新课标数学真题及答案详解

新课标数学真题及答案详解

一、单选题

1.下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）（2分）A.y=-2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=sinx【答案】A【解析】一次函数y=kx+b中，k0时为增函数，A选项中k=-20，为减函数；B选项为开口向上的抛物线，在x0时为增函数，在x0时为减函数；C选项在x0时为减函数，在x0时为增函数；D选项为正弦函数，周期为2π，在每个周期内都有增有减只有A选项在整个定义域内为减函数

2.若a0，b0，则下列不等式正确的是（）（2分）A.a^2b^2B.a+b0C.1/a1/bD.a-b0【答案】C【解析】A选项中，a^2=b^2等价于a=b或a=-b，由于a0，b0，所以a^2b^2；B选项中，a+b的符号取决于a和b的绝对值大小关系；C选项中，1/a和1/b均为负数，绝对值大的反而小，所以1/a1/b；D选项中，a-b

03.已知点A1,2和B3,0，则线段AB的长度为（）（1分）A.√2B.2√2C.√5D.2√5【答案】C【解析】根据两点间距离公式，AB=√3-1^2+0-2^2=√2^2+2^2=√8=√

54.下列命题中，真命题是（）（2分）A.空集是任何集合的子集B.任何集合都有补集C.两个无理数的和一定是无理数D.两个相等的集合一定不相交【答案】A【解析】空集是任何集合的子集是集合论中的基本性质；补集的定义需要非空集合；两个无理数的和不一定是无理数，如√2+2-√2=2；相等的集合是同一集合，因此一定相交

5.若直线l的方程为y=kx+b，且l过点1,2和-1,0，则k和b的值分别为（）（2分）A.k=1，b=1B.k=1，b=2C.k=-1，b=1D.k=-1，b=2【答案】D【解析】将两点代入直线方程，得到方程组2=k+b0=-k+b解得k=-1，b=2

二、多选题（每题4分，共20分）

1.以下关于函数y=|x|的描述正确的有（）A.函数图像关于y轴对称B.函数在x=0处取得最小值C.函数在-∞,0上单调递减D.函数在0,+∞上单调递增E.函数是偶函数【答案】A、B、C、D、E【解析】绝对值函数图像是V形，关于y轴对称，顶点在原点，因此A正确；最小值为0，在x=0处取得，B正确；在-∞,0上斜率为-1，单调递减，C正确；在0,+∞上斜率为1，单调递增，D正确；绝对值函数满足f-x=fx，是偶函数，E正确

2.以下关于圆的描述正确的有（）A.圆的半径是其上任意一点到圆心的距离B.圆的直径是其上任意两点间的最大距离C.圆心角为90°的扇形面积等于所在圆的四分之一D.圆的切线垂直于过切点的半径E.圆的周长等于2πr【答案】A、B、C、D、E【解析】圆的定义就是到圆心距离等于半径的所有点的集合，A正确；直径是圆上最长的线段，B正确；圆心角为90°的扇形面积为πr^2/4，C正确；切线垂直于过切点的半径是切线的性质，D正确；圆周长公式为2πr，E正确

3.以下关于三角函数的描述正确的有（）A.sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβB.cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβC.tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβD.sin^2α+cos^2α=1E.tanα=sinα/cosα【答案】A、B、D、E【解析】A为两角和的正弦公式，正确；B为两角差的余弦公式，应为cosα-β=cosαcosβ-sinαsinβ，B错误；C为两角和的正切公式，应为tanα+β=tanα+tanβ/1-tanαtanβ，C正确；D为同角三角函数的基本关系式，正确；E为正切函数的定义，正确

4.以下关于数列的描述正确的有（）A.等差数列的通项公式为an=a1+n-1dB.等差数列的前n项和公式为Sn=na1+an/2C.等比数列的通项公式为an=a1q^n-1D.等比数列的前n项和公式为Sn=a11-q^n/1-qE.等差数列的任意两项之差为常数【答案】A、B、C、D、E【解析】等差数列通项公式为an=a1+n-1d，A正确；等差数列前n项和公式为Sn=na1+an/2，B正确；等比数列通项公式为an=a1q^n-1，C正确；等比数列前n项和公式为Sn=a11-q^n/1-q，当q≠1时，D正确；等差数列任意两项之差为公差d，E正确

5.以下关于立体几何的描述正确的有（）A.正方体的对角线长度等于棱长的√3倍B.长方体的对角线长度等于三边长平方和的平方根C.球的表面积公式为4πr^2D.球的体积公式为4/3πr^3E.圆锥的侧面积公式为πrl【答案】A、B、C、D、E【解析】正方体对角线长度为棱长的√3倍，A正确；长方体对角线长度为三边长平方和的平方根，B正确；球表面积公式为4πr^2，C正确；球体积公式为4/3πr^3，D正确；圆锥侧面积公式为πrl，E正确

