数学高考综合拔高试题及参考答案

数学高考综合拔高试题及参考答案

一、单选题（每题2分，共20分）

1.若函数fx=a^x+bx+1在x=1时取得极值，则a的值为（）（2分）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】fx=a^xlna+b，f1=alna+b=0，lna=-b/a，只有a=2时，b=-2ln2符合条件

2.直线y=kx+1与圆x^2+y^2-2x+4y-3=0相交于A、B两点，若|AB|=2√3，则k的值为（）（2分）A.-√3/3B.√3/3C.-√3D.√3【答案】C【解析】圆心1,-2，半径√1+4+3=√8=2√2，设弦心距为d，则d=√8-3=√5，由弦长公式2√r^2-d^2=2√3，得√5=√3，解得k=-√

33.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_nS_{n-1}（n≥2），则a_5的值为（）（2分）A.4095B.2047C.1023D.512【答案】A【解析】a_2=S_1S_0=10=0，a_3=S_2S_1=1+01=1，a_4=S_3S_2=1+11=2，a_5=S_4S_3=1+1+12=

64.函数fx=sinωx+φ（ω0，|φ|π/2）的图像关于直线x=π/4对称，且最小正周期为π，则φ的值为（）（2分）A.π/4B.π/8C.3π/8D.5π/8【答案】C【解析】周期T=2π/ω=π，ω=2，图像关于x=π/4对称，则2π/4-φ=kπ+π/2，k∈Z，解得φ=3π/

85.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=√3，b=2，C=π/3，则cosB的值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.√7/4D.√7/2【答案】C【解析】由正弦定理a/sinA=b/sinB，得√3/sinπ/3=2/sinB，sinB=1，B=π/2，cosB=√1-sin^2B=√7/

46.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z|的值为（）（2分）A.2B.√2C.√3D.4【答案】A【解析】z=-1±√3i，|z|=√-1^2+√3^2=

27.执行下列程序框图，若输入的n为10，则输出的S的值为（）（2分）```S=1i=1WHILEi=nS=S+ii=i+2ENDWHILE```A.55B.45C.36D.25【答案】A【解析】S=1+3+5+7+9=

258.某校高三年级有6个班级，每班选出正副班长各1名，则该校高三年级共有（）种不同的选法（2分）A.36B.72C.144D.288【答案】D【解析】6×2×2=

2889.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是边长为1的等边三角形，D为BC的中点，则AA1与CD所成角的余弦值为（）（2分）A.1/2B.√3/2C.√2/2D.√3/3【答案】D【解析】cosAA1,CD=|AA1||CD|/|AA1CD|=√3/

310.已知x≠0，则x^2023+x^2022+x^2021+x^2020/x^2024+x^2023+x^2022+x^2021的最简分式为（）（2分）A.x^3+x^2+x+1B.x^3-x^2-x-1C.x^3+x^2-x-1D.x^3-x^2+x-1【答案】B【解析】原式=x^2020x^3+x^2+x+1/x^2020x^4+x^3+x^2+x=x^3+x^2+x+1/x^4+x^3+x^2+x=x^3-x^2-x-1

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下命题中，正确的是（）（4分）A.若函数fx在x=c处取得极大值，则fc=0B.若fx是偶函数，则fx是奇函数C.若数列{a_n}单调递增，则存在常数d0，使得a_{n+1}-a_n≥dD.若x_1，x_2是方程ax^2+bx+c=0a≠0的两根，则x_1+x_2=-b/a【答案】A、B、D【解析】A正确，极值点处导数为0；B正确，f-x=-fx；C错误，单调递增不一定是等差数列；D正确，韦达定理

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，则下列说法正确的是（）（4分）A.fx在-∞,1上单调递增B.fx在1,2上单调递减C.fx在2,+∞上单调递增D.fx有三个不同的零点【答案】A、B、D【解析】fx=3x^2-6x，x=0，2，fx在-∞,0单调递增，0,2单调递减，2,+∞单调递增，f0=2，f1=0，f2=-2，有三个零点

3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若C=π/2，则下列结论正确的是（）（4分）A.a^2+b^2=c^2B.sinA/sinB=a/bC.abc=abcD.cotA/cotB=a/b【答案】A、B、D【解析】C为直角，勾股定理成立，正弦定理成立，余弦定理成立

4.已知函数fx=log_ax+1（a1），若fx在0,1上单调递减，则实数a的取值范围是（）（4分）A.1,2B.2,∞C.0,1D.1,∞【答案】B【解析】fx=1/lnax+10，lna0，a1，a

25.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，a_4+a_5+a_6=3，则数列的前10项和S_10的值为（）（4分）A.90B.60C.45D.30【答案】A【解析】3a_1+6d=15，3a_1+9d=3，d=-2，a_1=9，S_10=109+109-2=90

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知x^2+px+q=0的两根为α、β，且|α-β|=3，则p^2-4q的值为________（4分）【答案】5【解析】α-β^2=α+β^2-4αβ=p^2-4q=9，p^2-4q=

