李代数期末检测题及标准答案

李代数期末检测题及标准答案

一、单选题（每题1分，共10分）

1.下列哪个不是线性代数中的基本概念？（）A.向量空间B.线性变换C.矩阵D.概率论【答案】D【解析】概率论属于概率论与数理统计范畴，不属于线性代数的基本概念

2.若向量a=1,2,3，向量b=4,5,6，则向量a+b等于（）A.5,7,9B.6,8,10C.3,7,9D.4,7,9【答案】A【解析】向量加法分量对应相加，a+b=1+4,2+5,3+6=5,7,

93.矩阵A的秩为2，则A的（）A.所有子式都为0B.至少存在一个2阶子式不为0C.所有元素都为0D.行列式为0【答案】B【解析】矩阵的秩为2，表示至少存在一个2阶子式不为0，但存在更高阶子式为

04.一个n阶方阵可逆的充分必要条件是（）A.矩阵的秩为nB.矩阵的行列式为0C.矩阵有n个线性无关的特征向量D.矩阵有n个特征值【答案】A【解析】n阶方阵可逆当且仅当其秩为n，即行列式不为

05.向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1}的秩为（）A.1B.2C.3D.0【答案】C【解析】单位向量组线性无关，其秩等于向量个数，即

36.矩阵A的转置矩阵记作（）A.A^2B.A^-1C.A^TD.A^【答案】C【解析】矩阵的转置用A^T表示

7.若向量组线性无关，则其（）A.任意部分组线性无关B.任意部分组线性相关C.部分组可能线性相关D.部分组可能线性无关【答案】A【解析】线性无关组的任意部分组仍线性无关

8.线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）A.矩阵A可逆B.向量b在向量空间ColA中C.矩阵A的秩等于b的秩D.向量b不在向量空间ColA中【答案】B【解析】Ax=b有解当且仅当b属于A的列空间

9.矩阵P的逆矩阵记作（）A.P^TB.P^-1C.P^D.P^2【答案】B【解析】矩阵的逆矩阵用P^-1表示

10.线性变换Tx=Ax将向量x=1,1映射为（），若A=1,2;3,4A.3,7B.4,8C.1,2D.2,5【答案】A【解析】T1,1=A1,1T=1,2;3,41,1T=3,7

二、多选题（每题2分，共10分）

1.以下哪些是线性代数的基本概念？（）A.向量空间B.线性方程组C.概率分布D.特征值E.线性变换【答案】A、B、D、E【解析】向量空间、线性方程组、特征值、线性变换是线性代数的基本概念，概率分布属于概率论范畴

2.矩阵A的秩为r，则（）A.矩阵A至少存在一个r阶子式不为0B.矩阵A的所有r+1阶子式都为0C.矩阵A的行向量组中存在r个线性无关向量D.矩阵A的列向量组中存在r个线性无关向量E.矩阵A的行秩等于列秩【答案】A、B、C、D、E【解析】矩阵的秩r表示其非零子式的最高阶数，同时满足行秩等于列秩

3.线性变换T具有以下哪些性质？（）A.T0=0B.Tu+v=Tu+TvC.Tcu=cTuD.Tu=uE.T是可逆的【答案】A、B、C【解析】线性变换满足加法和数乘封闭性，且T0=0，E不一定成立

4.向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,1}的秩为（）A.1B.2C.3D.4E.5【答案】C【解析】四个三维向量中，前三者是单位向量线性无关，第四个向量1,1,1在它们的生成空间内，秩为

35.矩阵A可逆的充要条件是（）A.矩阵A的行列式不为0B.矩阵A的秩等于nC.矩阵A有n个线性无关的特征向量D.矩阵A的行向量组线性无关E.矩阵A的列向量组线性无关【答案】A、B、D、E【解析】n阶方阵可逆的充要条件是行列式不为

0、秩为n、行向量组线性无关、列向量组线性无关

三、填空题（每题2分，共12分）

1.矩阵A=a_ij的元素a_23=5，则该矩阵的第2行第3列元素为______【答案】

52.向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1}的秩为______【答案】

33.若向量组{1,2,3,2,4,6,3,6,9}线性相关，则其秩为______【答案】

14.矩阵A=1,2;3,4的行列式detA=______【答案】-

25.线性变换Tx=Ax将向量x=1,1映射为y，若A=1,2;3,4，则y的坐标为______【答案】3,

76.若向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1,a,b,c}线性无关，则a,b,c______【答案】0,0,0

