数学竞赛保送真题及详细答案解析

数学竞赛保送真题及详细答案解析

一、单选题

1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则A∩B等于（）（2分）A.{1,2}B.{2,3}C.{2,4}D.{3,4}【答案】C【解析】A与B的交集是两个集合都包含的元素，即{2,4}

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】|x-1|表示x到1的距离，|x+2|表示x到-2的距离，函数最小值是这两个距离之和的最小值，即

33.若x^2-3x+1=0的两根为α、β，则α+β等于（）（2分）A.3B.-3C.1D.-1【答案】A【解析】根据韦达定理，α+β=

34.在△ABC中，若sinA=1/2，cosB=√3/2，则角C的大小是（）（2分）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】sinA=1/2，则A=30°；cosB=√3/2，则B=30°由于三角形内角和为180°，所以C=180°-30°-30°=120°

5.方程x^3-3x^2+2x=0的实数根个数是（）（1分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因式分解得xx-1x-2=0，所以实数根为x=0,x=1,x=2，共3个

6.在直角坐标系中，点Pa,b到直线x+y=1的距离是（）（2分）A.|a+b-1|B.|a-b+1|C.|a+b+1|D.|a-b-1|【答案】A【解析】点到直线的距离公式为|Ax+By+C|/√A^2+B^2，所以距离是|a+b-1|

7.若复数z=1+i，则z^2等于（）（2分）A.2B.0C.2iD.2【答案】A【解析】z^2=1+i^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i

8.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_5=9，则a_10等于（）（2分）A.17B.18C.19D.20【答案】C【解析】等差数列中，a_n=a_1+n-1d由a_5=9得1+4d=9，解得d=2所以a_10=1+92=

199.一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积是（）（2分）A.15πB.20πC.25πD.30π【答案】A【解析】侧面积公式为πrl，其中r=3，l=5，所以侧面积=15π

10.若函数fx是奇函数，且f1=2，则f-1等于（）（1分）A.1B.-2C.2D.0【答案】B【解析】奇函数满足f-x=-fx，所以f-1=-f1=-2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题是真命题？（）A.空集是任何集合的子集B.一个角的补角大于它本身C.对角线互相平分的四边形是平行四边形D.两个无理数的和一定是无理数E.等腰三角形的底角相等【答案】A、C、E【解析】空集是任何集合的子集是真命题；一个角的补角大小取决于角的大小，不一定是真命题；对角线互相平分的四边形是平行四边形是真命题；两个无理数的和可能是有理数，如√2+-√2=0，不是真命题；等腰三角形的底角相等是真命题

2.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）A.y=x^2B.y=2^xC.y=√xD.y=x^3E.y=1/x【答案】B、C、D【解析】y=x^2在x≥0时单调递增；y=2^x单调递增；y=√x单调递增；y=x^3单调递增；y=1/x单调递减

3.以下哪些数是实数？（）A.√16B.πC.2iD.

0.

1010010001...E.-3【答案】A、B、D、E【解析】√16=4是实数；π是实数；2i是虚数；

0.

1010010001...是实数；-3是实数

4.以下哪些是等比数列？（）A.1,1,1,1,...B.2,4,8,16,...C.1,-1,1,-1,...D.3,6,9,12,...E.5,5,5,5,...【答案】B、C【解析】等比数列的定义是相邻两项的比值相等B中每一项都是前一项的2倍；C中每一项都是前一项的-1倍；D是等差数列；E是常数列

5.以下哪些命题是真命题？（）A.一个三角形的三条高交于一点B.一个四边形的两条对角线互相平分，则它是平行四边形C.一个角的余角一定小于它本身D.一个圆锥的侧面积等于其底面周长乘以母线长的一半E.一个直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】A、B、D、E【解析】一个三角形的三条高交于垂心是真命题；一个四边形的两条对角线互相平分，则它是平行四边形是真命题；一个角的余角大小取决于角的大小，不一定是真命题；一个圆锥的侧面积公式为πrl，其中r是底面半径，l是母线长，所以侧面积=πr×l/2，即底面周长乘以母线长的一半是真命题；一个直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是真命题

三、填空题

1.在直角坐标系中，点P3,4到原点的距离是______（4分）【答案】5【解析】根据勾股定理，点P到原点的距离为√3^2+4^2=√9+16=√25=

52.函数fx=x^2-4x+3的顶点坐标是______（4分）【答案】2,-1【解析】函数顶点坐标公式为-b/2a,f-b/2a，所以顶点坐标为--4/21,2^2-42+3=2,-

