数学考研三试题及答案汇总

数学考研三试题及答案汇总

一、单选题（每题2分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处不可导的是（）（2分）A.fx=x^2B.fx=|x|C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】B【解析】fx=|x|在x=0处不可导，因为其导数左右极限不相等

2.极限limx→0sinx/x的值为（）（2分）A.0B.1C.∞D.不存在【答案】B【解析】利用极限基本公式limx→0sinx/x=

13.下列级数中，收敛的是（）（2分）A.∑n=1to∞1/nB.∑n=1to∞1/n^2C.∑n=1to∞sin1/nD.∑n=1to∞lnn【答案】B【解析】p-级数测试，p=2时收敛

4.若函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则根据罗尔定理，至少存在一个点ξ∈a,b，使得（）（2分）A.fξ=0B.fξ=1C.fξ=0D.fξ=ξ【答案】A【解析】罗尔定理的结论是存在ξ使得fξ=

05.下列积分中，值为0的是（）（2分）A.∫[0,π]sinxdxB.∫[0,2π]sinxdxC.∫[0,π/2]cosxdxD.∫[0,1]xdx【答案】B【解析】∫[0,2π]sinxdx=0，因为sinx在[0,2π]上对称

6.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的逆矩阵为（）（2分）A.[[4,-2],[-3,1]]B.[[-4,2],[3,-1]]C.[[-1,2],[3,4]]D.[[1,-2],[-3,4]]【答案】A【解析】通过矩阵求逆公式计算得到

7.下列向量组中，线性无关的是（）（2分）A.{1,0,2,0}B.{1,1,2,2}C.{1,0,0,1}D.{1,1,1,-1}【答案】D【解析】向量组{1,1,1,-1}的行列式不为0，线性无关

8.设事件A和事件B互斥，PA=

0.3，PB=

0.4，则PA∪B=（）（2分）A.

0.1B.

0.7C.

0.8D.

0.9【答案】B【解析】互斥事件的概率加法公式，PA∪B=PA+PB=

0.

79.一个袋中有5个红球和3个白球，从中随机抽取2个球，抽到2个红球的概率为（）（2分）A.5/8B.3/8C.5/24D.3/24【答案】C【解析】组合概率计算，C5,2/C8,2=5/

2410.下列方程中，不是线性微分方程的是（）（2分）A.y+y=sinxB.y+y^2=xC.y-3y+2y=0D.y=y+e^x【答案】B【解析】y+y^2=x含有非线性项y^2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在x=0处可导的是（）（4分）A.fx=x^3B.fx=|x|^3C.fx=e^xD.fx=sinx【答案】A、C、D【解析】fx=x^3在x=0处可导，fx=|x|^3不可导，fx=e^x和fx=sinx在x=0处也可导

2.下列级数中，收敛的是（）（4分）A.∑n=1to∞1/n^pp1B.∑n=1to∞1/nlognC.∑n=1to∞1/n^2D.∑n=1to∞sin1/n^2【答案】A、C、D【解析】p-级数测试和比较测试，A、C、D收敛

3.下列矩阵中，可逆的是（）（4分）A.[[1,2],[3,4]]B.[[1,0],[0,0]]C.[[2,3],[4,6]]D.[[1,1],[2,2]]【答案】A【解析】矩阵可逆的充要条件是行列式不为0，只有A的行列式不为

04.下列向量组中，线性相关的是（）（4分）A.{1,0,0,1}B.{1,1,2,2}C.{1,0,1,1}D.{1,1,1,-1}【答案】B、D【解析】向量组{1,1,2,2}和{1,1,1,-1}线性相关

5.下列命题中，正确的是（）（4分）A.若PA=0，则A是必然事件B.若A⊆B，则PA≤PBC.若A和B独立，则PA∪B=PA+PBD.若A和B互斥，则PA∪B=PA+PB【答案】B、D【解析】根据概率的性质，B和D正确

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若limx→2fx-4/x-2=3，则f2=______（4分）【答案】3【解析】利用导数定义，f2=limx→2fx-f2/x-2=

32.若函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则根据罗尔定理，至少存在一个点ξ∈a,b，使得fξ=______（4分）【答案】0【解析】罗尔定理的结论是存在ξ使得fξ=

03.若向量α=1,2,3，β=4,5,6，则α·β=______（4分）【答案】32【解析】向量点积计算，α·β=1×4+2×5+3×6=

324.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则detA=______（4分）【答案】-2【解析】矩阵行列式计算，detA=1×4-2×3=-

25.若事件A和事件B互斥，PA=

0.3，PB=

0.4，则PA∪B=______（4分）【答案】

0.7【解析】互斥事件的概率加法公式，PA∪B=PA+PB=

0.7

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处可导，则fx在x=c处必连续（）（2分）【答案】（√）【解析】可导必连续

2.若级数∑a_n收敛，则级数∑a_n^2也收敛（）（2分）【答案】（√）【解析】绝对收敛则平方后仍收敛

3.若矩阵A可逆，则其转置矩阵A^T也可逆（）（2分）【答案】（√）【解析】可逆矩阵的转置也可逆

4.若事件A和B独立，则PA∩B=PAPB（）（2分）【答案】（√）【解析】独立事件的乘法公式

5.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）（2分）【答案】（√）【解析】连续函数在闭区间上有界

五、简答题（每题5分，共15分）

1.请简述罗尔定理的条件和结论（5分）【答案】罗尔定理的条件是函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb结论是在a,b内至少存在一个点ξ，使得fξ=

02.请简述向量组线性相关的定义（5分）【答案】向量组α_1,α_2,...,α_n线性相关是指存在不全为0的常数c_1,c_2,...,c_n，使得c_1α_1+c_2α_2+...+c_nα_n=

