数学计算大赛试题附详细答案

数学计算大赛试题附详细答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则下列说法正确的是（）（2分）A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b^2-4ac=0D.a0,b^2-4ac0【答案】C【解析】函数fx=ax^2+bx+c开口向上，则a0；顶点在x轴上，则b^2-4ac=0选项C正确

2.已知集合A={x|-1x3},B={x|x1},则集合A∩B等于（）（2分）A.{x|-1x1}B.{x|1x3}C.{x|x-1}D.{x|x3}【答案】B【解析】集合A与集合B的交集为同时满足-1x3和x1的所有x，即1x

33.计算√18+√50-√8的值等于（）（2分）A.5√2B.7√2C.9√2D.11√2【答案】B【解析】√18=3√2，√50=5√2，√8=2√2，所以原式=3√2+5√2-2√2=6√

24.不等式3x-72x+5的解集为（）（2分）A.x12B.x12C.x-12D.x-12【答案】A【解析】移项得3x-2x5+7，即x

125.在直角三角形中，若一个锐角为30°，则另一个锐角的度数为（）（2分）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】直角三角形的三个内角和为180°，其中一个角为90°，另一个锐角为180°-90°-30°=60°

6.若直线y=kx+b与x轴相交于点2,0，则k的取值范围是（）（2分）A.k=0B.k≠0C.k0D.k0【答案】B【解析】直线与x轴相交，则y=0，即kx+b=0，k≠

07.计算1-i^2的值等于（）（2分）A.2iB.-2iC.1-2iD.-1+2i【答案】D【解析】1-i^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i

8.函数fx=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是（）（2分）A.0B.1C.2D.-1【答案】B【解析】函数fx=|x-1|在x=1时取得最小值0，但在区间[0,2]上最小值为

19.若一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则其侧面积为（）（2分）A.15πB.20πC.30πD.45π【答案】A【解析】圆锥的侧面积公式为πrl，其中r为底面半径，l为母线长，所以侧面积为π35=15π

10.计算limx→∞3x^2+2x+1/x^2-5x+6的值等于（）（2分）A.0B.3C.5D.∞【答案】B【解析】分子分母同时除以x^2，得到limx→∞3+2/x+1/x^2/1-5/x+6/x^2=3

二、多选题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在定义域内单调递增的有（）（4分）A.y=x^2B.y=2x+1C.y=e^xD.y=logx【答案】B、C、D【解析】y=2x+1是一次函数，斜率为正，单调递增；y=e^x是指数函数，单调递增；y=logx是对数函数，单调递增y=x^2是二次函数，不单调

2.下列命题中，正确的有（）（4分）A.若ab，则a^2b^2B.若a^2b^2，则abC.若ab，则1/a1/bD.若ab0，则√a√b【答案】C、D【解析】若ab，则1/a1/b；若ab0，则√a√b其他选项不一定成立

3.下列等式中，正确的有（）（4分）A.a+b^2=a^2+b^2B.a-b^2=a^2-2ab+b^2C.a^2-b^2=a+ba-bD.a+b^3=a^3+b^3【答案】B、C【解析】a-b^2=a^2-2ab+b^2；a^2-b^2=a+ba-b其他选项错误

4.下列图形中，是轴对称图形的有（）（4分）A.等腰三角形B.平行四边形C.等边三角形D.梯形【答案】A、C【解析】等腰三角形和等边三角形是轴对称图形平行四边形和梯形一般不是

5.下列说法中，正确的有（）（4分）A.所有的等差数列都是等比数列B.所有的等比数列都是等差数列C.等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1dD.等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1【答案】C、D【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d；等比数列的通项公式为a_n=a_1q^n-1其他选项错误

三、填空题（每题4分，共20分）

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像经过点1,2和2,3，且对称轴为x=1，则a=______，b=______，c=______（4分）【答案】-1，1，2【解析】对称轴为x=1，则顶点为1,k，代入f1=2得a+b+c=2；代入f2=3得4a+2b+c=3；联立方程解得a=-1，b=1，c=

22.在直角三角形中，若两条直角边的长分别为6和8，则斜边的长为______（4分）【答案】10【解析】根据勾股定理，斜边长为√6^2+8^2=√100=

103.计算∫_0^1x^2dx的值等于______（4分）【答案】1/3【解析】∫_0^1x^2dx=[x^3/3]_0^1=1/

34.在等比数列中，若首项为2，公比为3，则第5项的值为______（4分）【答案】48【解析】第5项的值为23^5-1=

485.若方程x^2-mx+1=0的两个实根之积为3，则m的值为______（4分）【答案】±2√3【解析】根据韦达定理，两根之积为1，即1=3，解得m=±2√3

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】反例a=-1，b=-2，则ab，但a^2=14=b^

22.所有的对数函数都是单调递增的（）（2分）【答案】（×）【解析】对数函数y=log_ax当a1时单调递增，当0a1时单调递减

3.若x^2=9，则x=3（）（2分）【答案】（×）【解析】x^2=9的解为x=±

34.圆的任意一条直径都是它的对称轴（）（2分）【答案】（√）【解析】圆的任意一条直径都是它的对称轴

5.所有的三角函数都是周期函数（）（2分）【答案】（√）【解析】正弦函数、余弦函数、正切函数等都是周期函数

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值（5分）【答案】最小值为3，当x=-2时取得【解析】函数fx=|x-1|+|x+2|在x=-2时取得最小值

32.求不等式2x-3x+4的解集（5分）【答案】x7【解析】移项得2x-x4+3，即x

73.求等差数列3,7,11,...的第10项的值（5分）【答案】39【解析】等差数列的通项公式为a_n=a_1+n-1d，其中a_1=3，d=4，所以a_10=3+10-14=39

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的极值点（10分）【答案】极值点为x=1【解析】fx=3x^2-6x，令fx=0得x=0或x=2fx=6x-6，f1=0，所以x=1为极值点

2.已知直线l1:y=2x+1和直线l2:y=-x+4，求l1和l2的交点坐标（10分）【答案】交点坐标为1,3【解析】联立方程组y=2x+1y=-x+4解得x=1，y=3

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，求圆锥的侧面积和体积（25分）【答案】侧面积为15π，体积为9π【解析】侧面积公式为πrl，其中r=3，l=5，所以侧面积为π35=15π体积公式为V=1/3πr^2h，其中h=√l^2-r^2=√25-9=4，所以体积为1/3π3^24=9π

2.已知等差数列的首项为2，公差为3，求前n项和S_n及前10项和（25分）【答案】S_n=3n^2-n，S_10=155【解析】等差数列的前n项和公式为S_n=n/22a_1+n-1d，其中a_1=2，d=3，所以S_n=n/24+3n-1=3n^2-n前10项和S_10=310^2-10=155---标准答案

一、单选题

1.C

2.B

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.B

9.A

10.B

二、多选题

1.B、C、D

2.C、D

3.B、C

4.A、C

5.C、D

三、填空题

1.-1，1，

22.

103.1/

34.

485.±2√3

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最小值为3，当x=-2时取得

2.x

73.39

六、分析题

1.极值点为x=

12.交点坐标为1,3

七、综合应用题

1.侧面积为15π，体积为9π

2.S_n=3n^2-n，S_10=155。