三、填空题

1.若函数fx=ax^2+bx+c的图像过点1,0，且fx在x=2时取得极值，则a+b+c=______（4分）【答案】-3【解析】由f1=0得a+b+c=0；fx在x=2时取得极值，则f2=4a+2b=0；联立两式得a=1，b=-2，c=1，所以a+b+c=-

32.若直线l1的方程为3x+4y-7=0，直线l2过点1,2且与l1垂直，则l2的方程为______（4分）【答案】4x-3y+2=0【解析】l1的斜率为-3/4，l2的斜率为4/3；l2过点1,2，代入点斜式得y-2=4/3x-1，化简得4x-3y+2=

03.若圆C的方程为x-1^2+y+2^2=4，则圆心坐标为______，半径为______（4分）【答案】1,-2；2【解析】圆的标准方程为x-h^2+y-k^2=r^2，圆心为h,k，半径为r；所以圆心为1,-2，半径为

24.若等差数列的首项为3，公差为2，则第10项为______（4分）【答案】23【解析】等差数列通项公式为an=a1+n-1d；a10=3+10-1×2=

235.若等比数列的首项为1，公比为2，则前5项和为______（4分）【答案】31【解析】等比数列前n项和公式为Sn=a11-q^n/1-q；S5=11-2^5/1-2=31

四、判断题

1.若ab，则a^2b^2（）（2分）【答案】（×）【解析】如a=1，b=-2，则ab但a^2=1b^2=

42.两个无理数的和一定是无理数（）（2分）【答案】（×）【解析】如√2+-√2=0，为有理数

3.若直线l1和l2平行，则它们的斜率相等（）（2分）【答案】（×）【解析】直线l1和l2平行时，斜率相等或斜率都为无穷大

4.若圆C的方程为x-1^2+y+2^2=4，则点2,0在圆内（）（2分）【答案】（×）【解析】点2,0到圆心1,-2的距离为√1^2+-2^2=√52，不在圆内

5.若数列{an}为等差数列，则数列{an^2}也是等差数列（）（2分）【答案】（×）【解析】如等差数列{an}为1,3,5,

7...，则{an^2}为1,9,25,

49...，不是等差数列

五、简答题

1.求函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的最大值和最小值（5分）【答案】最大值为2，最小值为-2【解析】fx=3x^2-6x=3xx-2；令fx=0得x=0或x=2；f-1=-2，f0=2，f2=-2，f3=2；所以最大值为2，最小值为-

22.证明三角形两边之和大于第三边（5分）【解析】设三角形ABC的三边为a,b,c；要证a+bc；在BC上取点D，使BD=AB=a；因为AD+DCAC=b，所以a+DCb；又DC=BC-BD=c-a，所以a+c-ab；即a+bc

3.求过点1,2且与直线y=3x-1垂直的直线方程（5分）【答案】x+y-3=0【解析】直线y=3x-1的斜率为3，所求直线的斜率为-1/3；过点1,2，代入点斜式得y-2=-1/3x-1，化简得x+y-3=0

六、分析题

1.已知函数fx=ax^3+bx^2+cx+d在x=1时取得极大值，在x=-1时取得极小值，且f1=3，f-1=1，求a,b,c,d的值（10分）【答案】a=1，b=-1，c=-1，d=4【解析】fx=3ax^2+2bx+c；由f1=0得3a+2b+c=0；由f-1=0得3a-2b+c=0；联立两式得b=0，c=-3a；由f1=3得a+b+c+d=3；由f-1=1得-a+b-c+d=1；联立两式得a=1，d=4；所以a=1，b=0，c=-3，d=

42.已知数列{an}为等差数列，且a1+a3+a5=15，a2+a4+a6=21，求a10（15分）【答案】a10=9【解析】设首项为a1，公差为d；a1+a3+a5=3a1+6d=15；a2+a4+a6=3a1+9d=21；联立两式得d=2，a1=3；所以an=3+2n-1=2n+1；a10=2×10+1=21

七、综合应用题

1.已知圆C的方程为x-1^2+y+2^2=4，直线l过点A3,0，且与圆C相切，求直线l的方程（25分）【答案】y=±3/4x+9/4【解析】设直线l的方程为y=kx+b；由l过点A3,0得0=3k+b；所以b=-3k；圆心为1,-2，半径为2；直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离等于半径；|k1-1-2+b|/√k^2+1=2；代入b=-3k得|k+2-3k|/√k^2+1=2；解得k=3/4或k=-4/3；所以直线l的方程为y=±3/4x+9/

42.已知函数fx=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上，求函数的图像与x轴所围成的面积（20分）【答案】面积=9/2【解析】fx=x^3-3x^2+2=0的根为x=-1，x=1，x=2；函数图像与x轴所围成的面积为∫[-1,1]x^3-3x^2+2dx+∫[1,2]x^3-3x^2+2dx；计算得面积为9/2。