四、判断题（每题1分，共5分）

1.两个n阶矩阵A和B，若AB=I，则A和B都可逆（）【答案】（√）【解析】若AB=I，则A、B均可逆，且B=A^-

12.向量组{1,0,0,0,1,0,0,0,1}线性无关（）【答案】（√）【解析】单位向量组线性无关

3.若向量组线性无关，则其任意延伸组仍线性无关（）【答案】（×）【解析】线性无关组的延伸组可能线性相关

4.矩阵A的秩等于其非零子式的最高阶数（）【答案】（√）【解析】矩阵的秩定义为非零子式的最高阶数

5.若Ax=b有解，则线性方程组的解唯一（）【答案】（×）【解析】Ax=b有解时，解可能不唯

一五、简答题（每题3分，共12分）

1.简述向量空间的基本性质【答案】向量空间V满足以下性质

（1）存在零向量0，对任意x∈V，有x+0=x；

（2）加法交换律x+y=y+x；

（3）加法结合律x+y+z=x+y+z；

（4）存在加法逆元对任意x∈V，存在-y∈V，使x+y=0；

（5）数乘封闭性对任意k∈F，x∈V，有kx∈V；

（6）数乘结合律klx=klx；

（7）分配律kx+y=kx+ky；

（8）单位元性质1x=x

2.简述线性变换的基本性质【答案】线性变换T具有以下性质

（1）T0=0；

（2）加法封闭性Tu+v=Tu+Tv；

（3）数乘封闭性Tcu=cTu；

（4）保持线性组合Tc_1u_1+c_2u_2=c_1Tu_1+c_2Tu_

23.简述矩阵可逆的充要条件【答案】n阶矩阵A可逆的充要条件

（1）矩阵A的行列式detA不为0；

（2）矩阵A的秩等于n；

（3）矩阵A的行向量组线性无关；

（4）矩阵A的列向量组线性无关；

（5）矩阵A满秩；

（6）矩阵A有n个线性无关的特征向量（对特定矩阵类型）

4.简述向量组线性相关和线性无关的定义【答案】向量组线性相关定义存在不全为0的数k_1,k_2,...,k_m，使k_1v_1+k_2v_2+...+k_mv_m=0此时向量组线性相关向量组线性无关定义只有全为0的数k_1=k_2=...=k_m=0，才能使k_1v_1+k_2v_2+...+k_mv_m=0此时向量组线性无关

六、分析题（每题8分，共16分）

1.分析矩阵A=1,2;3,4的特征值和特征向量【答案】求特征值detA-λI=det1-λ,2;3,4-λ=0即1-λ4-λ-6=0，得λ^2-5λ-2=0解得λ=5±√17/2求特征向量当λ=5+√17/2时，A-λIx=0变为-√17/2,2;3,-√17/2x=0解得特征向量为k_1-2,√17/2^T，k_1≠0当λ=5-√17/2时，A-λIx=0变为√17/2,2;3,√17/2x=0解得特征向量为k_22,√17/2^T，k_2≠

02.分析线性方程组Ax=b的解的结构【答案】线性方程组Ax=b的解分为以下情况

（1）增广矩阵A|b的秩等于系数矩阵A的秩，即rA=rA|b=r当r=n（矩阵为满秩）时，解唯一；当rn时，解有无穷多，此时解空间为ColA中的一个过原点的直线或平面

（2）若rA=rA|b，但rn，则通解形式为x_p+α_1x_1+α_2x_2+...+α_n-rx_n-r其中x_p为特解，α_i为对应齐次方程Ax=0的基础解系向量

七、综合应用题（每题10分，共20分）

1.设向量组{1,0,1,1,1,0,0,1,1}，求其秩和一个极大无关组【答案】求秩对向量组构成的矩阵进行行变换（101;110;011）→（101;01-1;011）→（101;01-1;002）→（101;01-1;001）→（101;01-1;001）秩为3，向量组线性无关，极大无关组为原向量组

2.设线性变换Tx=Ax，A=1,2;3,4，求T在基{1,0,0,1}下的矩阵表示【答案】求T在基{1,0,0,1}下的矩阵T1,0=A1,0T=1,2;3,41,0T=1,2T0,1=A0,1T=1,2;3,40,1T=3,4因此T在基{1,0,0,1}下的矩阵为（1,3;2,4）标准答案

一、单选题

1.A

2.A

3.B

4.A

5.C

6.C

7.A

8.B

9.B

10.A

二、多选题

1.A、B、D、E

2.A、B、C、D、E

3.A、B、C

4.C

5.A、B、D、E

三、填空题

1.

52.

33.

14.-

25.3,

76.0,0,0

四、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.×

五、简答题（略）

六、分析题（略）

七、综合应用题（略）。