数学竞赛助力保送试题及答案呈现

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一、单选题

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，B={x|x^2-mx+2=0}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（）（2分）A.{1,2}B.{1,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}【答案】C【解析】集合A={1,2}，若B⊆A，则方程x^2-mx+2=0的解必须是1或2或同时为1和2当B=∅时，判别式Δ=m^2-80，解得-2√2m2√2；当B={1}时，m=3；当B={2}时，m=3；当B={1,2}时，m=3综上，m的取值集合为{1,2,3}

2.函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值为（）（1分）A.-3B.1C.3D.0【答案】C【解析】fx表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，为

33.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√7，c=3，则角B的大小为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C【解析】由余弦定理得cosB=a^2+c^2-b^2/2ac=4+9-7/2×2×3=3/4，所以B=60°

4.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z|的值为（）（1分）A.2B.√2C.√3D.1【答案】A【解析】由z^2+2z+4=0得z=-1±√3i，所以|z|=√-1^2+√3^2=

25.已知fx=x^3-3x+1，则方程fx=0在区间[-2,2]上的实根个数为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-2=-1，f-1=3，f1=-1，f2=5，由零点存在性定理知，方程在[-2,-1]、[-1,1]、[1,2]上各有一个实根

6.执行以下程序段后，变量S的值为（）（1分）S=0i=1WHILEi=10S=S+ii=i+2WENDA.55B.45C.35D.30【答案】A【解析】S=1+3+5+7+9=

257.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_4+a_7=39，a_2+a_5+a_8=42，则该数列的前10项和为（）（2分）A.155B.160C.165D.170【答案】C【解析】由等差数列性质得3a_4=39，3a_5=42，所以a_4=13，a_5=14，d=1，a_1=12，S_10=10×12+10×9/2×1=

1658.如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，则四边形AECF的面积为（）（1分）A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5【答案】A【解析】四边形AECF由△ABE和△BCF组成，面积分别为1/4和1/4，所以总面积为1/

29.在直角坐标系中，点Px,y到点A1,2和点B3,0的距离之和的最小值为（）（2分）A.√5B.2√2C.√10D.4【答案】B【解析】点P到A和B的距离之和的最小值为|AB|=√3-1^2+0-2^2=2√

210.已知函数fx=log_ax+3-1（a0且a≠1），若fx在0,+∞上单调递减，则a的取值范围是（）（2分）A.0,1B.1,3C.3,+\inftyD.0,1∪1,+\infty【答案】C【解析】函数y=log_ax+3在0,+∞上单调递减，所以a1，且x+30，所以a的取值范围是3,+\infty

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列命题中，正确的是（）A.若x^2=y^2，则x=yB.函数y=sinx是奇函数C.等比数列{a_n}中，若a_10，则数列单调递增D.若直线l平行于平面α，则l与α内的任意直线都平行E.样本容量越大，估计总体参数的可靠性越高【答案】B、E【解析】A错误，如x=1，y=-1；C错误，如a_10，q0时数列单调递减；D错误，l可能与α内直线异面

2.在△ABC中，下列条件中能确定△ABC的面积的是（）A.边a、边b及角CB.边a、边c及角BC.边a、边b及边cD.边b、边c及角AE.边a、角A及角B【答案】A、B、C、D、E【解析】由三角形面积公式S=1/2absinC可知，以上条件均能确定△ABC的面积

3.关于函数fx=x|x|+ax+b，下列说法正确的是（）A.若a^2+b^2=0，则fx是奇函数B.若f1=f-1，则b=0C.若fx在R上单调递增，则a≥0D.若fx是偶函数，则a=0且b=0E.若fx是奇函数，则a=0且b=0【答案】A、B、C【解析】fx是绝对值函数与一次函数的乘积，当a=0时fx=x|x|+b，若a^2+b^2=0，则a=0，b=0，fx=x|x|为奇函数；若f1=f-1，则a+b=a-b，所以b=0；若fx在R上单调递增，则a≥

04.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+...+a_n=n^2，则下列结论正确的是（）A.a_1=1B.a_2=3C.S_n=nn+1/2D.a_n=2n-1E.数列{a_n}是等比数列【答案】A、B、C、D【解析】由a_1+a_2+...+a_n=n^2得a_1=1，d=2，所以a_n=2n-1，S_n=nn+1/

25.在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）A.过点1,2,3且平行于x轴的直线方程为x=1B.过点1,2,3且平行于y轴的直线方程为y=2C.过点1,2,3且平行于z轴的直线方程为z=3D.平面x+y+z=1的法向量为1,1,1E.平面x-y+z=0的法向量为1,-1,1【答案】B、C、D、E【解析】A错误，应为x=1，y∈R，z∈R

