数学考研拔高试题及详细答案

数学考研拔高试题及详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得fξ=0（）A.正确B.错误【答案】A【解析】根据罗尔定理，满足条件

2.若级数∑_{n=1}^∞u_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞u_n^2收敛性如何？（）A.收敛B.发散C.不确定【答案】A【解析】若级数收敛，则其通项趋于0，平方后仍收敛

3.函数fx=lnx+1在x=0处的泰勒展开式为（）A.∑_{n=1}^∞-1^n+1x^nB.∑_{n=1}^∞-1^nx^nC.∑_{n=1}^∞x^nD.∑_{n=1}^∞-1^n+1x^n/n【答案】D【解析】泰勒展开式为∑_{n=1}^∞-1^n+1x^n/n

4.设A为n阶矩阵，且A可逆，则A^^-1等于（）A.A^-1B.-A^-1C.-1^nA^-1D.A【答案】C【解析】伴随矩阵的逆等于其行列式的倒数乘以原矩阵的转置

5.设z=fx,y在点x_0,y_0处可微，且∂f/∂x|x_0,y_0=0，∂f/∂y|x_0,y_0=0，则z在点x_0,y_0处（）A.必取极值B.必不取极值C.可能取极值D.以上都不对【答案】C【解析】驻点不一定是极值点

6.设函数fx在[0,1]上连续，在0,1内可导，且f0=f1=0，则至少存在一点ξ∈0,1，使得fξ=2ξ（）A.正确B.错误【答案】A【解析】根据拉格朗日中值定理，存在ξ使得fξ=f1-f0/1-0=2ξ

7.设A为n阶矩阵，且A^2=A，则A+E^100等于（）A.AB.0C.A+ED.E【答案】C【解析】由A^2=A，得A+E^100=∑_{k=0}^{100}C_{100}^kA^kE^{100-k}=A+E

8.设z=fx,y在点x_0,y_0处沿方向l=αi+βj取方向导数，且方向导数为0，则（）A.∂f/∂x|x_0,y_0=0B.∂f/∂y|x_0,y_0=0C.∇fx_0,y_0=0D.以上都不对【答案】D【解析】方向导数为0不一定意味着偏导数为

09.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞|a_n|收敛性如何？（）A.收敛B.发散C.不确定【答案】C【解析】绝对收敛则条件收敛

10.设函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则fx在a,b内至少存在一个点ξ，使得fξ=0（）A.正确B.错误【答案】A【解析】根据罗尔定理，满足条件

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下哪些命题正确？（）A.若级数∑_{n=1}^∞a_n绝对收敛，则∑_{n=1}^∞a_n收敛B.若级数∑_{n=1}^∞a_n条件收敛，则∑_{n=1}^∞|a_n|发散C.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界D.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界E.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必可积【答案】A、B、D、E【解析】绝对收敛则收敛，条件收敛则绝对值级数发散，可积函数必有界，连续函数必可积

2.以下哪些属于一阶微分方程？（）A.y+3y=2xB.y=xyC.y+y=xD.xdy-ydx=0E.y-y=0【答案】A、B、D、E【解析】y+y=x是二阶微分方程

3.以下哪些矩阵可逆？（）A.零矩阵B.满秩矩阵C.行列式不为0的矩阵D.正交矩阵E.对角矩阵【答案】B、C、D【解析】零矩阵不可逆，行列式不为0的矩阵可逆，正交矩阵可逆

4.以下哪些命题正确？（）A.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界B.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界C.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必可积D.若函数fx在[a,b]上黎曼可积，则fx在[a,b]上必有界E.若函数fx在[a,b]上黎曼可积，则fx在[a,b]上连续【答案】A、B、C、D【解析】连续函数必有界、可积，可积函数必有界，连续函数必可积

5.以下哪些级数收敛？（）A.∑_{n=1}^∞1/nB.∑_{n=1}^∞1/n^2C.∑_{n=1}^∞-1^n/nD.∑_{n=1}^∞1/n+1E.∑_{n=1}^∞-1^n/n+1【答案】B、C、E【解析】p-级数当p1时收敛，交错级数满足条件时收敛

三、填空题（每题4分，共20分）

1.设函数fx=x^3-3x+1，则fx在x=0处的泰勒展开式为______【答案】1-3x+3x^2-x^

32.若级数∑_{n=1}^∞a_n收敛，则级数∑_{n=1}^∞a_n^2收敛性为______【答案】收敛

3.设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A^|=______【答案】

44.设函数z=fx,y在点1,1处沿方向l=2i+j取方向导数为3，则∂f/∂x|_1,1=______，∂f/∂y|_1,1=______【答案】1，

25.若函数fx在[a,b]上连续，在a,b内可导，且fa=fb，则至少存在一点ξ∈a,b，使得______【答案】fξ=0

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若级数∑_{n=1}^∞a_n绝对收敛，则∑_{n=1}^∞a_n收敛（）【答案】（√）【解析】绝对收敛则收敛

2.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】连续函数在闭区间上必有界

3.若函数fx在[a,b]上可积，则fx在[a,b]上必有界（）【答案】（√）【解析】可积函数必有界

4.若函数fx在[a,b]上连续，则fx在[a,b]上必可积（）【答案】（√）【解析】连续函数必可积

5.若函数fx在[a,b]上黎曼可积，则fx在[a,b]上连续（）【答案】（×）【解析】黎曼可积不一定连续

五、简答题（每题5分，共15分）

1.简述罗尔定理的条件和结论【答案】条件函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间a,b内可导，且fa=fb结论在a,b内至少存在一点ξ，使得fξ=

02.简述泰勒级数的定义和意义【答案】定义函数fx在点x_0处展开的幂级数意义用多项式逼近函数，便于计算和分析

3.简述矩阵可逆的条件【答案】条件矩阵为方阵，且行列式不为0

六、分析题（每题10分，共20分）

1.分析级数∑_{n=1}^∞1/n^p的收敛性【答案】当p1时收敛，当0p≤1时条件收敛，当p≤0时发散

2.分析函数fx=x^3-3x在[-2,2]上的极值点【答案】fx=3x^2-3，令fx=0得x=±1，f-1=2，f1=-2，f-2=-8，f2=8，极大值点为x=-1，极小值点为x=1

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.设函数fx在[0,1]上连续，在0,1内可导，且f0=f1=0，证明至少存在一点ξ∈0,1，使得fξ=2ξ【证明】令gx=fx-x^2，则g0=g1=0，根据罗尔定理，存在ξ∈0,1，使得gξ=0，即fξ-2ξ=0，得fξ=2ξ

2.设矩阵A为3阶矩阵，且|A|=2，A^为A的伴随矩阵，求A^的行列式【解】|A^|=|A|^n-1=|A|^2=4。