数学竞赛用于保送的题目与答案汇总

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一、单选题（每题2分，共20分）

1.若\x+\frac{1}{x}=2\，则\x^4+\frac{1}{x^4}\的值为（）（2分）A.16B.14C.12D.10【答案】B【解析】由\x+\frac{1}{x}=2\，得\x^2+\frac{1}{x^2}=4-2=2\进一步计算\x^4+\frac{1}{x^4}=x^2+\frac{1}{x^2}^2-2=2^2-2=2\

2.函数\fx=\frac{x^2-1}{x^2+1}\的值域为（）（2分）A.\[-1,1]\B.\-1,1\C.\[-1,1\D.\-1,1]\【答案】D【解析】设\y=fx\，则\y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\，整理得\x^2=\frac{1+y}{1-y}\由于\x^2\geq0\，所以\\frac{1+y}{1-y}\geq0\，解得\-1y\leq1\

3.在等差数列中，若\a_1=1\，\a_3=7\，则\a_5\的值为（）（2分）A.13B.15C.17D.19【答案】C【解析】设公差为\d\，则\a_3=a_1+2d=7\，解得\d=3\所以\a_5=a_1+4d=1+12=13\

4.若\\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\，则\\sin2\theta\的值为（）（2分）A.1B.0C.-1D.\\sqrt{2}\【答案】A【解析】两边平方得\\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=2\，即\1+\sin2\theta=2\，解得\\sin2\theta=1\

5.设\z=1+i\，则\\frac{1}{z}\的值为（）（2分）A.\1-i\B.\1+i\C.\-1-i\D.\-1+i\【答案】A【解析】\\frac{1}{z}=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{1+i1-i}=\frac{1-i}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\

6.不等式\|x-1|2\的解集为（）（2分）A.\-1,3\B.\-1,3]\C.\[1,3\D.\1,3\【答案】A【解析】由\|x-1|2\，得\-2x-12\，解得\-1x3\

7.在直角坐标系中，点\Pa,b\关于原点对称的点的坐标为（）（2分）A.\a,b\B.\-a,-b\C.\a,-b\D.\-a,b\【答案】B【解析】点\Pa,b\关于原点对称的点的坐标为\-a,-b\

8.若\\log_2x=3\，则\x\的值为（）（2分）A.8B.6C.5D.4【答案】A【解析】由\\log_2x=3\，得\x=2^3=8\

9.设\fx=x^3-3x+1\，则\f-1\的值为（）（2分）A.-3B.0C.2D.4【答案】D【解析】\f-1=-1^3-3-1+1=-1+3+1=3\

10.圆\x^2+y^2=4\的圆心坐标为（）（2分）A.0,0B.2,0C.0,2D.2,2【答案】A【解析】圆\x^2+y^2=4\的圆心坐标为0,0，半径为2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些函数在其定义域内是单调递增的？（）A.\y=x^2\B.\y=2x+1\C.\y=e^x\D.\y=\lnx\E.\y=\sqrt{x}\【答案】B、C、D、E【解析】\y=x^2\在\x\geq0\时单调递增，但在整个定义域内不是单调递增的\y=2x+1\是一次函数，在整个定义域内单调递增\y=e^x\在整个定义域内单调递增\y=\lnx\在\x0\时单调递增\y=\sqrt{x}\在\x\geq0\时单调递增

2.以下哪些命题是真命题？（）A.若\ab\，则\a^2b^2\B.若\a^2b^2\，则\ab\C.若\ab\，则\\frac{1}{a}\frac{1}{b}\D.若\ab\，则\a^3b^3\E.若\a^3b^3\，则\ab\【答案】D、E【解析】若\ab\，则\a^2b^2\不一定成立，例如\a=-2\，\b=-1\若\a^2b^2\，则\ab\不一定成立，例如\a=-2\，\b=-1\若\ab\，则\\frac{1}{a}\frac{1}{b}\不一定成立，例如\a=1\，\b=-1\若\ab\，则\a^3b^3\成立若\a^3b^3\，则\ab\成立

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若\\sin\alpha=\frac{3}{5}\，且\\alpha\为锐角，则\\cos\alpha\的值为______（4分）【答案】\\frac{4}{5}\【解析】由\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\，得\\left\frac{3}{5}\right^2+\cos^2\alpha=1\，解得\\cos\alpha=\frac{4}{5}\

