx=120x-
0.02x^2，其中x为产量（25分）
（1）求边际成本、边际收入和边际利润；（7分）
（2）求产量x=100时的利润函数值和边际利润；（8分）
（3）求该产品的盈亏平衡点（10分）【解】
（1）边际成本Cx=80，边际收入Rx=120-
0.04x，边际利润Px=Rx-Cx=40-
0.04x
（2）当x=100时，利润Lx=Rx-Cx=-
0.02x^2+40x-2000，L100=-
0.02×10000+40×100-2000=2000，P100=40-
0.04×100=36
（3）盈亏平衡点Rx=Cx，即120x-
0.02x^2=2000+80x，解得x=100或x=500，故盈亏平衡点为100和500件---标准答案---
一、单选题
1.A
2.C
3.B
4.B
5.A
6.A
7.A
8.B
9.D
10.C
二、多选题
1.A、D
2.A、B、C
3.B、C、D
4.C、D
5.A、C
三、填空题
1.-1,+∞；-∞,-1]
2.√
63.16；-
44.2-3i；√13
四、判断题
1.（×）
2.（×）
3.（×）
4.（×）
5.（×）
五、简答题
1.最大值=1，最小值=-
32.x=
13.a+b=4,-2，a·b=-5
六、分析题
1.见证明
2.圆心1,-2，半径2√2，P不在圆上
七、综合应用题
1.见解
2.见解。
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