13.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则公比q等于______（4分）【答案】2【解析】等比数列中，a_n=a_1q^n-1由a_4=16得2q^3=16，解得q=

24.若sinθ=3/5，且θ是锐角，则cosθ等于______（4分）【答案】4/5【解析】根据sin^2θ+cos^2θ=1，得cosθ=√1-sin^2θ=√1-3/5^2=√1-9/25=√16/25=4/

55.一个圆的周长是12π，则其面积是______（4分）【答案】36π【解析】圆的周长公式为2πr，所以r=12π/2π=6圆的面积公式为πr^2，所以面积=π6^2=36π

6.在直角坐标系中，直线y=2x+1的斜率是______（4分）【答案】2【解析】直线y=mx+b中，m是斜率，所以斜率是

27.若复数z=3-4i，则|z|等于______（4分）【答案】5【解析】复数模长公式为|z|=√a^2+b^2，所以|z|=√3^2+-4^2=√9+16=√25=

58.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_10=20，则a_6等于______（4分）【答案】15【解析】等差数列中，a_n=a_1+n-1d由a_10=20得5+9d=20，解得d=15/9=5/3所以a_6=5+5/36-1=5+5/35=5+25/3=40/3=15

四、判断题

1.两个相似三角形的面积比等于它们的周长比（）（2分）【答案】（×）【解析】两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方

2.一个四边形的两条对角线互相平分，则它是平行四边形（）（2分）【答案】（√）【解析】这是平行四边形的一个判定条件

3.一个角的补角一定大于它本身（）（2分）【答案】（×）【解析】一个角的补角大小取决于角的大小，不一定是真命题

4.一个圆锥的侧面积等于其底面周长乘以母线长的一半（）（2分）【答案】（√）【解析】这是圆锥侧面积的一个计算公式

5.一个直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（）（2分）【答案】（√）【解析】这是直角三角形的一个性质

五、简答题

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求f2的值（5分）【答案】f2=2^2-22+3=4-4+3=3【解析】将x=2代入函数表达式中计算即可

2.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，a_5=9，求a_10的值（5分）【答案】a_10=15【解析】等差数列中，a_n=a_1+n-1d由a_5=9得3+4d=9，解得d=3/2所以a_10=3+93/2=3+27/2=33/2=

153.已知三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，BC=10，求AC的长度（5分）【答案】AC=5√2【解析】根据三角形内角和定理，∠C=180°-60°-45°=75°根据正弦定理，AC/BC=sinB/sinA，所以AC=BCsinB/sinA=10sin45°/sin60°=10√2/2/√3/2=5√2

六、分析题

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的极值（10分）【答案】fx在x=1处取得极大值1，在x=0处取得极小值0【解析】首先求导数fx=3x^2-6x+2，令fx=0得x=1±√1/3当x1-√1/3或x1+√1/3时，fx0，函数单调递增；当1-√1/3x1+√1/3时，fx0，函数单调递减所以x=1-√1/3处取得极大值，x=1+√1/3处取得极小值计算得极大值为1，极小值为

02.已知等差数列{a_n}中，a_1=2，a_6=11，求该数列的前n项和S_n（10分）【答案】S_n=n^2+n【解析】等差数列中，a_n=a_1+n-1d由a_6=11得2+5d=11，解得d=3/5所以S_n=n/22a_1+n-1d=n/24+n-13/5=n/24+3n/5-3/5=n/217/5+3n/5=n/23n+17/5=n^2+n

七、综合应用题

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值及取得最小值时的x值（25分）【答案】最小值为3，取得最小值时x=1【解析】|x-1|表示x到1的距离，|x+2|表示x到-2的距离，函数最小值是这两个距离之和的最小值当x在-2和1之间时，距离之和最小，为3所以最小值为3，取得最小值时x=1

八、完整标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.A

4.B

5.C

6.A

7.A

8.C

9.A

10.B

二、多选题

1.A、C、E

2.B、C、D

3.A、B、D、E

4.B、C

5.A、B、D、E

三、填空题

1.

52.2,-

13.

24.4/

55.36π

6.

27.

58.15

四、判断题

1.（×）

2.（√）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.f2=

32.a_10=

153.AC=5√2

六、分析题

1.fx在x=1处取得极大值1，在x=0处取得极小值

02.S_n=n^2+n

七、综合应用题

1.最小值为3，取得最小值时x=1。