2.在等比数列中，若\a_1=2\，\q=3\，则\a_4\的值为______（4分）【答案】54【解析】\a_4=a_1\cdotq^3=2\cdot3^3=54\

3.若\\log_3x=2\，则\x\的值为______（4分）【答案】9【解析】由\\log_3x=2\，得\x=3^2=9\

4.设\fx=x^2-4x+3\，则\f2\的值为______（4分）【答案】-1【解析】\f2=2^2-4\cdot2+3=4-8+3=-1\

5.圆\x-1^2+y+2^2=4\的圆心坐标为______（4分）【答案】1,-2【解析】圆\x-1^2+y+2^2=4\的圆心坐标为1,-2，半径为2

四、判断题（每题2分，共20分）

1.若\ab\，则\a^2b^2\（）（2分）【答案】（×）【解析】若\a=-2\，\b=-1\，则\ab\，但\a^2=4\，\b^2=1\，所以\a^2b^2\不成立

2.若\\sin\theta=\cos\theta\，则\\theta=45^\circ\（）（2分）【答案】（×）【解析】若\\sin\theta=\cos\theta\，则\\theta=45^\circ+k\cdot180^\circ\，其中\k\为整数

3.若\a\cdotb=0\，则\a=0\或\b=0\（）（2分）【答案】（√）【解析】这是乘法的零因子性质

4.若\fx=x^3-3x+1\，则\f-x=-fx\（）（2分）【答案】（×）【解析】\f-x=-x^3-3-x+1=-x^3+3x+1\，而\-fx=-x^3-3x+1=-x^3+3x-1\，所以\f-x\neq-fx\

5.若\\log_2x=\log_2y\，则\x=y\（）（2分）【答案】（√）【解析】对数函数是单调递增的，所以\\log_2x=\log_2y\等价于\x=y\

五、简答题（每题4分，共20分）

1.证明若\a+b=1\，则\a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\（4分）【解析】由\a+b=1\，得\b=1-a\所以\a^2+b^2=a^2+1-a^2=a^2+1-2a+a^2=2a^2-2a+1\令\fa=2a^2-2a+1\，则\fa=2a^2-a+1=2\lefta^2-a+\frac{1}{4}\right-\frac{1}{2}+1=2\lefta-\frac{1}{2}\right^2+\frac{1}{2}\因为\\lefta-\frac{1}{2}\right^2\geq0\，所以\fa\geq\frac{1}{2}\

2.求函数\fx=x^3-3x+1\的单调区间（4分）【解析】求导数\fx=3x^2-3\令\fx=0\，得\3x^2-3=0\，解得\x=\pm1\当\x-1\时，\fx0\，函数单调递增；当\-1x1\时，\fx0\，函数单调递减；当\x1\时，\fx0\，函数单调递增所以函数的单调递增区间为\-\infty,-1\和\1,+\infty\，单调递减区间为\-1,1\

3.证明等差数列的前\n\项和公式\S_n=\frac{n}{2}a_1+a_n\（4分）【解析】等差数列的前\n\项和为\S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\将\S_n\逆序相加得\S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\两式相加得\2S_n=a_1+a_n+a_2+a_{n-1}+\cdots+a_n+a_1=na_1+a_n\所以\S_n=\frac{n}{2}a_1+a_n\

4.求圆\x^2+y^2-4x+6y-3=0\的圆心和半径（4分）【解析】将方程\x^2+y^2-4x+6y-3=0\配方得\x^2-4x+4+y^2+6y+9=3+4+9\，即\x-2^2+y+3^2=16\所以圆心为2,-3，半径为

45.证明若\a0\，\b0\，则\a+b\geq2\sqrt{ab}\（4分）【解析】令\fx=\lnx\，则\fx=\frac{1}{x}\由对数函数的凹性，得\f\left\frac{a+b}{2}\right\leq\frac{fa+fb}{2}\，即\\ln\left\frac{a+b}{2}\right\leq\frac{\lna+\lnb}{2}\，即\\lna+b\leq\lnab\，即\a+b\leqab\所以\a+b\geq2\sqrt{ab}\

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析函数\fx=\frac{x^2-1}{x^2+1}\的单调性和值域（10分）【解析】求导数\fx=\frac{2xx^2+1-x^2-12x}{x^2+1^2}=\frac{2xx^2+1-x^2+1}{x^2+1^2}=\frac{4x}{x^2+1^2}\令\fx=0\，得\x=0\当\x0\时，\fx0\，函数单调递减；当\x0\时，\fx0\，函数单调递增所以函数的单调递减区间为\-\infty,0\，单调递增区间为\0,+\infty\值域为\[-1,1\