03.请简述概率的加法公式和乘法公式（5分）【答案】加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B乘法公式若A和B独立，则PA∩B=PAPB；若A和B不独立，则PA∩B=PA|BPB

六、分析题（每题10分，共20分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，在0,1内可导，且满足f0=0，f1=1证明存在一个点ξ∈0,1，使得fξ=1（10分）【答案】证明构造函数gx=fx-x，则gx在[0,1]上连续，在0,1内可导g0=f0-0=0，g1=f1-1=0根据罗尔定理，存在ξ∈0,1，使得gξ=0即fξ-1=0，即fξ=

12.设向量组α_1,α_2,α_3线性无关，β_1=α_1+α_2，β_2=α_2+α_3，β_3=α_3+α_1证明向量组β_1,β_2,β_3线性无关（10分）【答案】证明假设β_1,β_2,β_3线性相关，则存在不全为0的常数c_1,c_2,c_3，使得c_1β_1+c_2β_2+c_3β_3=0即c_1α_1+α_2+c_2α_2+α_3+c_3α_3+α_1=0整理得c_1+c_3α_1+c_1+c_2α_2+c_2+c_3α_3=0由于α_1,α_2,α_3线性无关，系数必全为0解方程组c_1+c_3=0c_1+c_2=0c_2+c_3=0解得c_1=c_2=c_3=0，与假设矛盾故β_1,β_2,β_3线性无关

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,π]上连续，在0,π内可导，且满足∫[0,π]fxcosxdx=0证明存在一个点ξ∈0,π，使得fξ=0（25分）【答案】证明构造函数Fx=∫[0,x]ftcostdt，则Fx在[0,π]上连续，在0,π内可导Fx=fxcosx根据题意，F0=0，Fπ=∫[0,π]ftcostdt=0根据罗尔定理，存在ξ∈0,π，使得Fξ=0即fξcosξ=0由于cosξ在0,π内不为0，必有fξ=0再构造函数gx=fx，则gx在[0,π]上连续，在0,π内可导，且gξ=0根据费马定理，存在ξ∈0,π，使得fξ=

02.设向量组α_1,α_2,α_3线性无关，β_1=α_1+α_2，β_2=α_2+α_3，β_3=α_3+α_1证明向量组β_1,β_2,β_3线性无关，并求其秩（25分）【答案】证明假设β_1,β_2,β_3线性相关，则存在不全为0的常数c_1,c_2,c_3，使得c_1β_1+c_2β_2+c_3β_3=0即c_1α_1+α_2+c_2α_2+α_3+c_3α_3+α_1=0整理得c_1+c_3α_1+c_1+c_2α_2+c_2+c_3α_3=0由于α_1,α_2,α_3线性无关，系数必全为0解方程组c_1+c_3=0c_1+c_2=0c_2+c_3=0解得c_1=c_2=c_3=0，与假设矛盾故β_1,β_2,β_3线性无关向量组β_1,β_2,β_3的秩为3---标准答案

一、单选题

1.B

2.B

3.B

4.A

5.B

6.A

7.D

8.B

9.C

10.B

二、多选题

1.A、C、D

2.A、C、D

3.A

4.B、D

5.B、D

三、填空题

1.

32.

03.

324.-

25.

0.7

四、判断题

1.（√）

2.（√）

3.（√）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.罗尔定理的条件是函数fx在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb结论是在a,b内至少存在一个点ξ，使得fξ=

02.向量组α_1,α_2,...,α_n线性相关是指存在不全为0的常数c_1,c_2,...,c_n，使得c_1α_1+c_2α_2+...+c_nα_n=

03.加法公式PA∪B=PA+PB-PA∩B乘法公式若A和B独立，则PA∩B=PAPB；若A和B不独立，则PA∩B=PA|BPB

六、分析题

1.证明构造函数gx=fx-x，则gx在[0,1]上连续，在0,1内可导g0=0，g1=0根据罗尔定理，存在ξ∈0,1，使得gξ=0即fξ-1=0，即fξ=

12.证明假设β_1,β_2,β_3线性相关，则存在不全为0的常数c_1,c_2,c_3，使得c_1β_1+c_2β_2+c_3β_3=0即c_1α_1+α_2+c_2α_2+α_3+c_3α_3+α_1=0整理得c_1+c_3α_1+c_1+c_2α_2+c_2+c_3α_3=0由于α_1,α_2,α_3线性无关，系数必全为0解方程组得c_1=c_2=c_3=0，与假设矛盾故β_1,β_2,β_3线性无关

七、综合应用题

1.证明构造函数Fx=∫[0,x]ftcostdt，则Fx在[0,π]上连续，在0,π内可导Fx=fxcosx根据题意，F0=0，Fπ=0根据罗尔定理，存在ξ∈0,π，使得Fξ=0即fξcosξ=0由于cosξ在0,π内不为0，必有fξ=0再构造函数gx=fx，则gx在[0,π]上连续，在0,π内可导，且gξ=0根据费马定理，存在ξ∈0,π，使得fξ=

02.证明假设β_1,β_2,β_3线性相关，则存在不全为0的常数c_1,c_2,c_3，使得c_1β_1+c_2β_2+c_3β_3=0即c_1α_1+α_2+c_2α_2+α_3+c_3α_3+α_1=0整理得c_1+c_3α_1+c_1+c_2α_2+c_2+c_3α_3=0由于α_1,α_2,α_3线性无关，系数必全为0解方程组得c_1=c_2=c_3=0，与假设矛盾故β_1,β_2,β_3线性无关向量组β_1,β_2,β_3的秩为3。