52.已知圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则过点1,2的圆C的切线方程为________（4分）【答案】x-y+1=0【解析】圆心1,-2，半径√8=2√2，过1,2的切线斜率为-1，方程为x-y+1=

03.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA+cosB+cosC的值为________（4分）【答案】3/2【解析】△ABC为直角三角形，cosA=4/5，cosB=3/5，cosC=0，cosA+cosB+cosC=3/

24.已知函数fx=sinωx+cosωx（ω0），若fx的最小正周期为π，则ω的值为________（4分）【答案】2【解析】fx=√2sinωx+π/4，T=2π/ω=π，ω=

25.在等比数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，则数列的前5项和S_5的值为________（4分）【答案】31【解析】q^3=16，q=2，S_5=31

四、判断题（每题2分，共10分）

1.若函数fx在x=c处取得极值，则fc=0（）（2分）【答案】（×）【解析】极值点处导数为0，但导数为0不一定取得极值

2.若数列{a_n}单调递增，则数列{a_n^2}也单调递增（）（2分）【答案】（×）【解析】如a_n=-n，a_n^2=n^2单调递增，但a_n不单调递增

3.若圆C的方程为x^2+y^2-2x+4y-3=0，则圆心在x轴上（）（2分）【答案】（×）【解析】圆心1,-2不在x轴上

4.若x_1，x_2是方程ax^2+bx+c=0a≠0的两根，则x_1x_2=c/a（）（2分）【答案】（√）【解析】韦达定理成立

5.若函数fx=x^3-3x^2+2在1,2上单调递减，则在2,3上单调递增（）（2分）【答案】（√）【解析】fx=3x^2-6x，x=0，2，1,2单调递减，2,3单调递增

五、简答题（每题5分，共15分）

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在[0,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为2，最小值为-1【解析】fx=3x^2-6x，x=0，2，f0=2，f2=-1，f3=2，最大值为2，最小值为-

12.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA和cosB的值（5分）【答案】cosA=4/5，cosB=3/5【解析】△ABC为直角三角形，cosA=a/c=3/5，cosB=b/c=4/

53.在等差数列{a_n}中，若a_1=1，a_4=16，求数列的通项公式a_n（5分）【答案】a_n=3n-2【解析】q^3=16，q=2，a_n=12^n-1=2^n-1，a_n=3n-2

六、分析题（每题10分，共20分）

1.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的单调区间和极值点（10分）【答案】单调递增区间-∞,0,2,+∞，单调递减区间0,2，极大值点x=0，极小值点x=2【解析】fx=3x^2-6x，x=0，2，fx在-∞,0单调递增，0,2单调递减，2,+∞单调递增，极大值点x=0，极小值点x=

22.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求△ABC的面积和内角A、B、C的度数（10分）【答案】面积6，A=π/2，B=arcsin4/5，C=arcsin3/5【解析】△ABC为直角三角形，面积6，A=π/2，B=arcsin4/5，C=arcsin3/5

七、综合应用题（每题25分，共50分）

1.在等差数列{a_n}中，若a_1+a_2+a_3=15，a_4+a_5+a_6=3，求数列的通项公式a_n和前n项和S_n（25分）【答案】a_n=9-2n-1，S_n=n^2+8n【解析】3a_1+6d=15，3a_1+9d=3，d=-2，a_1=9，a_n=9-2n-1，S_n=n^2+8n

2.已知函数fx=x^3-3x^2+2，求函数的拐点坐标和凹凸区间（25分）【答案】拐点1,0，凹区间-∞,1，凸区间1,+∞【解析】fx=6x-6，x=1，f1=0，fx在-∞,1凹，1,+∞凸，拐点1,0

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.C

6.A

7.A

8.D

9.D

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、B、D

4.B

5.A

三、填空题

1.

52.x-y+1=

03.3/

24.

25.31

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值为2，最小值为-

12.cosA=4/5，cosB=3/

53.a_n=3n-2

六、分析题

1.单调递增区间-∞,0,2,+∞，单调递减区间0,2，极大值点x=0，极小值点x=

22.面积6，A=π/2，B=arcsin4/5，C=arcsin3/5

七、综合应用题

1.a_n=9-2n-1，S_n=n^2+8n

2.拐点1,0，凹区间-∞,1，凸区间1,+∞

八、标准答案

一、单选题

1.B

2.C

3.A

4.C

5.C

6.A

7.A

8.D

9.D

10.B

二、多选题

1.A、B、D

2.A、B、D

3.A、B、D

4.B

5.A

三、填空题

1.

52.x-y+1=

03.3/

24.

25.31

四、判断题

1.（×）

2.（×）

3.（×）

4.（√）

5.（√）

五、简答题

1.最大值为2，最小值为-

12.cosA=4/5，cosB=3/

53.a_n=3n-2

六、分析题

1.单调递增区间-∞,0,2,+∞，单调递减区间0,2，极大值点x=0，极小值点x=

22.面积6，A=π/2，B=arcsin4/5，C=arcsin3/5

七、综合应用题

1.a_n=9-2n-1，S_n=n^2+8n

2.拐点1,0，凹区间-∞,1，凸区间1,+∞。