2.分析函数\fx=x^3-3x+1\的极值点（10分）【解析】求导数\fx=3x^2-3\令\fx=0\，得\x=\pm1\当\x-1\时，\fx0\，函数单调递增；当\-1x1\时，\fx0\，函数单调递减；当\x1\时，\fx0\，函数单调递增所以\x=-1\为极大值点，\x=1\为极小值点

七、综合应用题（每题25分，共25分）

1.设\a\和\b\是方程\x^2-px+q=0\的两个实根，且\a+b=4\，\ab=3\，求\p\和\q\的值（25分）【解析】由韦达定理，得\a+b=p\，\ab=q\所以\p=4\，\q=3\最后一页附完整标准答案

一、单选题

1.B

2.D

3.A

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.D

10.A

二、多选题

1.B、C、D、E

2.D、E

三、填空题

1.\\frac{4}{5}\

2.

543.

94.-

15.1,-2

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（√）

4.（×）

5.（√）

五、简答题

1.证明若\a+b=1\，则\a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\解析由\a+b=1\，得\b=1-a\所以\a^2+b^2=a^2+1-a^2=a^2+1-2a+a^2=2a^2-2a+1\令\fa=2a^2-2a+1\，则\fa=2a^2-a+1=2\lefta^2-a+\frac{1}{4}\right-\frac{1}{2}+1=2\lefta-\frac{1}{2}\right^2+\frac{1}{2}\因为\\lefta-\frac{1}{2}\right^2\geq0\，所以\fa\geq\frac{1}{2}\

2.求函数\fx=x^3-3x+1\的单调区间解析求导数\fx=3x^2-3\令\fx=0\，得\x=\pm1\当\x-1\时，\fx0\，函数单调递增；当\-1x1\时，\fx0\，函数单调递减；当\x1\时，\fx0\，函数单调递增所以函数的单调递增区间为\-\infty,-1\和\1,+\infty\，单调递减区间为\-1,1\

3.证明等差数列的前\n\项和公式\S_n=\frac{n}{2}a_1+a_n\解析等差数列的前\n\项和为\S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\将\S_n\逆序相加得\S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1\两式相加得\2S_n=a_1+a_n+a_2+a_{n-1}+\cdots+a_n+a_1=na_1+a_n\所以\S_n=\frac{n}{2}a_1+a_n\

4.求圆\x^2+y^2-4x+6y-3=0\的圆心和半径解析将方程\x^2+y^2-4x+6y-3=0\配方得\x^2-4x+4+y^2+6y+9=3+4+9\，即\x-2^2+y+3^2=16\所以圆心为2,-3，半径为

45.证明若\a0\，\b0\，则\a+b\geq2\sqrt{ab}\解析令\fx=\lnx\，则\fx=\frac{1}{x}\由对数函数的凹性，得\f\left\frac{a+b}{2}\right\leq\frac{fa+fb}{2}\，即\\ln\left\frac{a+b}{2}\right\leq\frac{\lna+\lnb}{2}\，即\\lna+b\leq\lnab\，即\a+b\leqab\所以\a+b\geq2\sqrt{ab}\

六、分析题

1.分析函数\fx=\frac{x^2-1}{x^2+1}\的单调性和值域解析求导数\fx=\frac{2xx^2+1-x^2-12x}{x^2+1^2}=\frac{2xx^2+1-x^2+1}{x^2+1^2}=\frac{4x}{x^2+1^2}\令\fx=0\，得\x=0\当\x0\时，\fx0\，函数单调递减；当\x0\时，\fx0\，函数单调递增所以函数的单调递减区间为\-\infty,0\，单调递增区间为\0,+\infty\值域为\[-1,1\

2.分析函数\fx=x^3-3x+1\的极值点解析求导数\fx=3x^2-3\令\fx=0\，得\x=\pm1\当\x-1\时，\fx0\，函数单调递增；当\-1x1\时，\fx0\，函数单调递减；当\x1\时，\fx0\，函数单调递增所以\x=-1\为极大值点，\x=1\为极小值点

七、综合应用题

1.设\a\和\b\是方程\x^2-px+q=0\的两个实根，且\a+b=4\，\ab=3\，求\p\和\q\的值解析由韦达定理，得\a+b=p\，\ab=q\所以\p=4\，\q=3\。