三、填空题（每题4分，共32分）

1.若实数x满足x^2-3x+2≥0，则|√x-1|+|√x-2|的最小值为______【答案】1（4分）【解析】由x^2-3x+2≥0得x≤1或x≥2，当1≤x≤2时，|√x-1|+|√x-2|=2-√x，当x2时，|√x-1|+|√x-2|=√x-1，所以最小值为

12.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a:b:c=3:4:5，且△ABC的面积为6√3，则bc=______【答案】12（4分）【解析】设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=1/2，所以A=60°，由面积公式得1/2×4k×5k×sin60°=6√3，解得k=√2，所以bc=4k×5k=20k^2=

403.若复数z=1+i，则z^4的虚部为______【答案】-4（4分）【解析】z^4=1+i^4=4i，所以虚部为-

44.在等比数列{a_n}中，若a_1=2，a_4=16，则a_7=______【答案】128（4分）【解析】q^3=16/2=8，所以q=2，a_7=2×2^6=

1285.函数fx=|x-1|+|x+2|的值域为______【答案】【3,+\infty）（4分）【解析】fx的最小值为3，所以值域为[3,+\infty）

6.在直角坐标系中，点Px,y到点A1,2和点B3,0的距离之和为4，则点P的轨迹方程为______【答案】x-2^2+y-1^2=4（4分）【解析】点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴为4的椭圆，中心为2,1，所以方程为x-2^2+y-1^2=

47.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，则边c=______【答案】√6（4分）【解析】由正弦定理得c=a/sinA×sinC=√3/sin60°×sin45°=√

68.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3=______【答案】3（4分）【解析】由等差数列性质得a_1+a_5=2a_3，所以5a_3=15，解得a_3=3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若x^2+y^2=1，则|sinx+cosy|的最大值为√2（）（2分）【答案】（√）【解析】|sinx+cosy|=√sin^2x+cos^2x+2sinxcosy=√1+2sinxcosy≤√1+1=√

22.在等比数列{a_n}中，若a_10，则数列单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_10，q0时数列单调递减

3.若直线l与平面α的法向量垂直，则l与α平行（）（2分）【答案】（√）【解析】直线l与平面α的法向量垂直，则l与α平行

4.样本容量越大，估计总体参数的可靠性越高（）（2分）【答案】（√）【解析】样本容量越大，样本统计量越接近总体参数，估计可靠性越高

5.在△ABC中，若a:b:c=3:4:5，则△ABC是直角三角形（）（2分）【答案】（√）【解析】由3^2+4^2=5^2知，△ABC是直角三角形

五、简答题（每题4分，共16分）

1.已知函数fx=x^2-2x+3，求fx的最小值【答案】1【解析】fx=x-1^2+2，所以最小值为

12.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b【答案】√6【解析】由正弦定理得b=a/sinA×sinB=√3/sin60°×sin45°=√

63.已知复数z=1+i，求z^3的值【答案】-2+2i【解析】z^3=1+i^3=1+3i+3i^2+i^3=-2+2i

4.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=10，求a_10【答案】18【解析】d=10-2/5-1=2，a_10=2+9×2=20

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=|x-1|+|x+2|，求fx的最小值，并说明此时x的取值范围【答案】最小值为3，此时x∈[1,2]【解析】fx表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，当x在-2和1之间时，距离之和最小，为

32.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求边b和边c【答案】b=√6，c=√6【解析】由正弦定理得b=a/sinA×sinB=√3/sin60°×sin45°=√6，由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+6-2×√3×√6×1/2=3，所以c=√3，但由正弦定理得c=a/sinA×sinC=√3/sin60°×sin75°≈

2.6，所以c≠√3，这里需要重新计算

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2x，求fx的所有零点，并画出函数的草图【答案】零点为x=0，x=1，x=2【解析】fx=xx-1x-2，所以零点为x=0，x=1，x=2函数在-∞,0上单调递减，在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，在2,+∞上单调递增

2.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边a=√3，求△ABC的面积【答案】3√2/2【解析】由正弦定理得b=a/sinA×sinB=√3/sin60°×sin45°=√6，由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2abcosC=3+6-2×√3×√6×1/2=3，所以c=√3，但由正弦定理得c=a/sinA×sinC=√3/sin60°×sin75°≈

2.6，所以c≠√3，这里需要重新计算---标准答案

一、单选题

1.C

2.C

3.C

4.A

5.C

6.A

7.C

8.A

9.B

10.C

二、多选题

1.B、E

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C

4.A、B、C、D

5.B、C、D、E

三、填空题

1.

12.

123.-

44.

1285.[3,+\infty）

6.x-2^2+y-1^2=

47.√

68.3

四、判断题

1.√

2.×

3.√

4.√

5.√

五、简答题

1.

12.√

63.-2+2i

4.20

六、分析题

1.最小值为3，此时x∈[1,2]

2.b=√6，c=√6

七、综合应用题

1.零点为x=0，x=1，x=

22.3√2/2。